Непрерывная функция

В математике непрерывная функция — это такая функция , что непрерывное изменение (то есть изменение без скачка) аргумента вызывает непрерывное изменение значения функции. Это означает, что нет резких изменений стоимости, известных как разрывы . Точнее, функция непрерывна, если можно обеспечить сколь угодно малые изменения ее значения, ограничиваясь достаточно малыми изменениями ее аргумента. Разрывная функция — это функция, которая не является непрерывной . Вплоть до 19 века математики в основном полагались на интуицию .понятия непрерывности, и рассматривались только непрерывные функции. Эпсилон - дельта-определение предела было введено для формализации определения непрерывности.

Непрерывность — одно из основных понятий исчисления и математического анализа , где аргументами и значениями функций являются действительные и комплексные числа. Концепция была обобщена на функции между метрическими пространствами и между топологическими пространствами . Последние являются наиболее общими непрерывными функциями, и их определение лежит в основе топологии .

Более сильной формой непрерывности является равномерная непрерывность . В теории порядка , особенно в теории предметной области , родственным понятием непрерывности является непрерывность Скотта .

Например, функция H ( t ) , обозначающая высоту растущего цветка в момент времени t , будет считаться непрерывной. Напротив, функция M ( t ) , обозначающая сумму денег на банковском счете в момент времени t , будет считаться прерывистой, поскольку она «прыгает» в каждый момент времени, когда деньги депонируются или снимаются.

Форма определения непрерывности эпсилон-дельта была впервые дана Бернаром Больцано в 1817 году . Огюстен-Луи Коши определил непрерывность следующим образом: бесконечно малое приращение независимой переменной x всегда вызывает бесконечно малое изменение зависимой переменной y ( см., например , Cours d'Analyse , стр. 34). Коши определил бесконечно малые величины в терминах переменных величин, и его определение непрерывности очень близко к определению бесконечно малых величин, используемому сегодня (см. микронепрерывность ). Формальное определение и различие между поточечной непрерывностью и равномерной непрерывностью${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ Displaystyle \ альфа}$${\ Displaystyle е (х + \ альфа) -f (х)}$были впервые даны Больцано в 1830-х годах, но работа не была опубликована до 1930-х годов. Как и Больцано, ^[1] Карл Вейерштрасс ^[2] отрицал непрерывность функции в точке c , если только она не была определена в точке c и по обе стороны от нее , но Эдуард Гурса ^[3] допускал определение функции только в точке и по одну сторону для c , а Камилла Джордан ^[4] допускала это, даже если функция была определена только в c . Все три из этих неэквивалентных определений поточечной непрерывности все еще используются. ^[5] Эдуард Гейнепредоставил первое опубликованное определение равномерной непрерывности в 1872 году, но основывал эти идеи на лекциях, прочитанных Петером Густавом Леженом Дирихле ^в 1854 году.

Действительная функция , то есть функция от действительных чисел к действительным числам, может быть представлена ​​графиком на декартовой плоскости ; такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну непрерывную кривую , областью определения которой является вся вещественная прямая. Ниже дано более строгое с математической точки зрения определение. ^[7]

Функция непрерывна в своей области определения ( ), но разрывна в${\ Displaystyle е (х) = {\ tfrac {1} {х}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle х = 0}$

Последовательность exp(1/ n ) сходится к exp(0) = 1

Иллюстрация ε - δ -определения: при x = 2 любое значение δ ≤ 0,5 удовлетворяет условию определения для ε = 0,5 .

Неспособность функции быть непрерывной в точке количественно определяется ее осцилляцией .

График кубической функции не имеет скачков и провалов. Функция непрерывна.

График непрерывной рациональной функции . Функция не определена для Вертикальные и горизонтальные линии являются асимптотами .${\ Displaystyle х = -2.}$

Функции sinc и cos

График сигнум-функции. Это показывает, что . Таким образом, сигнум-функция разрывна в 0 (см. раздел 2.1.3 ).${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname {sgn} \ left ({\ tfrac {1} {n}} \ right) \ neq \ operatorname {sgn} \ left (\ lim _ {n \ к \ infty {\ tfrac {1} {n}} \ справа)}$

Точечный график функции Тома на интервале (0,1). Самая верхняя точка посередине показывает f(1/2) = 1/2.

Последовательность непрерывных функций , предельная (поточечная) функция которых разрывна. Схождение неравномерное.${\ Displaystyle е_ {п} (х)}$${\ Displaystyle е (х)}$

Для функции, непрерывной по Липшицу, существует двойной конус (показан белым цветом), вершину которого можно перемещать по графику, так что график всегда остается полностью вне конуса.

Непрерывность в точке: для каждой окрестности V точки существует окрестность U точки х такая, что${\ Displaystyle е (х)}$${\ Displaystyle е (U) \ subseteq V}$