В физике , пространства - время любая математическая модель , которая плавит три измерения пространства и одно измерения в время в единое четырехмерное многообразие . Ткань пространства-времени - это концептуальная модель, сочетающая три измерения пространства с четвертым измерением времени. Диаграммы пространства-времени можно использовать для визуализации релятивистских эффектов, например, почему разные наблюдатели по-разному воспринимают, где и когда происходят события.
До 20 века предполагалось, что трехмерная геометрия Вселенной (ее пространственное выражение в терминах координат, расстояний и направлений) не зависит от одномерного времени. Знаменитый физик Альберт Эйнштейн помог развить идею пространства-времени как часть своей теории относительности . До его новаторской работы у ученых были две отдельные теории для объяснения физических явлений: законы физики Исаака Ньютона описывали движение массивных объектов, а электромагнитные модели Джеймса Клерка Максвелла объясняли свойства света. Однако в 1905 году Альберт Эйнштейн основал свою работу по специальной теории относительности на двух постулатах:
- Законы физики инвариантны (т. Е. Идентичны) во всех инерциальных системах (т. Е. В неускоряющихся системах отсчета).
- Скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей, независимо от движения источника света.
Логическим следствием объединения этих постулатов является нераздельное соединение четырех измерений - до сих пор считавшихся независимыми - пространства и времени. Возникает много противоречивых следствий: помимо того, что скорость света не зависит от движения источника света, скорость света постоянна независимо от системы отсчета, в которой она измеряется; расстояния и даже временное упорядочение пар событий изменяются при измерении в разных инерциальных системах отсчета (это относительность одновременности ); и линейная аддитивность скоростей больше не выполняется.
Эйнштейн сформулировал свою теорию в терминах кинематики (исследования движущихся тел). Его теория была прогрессом по сравнению с теорией электромагнитных явлений Лоренца 1904 г. и электродинамической теорией Пуанкаре . Хотя эти теории включали уравнения, идентичные тем, которые ввел Эйнштейн (т. Е. Преобразование Лоренца ), они были по существу специальными моделями, предложенными для объяснения результатов различных экспериментов, включая знаменитый эксперимент с интерферометром Майкельсона-Морли, которые было чрезвычайно трудно вписать в существующие парадигмы.
В 1908 году Герман Минковский - когда-то один из профессоров математики молодого Эйнштейна в Цюрихе - представил геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, которая объединила время и три пространственных измерения в единый четырехмерный континуум, ныне известный как пространство Минковского . Ключевой особенностью этой интерпретации является формальное определение пространственно-временного интервала. Хотя измерения расстояния и времени между событиями различаются для измерений, выполненных в разных системах отсчета, пространственно-временной интервал не зависит от инерциальной системы отсчета, в которой они записаны. [1]
Геометрическая интерпретация теории относительности Минковским оказалась жизненно важной для разработки Эйнштейном его общей теории относительности 1915 года , в которой он показал, как масса и энергия искривляют плоское пространство-время в псевдориманово многообразие .
Вступление
Определения
Нерелятивистская классическая механика рассматривает время как универсальную величину измерения, которая едина во всем пространстве и отделена от пространства. Классическая механика предполагает, что время имеет постоянную скорость движения, независимо от состояния движения наблюдателя или чего-либо внешнего. [2] Кроме того, предполагается, что пространство евклидово ; он предполагает, что пространство следует геометрии здравого смысла. [3]
В контексте специальной теории относительности время не может быть отделено от трех измерений пространства, потому что наблюдаемая скорость, с которой проходит время для объекта, зависит от его скорости относительно наблюдателя. Общая теория относительности также дает объяснение того, как гравитационные поля могут замедлять течение времени для объекта, видимого наблюдателем за пределами поля.
В обычном пространстве положение определяется тремя числами, известными как размеры . В декартовой системе координат они называются x, y и z. Положение в пространстве-времени называется событием , и для него необходимо указать четыре числа: трехмерное положение в пространстве плюс положение во времени (рис. 1). Событие представлено набором координат x , y , z и t . Таким образом, пространство-время четырехмерно . Математические события имеют нулевую продолжительность и представляют собой единую точку в пространстве-времени.
Путь частицы в пространстве-времени можно рассматривать как последовательность событий. Серии событий можно связать вместе, чтобы сформировать линию, которая представляет движение частицы в пространстве-времени. Эта линия называется мировой линией частицы . [4] : 105
С математической точки зрения пространство-время - это многообразие , то есть оно кажется локально «плоским» около каждой точки так же, как в достаточно малых масштабах земной шар кажется плоским. [5] Чрезвычайно большой масштабный фактор,(обычно называемая скоростью света ) связывает расстояния, измеренные в космосе, с расстояниями, измеренными во времени. Величина этого масштабного фактора (почти 300 000 километров или 190 000 миль в космосе, что эквивалентно одной секунде времени), наряду с тем фактом, что пространство-время является многообразием, подразумевает, что при обычных, нерелятивистских скоростях и в обычных человеческих масштабах расстояний, люди могут наблюдать немногое, что заметно отличается от того, что они могли бы наблюдать, если бы мир был евклидовым. Только с появлением чувствительных научных измерений в середине 1800-х годов, таких как эксперимент Физо и эксперимент Майкельсона-Морли , что загадочные расхождения стали отметить между наблюдением в сравнении с предсказаниями , основанными на неявном предположении евклидова пространства. [6]
В специальной теории относительности под наблюдателем в большинстве случаев понимается система отсчета, из которой измеряется набор объектов или событий. Это использование значительно отличается от обычного английского значения термина. Системы отсчета по своей сути являются нелокальными конструкциями, и в соответствии с этим использованием термина не имеет смысла говорить о наблюдателе как о имеющем местоположение. На рис. 1‑1 представьте, что рассматриваемая система отсчета снабжена плотной решеткой часов, синхронизированных в этой системе отсчета, которая неограниченно простирается во всех трех измерениях пространства. Какое-то конкретное место внутри решетки не имеет значения. Решетка часов используется для определения времени и положения событий, происходящих во всем кадре. Термин наблюдатель относится ко всему ансамблю часов, связанных с одной инерциальной системой отсчета. [7] : 17–22 В этом идеализированном случае с каждой точкой в пространстве связаны часы, и поэтому часы регистрируют каждое событие мгновенно, без временной задержки между событием и его записью. Однако настоящий наблюдатель увидит задержку между излучением сигнала и его обнаружением из-за скорости света. Чтобы синхронизировать часы, при обработке данных после эксперимента время получения сигнала будет скорректировано, чтобы отразить его фактическое время, если бы он был записан идеализированной решеткой часов.
Во многих книгах по специальной теории относительности, особенно старых, слово «наблюдатель» используется в более обычном смысле этого слова. Обычно из контекста ясно, какое значение было заимствовано.
Физики различают то, что человек измеряет или наблюдает (после учета задержек распространения сигнала), и то, что человек видит визуально без таких поправок. Неспособность понять разницу между тем, что человек измеряет / наблюдает, и тем, что он видит, является источником многих ошибок среди начинающих исследователей теории относительности. [8]
История
К середине 1800-х годов различные эксперименты, такие как наблюдение пятна Араго и дифференциальные измерения скорости света в воздухе по сравнению с водой, считались доказательством волновой природы света в отличие от корпускулярной теории . [9] Тогда предполагалось, что для распространения волн требуется наличие колеблющейся среды; в случае световых волн это считалось гипотетическим светоносным эфиром . [примечание 1] Однако различные попытки установить свойства этой гипотетической среды дали противоречивые результаты. Например, эксперимент Физо 1851 года продемонстрировал, что скорость света в текущей воде была меньше суммы скорости света в воздухе и скорости воды на величину, зависящую от показателя преломления воды. Среди прочего, зависимость частичного увлечения эфира, подразумеваемая этим экспериментом, от показателя преломления (который зависит от длины волны) привела к неприятному выводу, что эфир одновременно течет с разной скоростью для разных цветов света. [10] Знаменитый эксперимент Майкельсона-Морли 1887 года (рис. 1-2) не показал различного влияния движения Земли через гипотетический эфир на скорость света, и наиболее вероятное объяснение, полное увлечение эфира, противоречило теории наблюдение звездной аберрации . [6]
Джордж Фрэнсис Фицджеральд в 1889 году и Хендрик Лоренц в 1892 году независимо друг от друга предположили, что материальные тела, движущиеся в фиксированном эфире, подвергались физическому воздействию при их прохождении, сжимаясь в направлении движения на величину, которая была именно той, которая была необходима для объяснения отрицательных результатов воздействия. эксперимент Майкельсона – Морли. (Никаких изменений длины в направлении, поперечном направлению движения, не происходит.)
К 1904 году Лоренц расширил свою теорию так, что он пришел к уравнениям, формально идентичным тем, которые Эйнштейн должен был вывести позже (т. Е. Преобразованию Лоренца ), но с принципиально иной интерпретацией. Как теория динамики (изучение сил и моментов и их влияния на движение) его теория предполагала реальные физические деформации физических составляющих материи. [11] : 163–174 Уравнения Лоренца предсказали величину, которую он назвал местным временем , с помощью которой он мог объяснить аберрацию света , эксперимент Физо и другие явления. Однако Лоренц считал местное время лишь вспомогательным математическим инструментом, трюком, упрощающим преобразование одной системы в другую.
Другие физики и математики на рубеже веков были близки к тому, чтобы прийти к тому, что в настоящее время известно как пространство-время. Сам Эйнштейн отмечал, что с таким количеством людей, разгадывающих отдельные кусочки головоломки, «специальная теория относительности, если рассматривать ее развитие в ретроспективе, созрела для открытия в 1905 году». [12]
Важным примером является Анри Пуанкаре , [13] [14] : 73-80,93-95 , который в 1898 году утверждал , что одновременность двух событий является предметом конвенции. [15] [примечание 2] В 1900 году он осознал, что «местное время» Лоренца - это на самом деле то, на что указывают движущиеся часы, применив явно операционное определение синхронизации часов, предполагающее постоянную скорость света. [примечание 3] В 1900 и 1904 годах он предположил неотъемлемую необнаруживаемость эфира, подчеркнув справедливость того, что он назвал принципом относительности , а в 1905/1906 [16] он математически усовершенствовал теорию электронов Лоренца, чтобы сделать ее в соответствии с постулатом относительности. Обсуждая различные гипотезы о лоренц-инвариантной гравитации, он представил новаторскую концепцию четырехмерного пространства-времени, определив четыре различных вектора , а именно четырехпозиционный , четырехскоростной и четырехсиловый . [17] [18] Он не преследовал 4-мерный формализм в последующих статьях, однако, заявив, что это направление исследований, казалось, «влечет за собой большие страдания для ограниченной прибыли», в конечном итоге заключив, что «трехмерный язык кажется наиболее подходящим. к описанию нашего мира ». [18] Более того, даже в 1909 году Пуанкаре продолжал верить в динамическую интерпретацию преобразования Лоренца. [11] : 163–174 По этим и другим причинам большинство историков науки утверждают, что Пуанкаре не изобретал то, что сейчас называется специальной теорией относительности. [14] [11]
В 1905 году Эйнштейн представил специальную теорию относительности (хотя и без использования техники пространственно-временного формализма) в ее современном понимании как теорию пространства и времени. [14] [11] Хотя его результаты математически эквивалентны результатам Лоренца и Пуанкаре, Эйнштейн показал, что преобразования Лоренца не являются результатом взаимодействия между материей и эфиром, а скорее касаются природы пространства и времени. Он получил все свои результаты, признав, что вся теория может быть построена на двух постулатах: принципе относительности и принципе постоянства скорости света.
Эйнштейн провел свой анализ с точки зрения кинематики (изучение движущихся тел без ссылки на силы), а не динамики. Его работа, знакомящая с этим предметом, была наполнена яркими образами, включающими обмен световыми сигналами между движущимися часами, тщательные измерения длины движущихся стержней и другие подобные примеры. [19] [примечание 4]
Кроме того, в 1905 году Эйнштейн заменил предыдущие попытки установления электромагнитного соотношения массы и энергии , введя общую эквивалентность массы и энергии , которая сыграла важную роль в его последующей формулировке принципа эквивалентности в 1907 году, который декларировал эквивалентность инертной и гравитационной массы. Используя эквивалентность массы и энергии, Эйнштейн, кроме того, показал, что гравитационная масса тела пропорциональна его энергосодержанию, что было одним из первых результатов при разработке общей теории относительности . Хотя может показаться, что сначала он не думал о пространстве-времени геометрически, [21] : 219 при дальнейшем развитии общей теории относительности Эйнштейн полностью включил пространственно-временной формализм.
Когда Эйнштейн опубликовал в 1905 году, другой из его конкурентов, его бывший профессор математики Герман Минковский , также достиг большинства основных элементов специальной теории относительности. Макс Борн рассказал о встрече, которую он провел с Минковски, стремясь стать учеником / сотрудником Минковского: [22]
Я поехал в Кельн, встретился с Минковским и услышал его знаменитую лекцию «Пространство и время», прочитанную 2 сентября 1908 г. […] Он сказал мне позже, что для него было большим шоком, когда Эйнштейн опубликовал свою статью, в которой эквивалентность теории выражено различное местное время движения наблюдателей относительно друг друга; поскольку он независимо пришел к тем же выводам, но не опубликовал их, потому что хотел сначала разработать математическую структуру во всем ее великолепии. Он никогда не претендовал на приоритет и всегда отдавал Эйнштейну полную долю в этом великом открытии.
Минковский интересовался состоянием электродинамики после разрушительных экспериментов Майкельсона, по крайней мере, с лета 1905 года, когда Минковский и Дэвид Гильберт вели продвинутый семинар, на котором присутствовали известные физики того времени для изучения работ Лоренца, Пуанкаре и др. Однако совсем не ясно, когда Минковский начал формулировать геометрическую формулировку специальной теории относительности, которая должна была носить его имя, или в какой степени на него повлияла четырехмерная интерпретация Пуанкаре преобразования Лоренца. Также неясно, оценил ли он когда-либо в полной мере критический вклад Эйнштейна в понимание преобразований Лоренца, считая работу Эйнштейна продолжением работы Лоренца. [23]
5 ноября 1907 года (чуть более чем за год до своей смерти) Минковский представил свою геометрическую интерпретацию пространства-времени в лекции Геттингенского математического общества под названием «Принцип относительности» ( Das Relativitätsprinzip ). [примечание 5] 21 сентября 1908 года Минковский представил свой знаменитый доклад « Пространство и время ( Raum und Zeit )» [24] перед Немецким обществом ученых и врачей. Вступительные слова « Пространства и времени» включают в себя известное заявление Минковского о том, что «отныне пространство для себя и время для себя полностью превратятся в простую тень, и только какой-то их союз сохранит независимость». Пространство и время включали первое публичное представление диаграмм пространства-времени (рис. 1-4) и включали замечательную демонстрацию того, что концепция инвариантного интервала ( обсуждается ниже ), наряду с эмпирическим наблюдением конечности скорости света, позволяет вывод всей специальной теории относительности. [примечание 6]
Концепция пространства-времени и группа Лоренца тесно связаны с определенными типами сферической , гиперболической или конформной геометрии и их группами преобразований, уже разработанными в 19 веке, в которых используются инвариантные интервалы, аналогичные интервалу пространства-времени . [примечание 7]
Эйнштейн, со своей стороны, сначала пренебрег геометрической интерпретацией Минковского специальной теории относительности, считая ее überflüssige Gelehrsamkeit (излишняя образованность). Однако для завершения своих поисков общей теории относительности, начатой в 1907 году, геометрическая интерпретация теории относительности оказалась жизненно важной, и в 1916 году Эйнштейн полностью признал свой долг Минковскому, интерпретация которого значительно облегчила переход к общей теории относительности. [11] : 151–152 Поскольку существуют другие типы пространства-времени, такие как искривленное пространство-время общей теории относительности, пространство-время специальной теории относительности сегодня известно как пространство-время Минковского.
Пространство-время в специальной теории относительности
Пространственно-временной интервал
В трех измерениях расстояние между двумя точками можно определить с помощью теоремы Пифагора :
Хотя два наблюдателя могут измерять положение двух точек по x , y и z, используя разные системы координат, расстояние между точками будет одинаковым для обеих (при условии, что они измеряют с использованием одних и тех же единиц). Расстояние «инвариантно».
В специальной теории относительности, однако, расстояние между двумя точками перестает быть одинаковым, если оно измеряется двумя разными наблюдателями, когда один из наблюдателей движется, из-за лоренцевского сжатия . Ситуация еще более усложняется, если две точки разделены как во времени, так и в пространстве. Например, если один наблюдатель видит, что два события происходят в одном месте, но в разное время, человек, движущийся относительно первого наблюдателя, увидит два события, происходящих в разных местах, потому что (с их точки зрения) они неподвижны. , и позиция события удаляется или приближается. Таким образом, для измерения эффективного «расстояния» между двумя событиями необходимо использовать другую меру.
В четырехмерном пространстве-времени аналогом расстояния является интервал . Хотя время входит в четвертое измерение, оно трактуется иначе, чем пространственные измерения. Таким образом, пространство Минковского во многом отличается от четырехмерного евклидова пространства . Фундаментальная причина слияния пространства и времени в пространство-время состоит в том, что пространство и время по отдельности не инвариантны, то есть при определенных условиях разные наблюдатели будут расходиться во мнениях относительно продолжительности времени между двумя событиями (из-за замедления времени ) или расстояние между двумя событиями (из-за сокращения длины ). Но специальная теория относительности предоставляет новый инвариант, называемый пространственно-временным интервалом , который объединяет расстояния в пространстве и во времени. Все наблюдатели, которые измеряют время и расстояние между любыми двумя событиями, в конечном итоге вычисляют один и тот же пространственно-временной интервал. Предположим, наблюдатель измеряет два события, разделенных во времени на и пространственное расстояние Тогда интервал пространства-времени между двумя событиями, разделенными расстоянием в космосе и в -координата:
или для трех пространственных измерений,
- [28]
Постоянная скорость света преобразует единицы времени (например, секунды) в пространственные единицы (например, метры). Секунды умножить на метры / секунды = метры.
Хотя для краткости можно часто встретить интервальные выражения, выраженные без дельт, в том числе в большей части следующего обсуждения, следует понимать, что в целом, средства и т. д. Нас всегда интересуют различия значений пространственных или временных координат, принадлежащих двум событиям, и, поскольку нет предпочтительного источника, значения отдельных координат не имеют существенного значения.
Приведенное выше уравнение похоже на теорему Пифагора, за исключением знака минус между и термины. Пространственно-временной интервал - это величина нет сам. Причина в том, что в отличие от расстояний в евклидовой геометрии интервалы в пространстве-времени Минковского могут быть отрицательными. Вместо того, чтобы иметь дело с квадратными корнями из отрицательных чисел, физики обычно рассматриваюткак отдельный символ, а не квадрат чего-то. [21] : 217
Из-за знака минус пространственно-временной интервал между двумя различными событиями может быть равен нулю. Еслиположительна, интервал пространства - времени времениподобная , а это означает , что два события отделены друг от друга больше времени , чем пространство. Еслиотрицательно, пространственно-временной интервал пространственноподобен , что означает, что два события разделены большим пространством, чем временем. Пространственно-временные интервалы равны нулю, когдаДругими словами, пространственно-временной интервал между двумя событиями на мировой линии движения чего-то со скоростью света равен нулю. Такой интервал называется светоподобным или нулевым . Фотон, попавший в наш глаз от далекой звезды, не постарел, несмотря на то, что (с нашей точки зрения) провел годы в своем прохождении.
Диаграмма пространства-времени обычно рисуется только с одним пространством и единственной временной координатой. На рис. 2-1 представлена пространственно-временная диаграмма, показывающая мировые линии (то есть пути в пространстве-времени) двух фотонов A и B, исходящих из одного и того же события и движущихся в противоположных направлениях. Кроме того, C иллюстрирует мировую линию объекта со скоростью ниже скорости света. Вертикальная координата времени масштабируется начтобы он имел те же единицы (метры), что и координата горизонтального пространства. Поскольку фотоны движутся со скоростью света, их мировые линии имеют наклон ± 1. Другими словами, каждый метр, на который фотон проходит влево или вправо, требует примерно 3,3 наносекунды времени.
В литературе по теории относительности используются два знака:
а также
Эти условные обозначения связаны с метрическими подписями (+ - - -) и (- + + +). Незначительное изменение заключается в размещении временной координаты последней, а не первой. Оба соглашения широко используются в области исследований.
Справочные кадры
Чтобы понять, как пространственно-временные координаты, измеренные наблюдателями в разных системах отсчета, сравниваются друг с другом, полезно работать с упрощенной установкой с кадрами в стандартной конфигурации. С осторожностью это позволяет упростить математику без потери общности сделанных выводов. На рис. 2‑2 два опорных кадра Галилея (т. Е. Обычные 3-пространственные кадры) отображаются в относительном движении. Кадр S принадлежит первому наблюдателю O, а кадр S ′ (произносится как «S prime») принадлежит второму наблюдателю O ′.
- Х , у , Z оси рамы S ориентированы параллельно соответствующим осям загрунтованных рамы S '.
- Система S 'движется в направлении x системы S с постоянной скоростью v, измеренной в системе S.
- Истоки кадров S и S 'совпадают, когда время t = 0 для кадра S и t ' = 0 для кадра S '. [4] : 107
Рис. 2‑3a перерисовывает Рис. 2‑2 в другой ориентации. Рис. 2‑3b иллюстрирует пространственно-временную диаграмму с точки зрения наблюдателя O. Поскольку S и S 'имеют стандартную конфигурацию, их начало совпадает в моменты времени t = 0 в кадре S и t ' = 0 в кадре S '. Кар 'ось проходит через событие в рамке S' , которые имеют х '= 0. Но в точках с й ' = 0 двигается в й направлении оси кадра S со скоростью V , так что они не совпадают с кар ось в любое время, кроме нуля. Следовательно, ось ct ′ наклонена относительно оси ct на угол θ, задаваемый формулой
Х ось 'также наклонена относительно х оси. Чтобы определить угол этого наклона, напомним, что наклон мировой линии светового импульса всегда равен ± 1. На рис. 2‑3c представлена пространственно-временная диаграмма с точки зрения наблюдателя O ′. Событие P представляет собой излучение светового импульса при x ′ = 0, ct ′ = - a . Импульс отражается от зеркала, расположенного на расстоянии a от источника света (событие Q), и возвращается к источнику света в точке x '= 0, ct ' = a (событие R).
Те же события P, Q, R показаны на рис. 2‑3b в кадре наблюдателя O. Световые пути имеют наклоны = 1 и -1, так что △ PQR образует прямоугольный треугольник с PQ и QR под углом 45 градусов. к осям x и ct . Поскольку OP = OQ = OR, угол между x ′ и x также должен быть θ . [4] : 113–118
В то время как остальная рамка имеет оси пространства и времени, которые пересекаются под прямым углом, движущаяся рамка нарисована с осями, которые пересекаются под острым углом. Рамы на самом деле эквивалентны. Асимметрия возникает из-за неизбежных искажений в том, как координаты пространства-времени могут отображаться на декартовой плоскости , и ее следует рассматривать не иначе, как то, как в проекции Меркатора Земли относительные размеры суши вблизи полюсов (Гренландия и Антарктида) сильно преувеличены по сравнению с сушей вблизи экватора.
Световой конус
На рис. 2–4 событие O находится в начале пространственно-временной диаграммы, а две диагональные линии представляют все события, которые имеют нулевой пространственно-временной интервал по отношению к исходному событию. Эти две линии образуют так называемый световой конус события O, поскольку добавление второго пространственного измерения (рис. 2‑5) создает видимость двух правильных круговых конусов, встречающихся вершинами в точке O. Один конус простирается в будущее. (t> 0), другой в прошлое (t <0).
Световой (двойной) конус делит пространство-время на отдельные области относительно его вершины. Внутренняя часть светового конуса будущего состоит из всех событий, которые отделены от вершины на большее время (временное расстояние), чем необходимо для пересечения их пространственного расстояния со скоростью света; эти события составляют похожее на время будущее события O. Подобным образом, подобное времени прошлое включает внутренние события светового конуса прошлого. Таким образом, во времениподобных интервалах Δ ct больше, чем Δ x , что делает временные интервалы положительными. Область, внешняя по отношению к световому конусу, состоит из событий, которые отделены от события O большим пространством, чем может быть пересечено со скоростью света за данное время . Эти события составляют так называемую пространственноподобную область события O, обозначенную «в другом месте» на рис. 2‑4. Говорят, что события на самом световом конусе подобны свету (или отделены нулем ) от O. Из-за неизменности пространственно-временного интервала все наблюдатели назначат один и тот же световой конус любому данному событию и, таким образом, согласятся об этом разделении пространства-времени. . [21] : 220
Световой конус играет важную роль в концепции причинности . Сигнал со скоростью, не превышающей скорость света, может перемещаться из положения и времени O в положение и время D (рис. 2‑4). Следовательно, возможно, что событие O окажет причинное влияние на событие D. Световой конус будущего содержит все события, на которые может причинно повлиять O. Точно так же возможно, чтобы сигнал со скоростью не превышающей скорость света путешествовать от положения и времени A к положению и времени O. Световой конус прошлого содержит все события, которые могут иметь причинное влияние на O. Напротив, если предположить, что сигналы не могут двигаться быстрее скорости света, любые событие, подобное, например, B или C, в пространственно-подобной области (в другом месте) не может ни влиять на событие O, ни на них не может влиять событие O, использующее такую передачу сигналов. В соответствии с этим предположением любая причинная связь между событием O и любыми событиями в пространственно-подобной области светового конуса исключается. [29]
Относительность одновременности
Все наблюдатели согласятся, что для любого данного события событие в пределах светового конуса будущего данного события происходит после данного события. Аналогично, для любого данного события событие в световом конусе прошлого данного события происходит до данного события. Отношение до и после, наблюдаемое для событий, разделенных по времени, остается неизменным независимо от системы отсчета наблюдателя, т.е. независимо от того, как наблюдатель может двигаться. Совершенно иная ситуация для пространственно-разделенных событий. Рис. 2‑4 был взят из системы отсчета наблюдателя, движущегося при v = 0. Из этой системы отсчета, событие C наблюдается после события O, а событие B наблюдается перед событием O. Из другого источника во фрейме, порядок этих событий, не связанных с причинно-следственной связью, может быть изменен на обратный. В частности, можно отметить, что если два события одновременны в определенной системе отсчета, они обязательно разделены пространственноподобным интервалом и, таким образом, не связаны между собой причинно. Наблюдение за тем, что одновременность не абсолютна, а зависит от системы отсчета наблюдателя, называется относительностью одновременности . [30]
Рис. 2-6 иллюстрирует использование пространственно-временных диаграмм при анализе относительности одновременности. События в пространстве-времени инвариантны, но системы координат преобразуются, как описано выше для рис. 2‑3. Три события (A, B, C) одновременны из системы отсчета наблюдателя, движущегося при v = 0. Из системы отсчета наблюдателя, движущегося при v = 0,3 c , события кажутся происходящими в порядке C, B А. из системы отсчета наблюдателя , движущегося V = -0,5 с , события , по- видимому, происходит в следующем порядке : A, B, C . Белая линия представляет собой плоскость одновременности , перемещаемую из прошлого наблюдателя в будущее наблюдателя, выделяя происходящие на ней события. Серая область - это световой конус наблюдателя, который остается неизменным.
Пространственно-подобный пространственно-временной интервал дает такое же расстояние, которое наблюдатель измерил бы, если бы измеряемые события были одновременными для наблюдателя. Таким образом, пространственноподобный пространственно-временной интервал обеспечивает меру надлежащего расстояния , т. Е. Истинное расстояние =Точно так же временноподобный пространственно-временной интервал дает ту же меру времени, что и совокупное тиканье часов, движущихся вдоль данной мировой линии. Таким образом, интервал времениподобного пространства-времени обеспечивает меру собственного времени =[21] : 220–221
Инвариантная гипербола
В евклидовом пространстве (имеющем только пространственные измерения) множество точек, равноудаленных (с использованием евклидовой метрики) от некоторой точки, образуют круг (в двух измерениях) или сферу (в трех измерениях). В (1 + 1) -мерном пространстве-времени Минковского (имеющем одно временное и одно пространственное измерения) точки на некотором постоянном пространственно-временном интервале от начала координат (с использованием метрики Минковского) образуют кривые, задаваемые двумя уравнениями
с участием некоторая положительная действительная константа. Эти уравнения описывают два семейства гипербол на пространственно-временной диаграмме x - ct , которые называются инвариантными гиперболами .
На рис. 2-7а каждая пурпурная гипербола соединяет все события, имеющие некоторое фиксированное пространственноподобное расстояние от источника, в то время как зеленые гиперболы соединяют события равного времениподобного разделения.
Пурпурные гиперболы, которые пересекают ось x , представляют собой временноподобные кривые, то есть эти гиперболы представляют собой фактические пути, которые могут пройти (постоянно ускоряющиеся) частицы в пространстве-времени: между любыми двумя событиями на одной гиперболе возможна причинная связь, потому что обратная величина наклона, представляющая необходимую скорость, для всех секущих меньше, чем. С другой стороны, зеленые гиперболы, которые пересекают ось ct , представляют собой пространственноподобные кривые, потому что все интервалы вдоль этих гипербол представляют собой пространственноподобные интервалы: никакая причинность невозможна между любыми двумя точками на одной из этих гипербол, потому что все секущие представляют скорости больше, чем.
Рис. 2‑7b отражает ситуацию в (1 + 2) -мерном пространстве-времени Минковского (одно временное и два пространственных измерения) с соответствующими гиперболоидами. Инвариантные гиперболы, смещенные на пространственноподобные интервалы от начала координат, порождают гиперболоиды одного листа, в то время как инвариантные гиперболы, смещенные на времяподобные интервалы от начала координат, порождают гиперболоиды двух листов.
(1 + 2) -мерная граница между пространственно- и временноподобными гиперболоидами, установленная событиями, образующими нулевой пространственно-временной интервал до начала координат, образована вырождением гиперболоидов в световой конус. В (1 + 1) -мерностях гиперболы вырождаются в две серые линии под углом 45 °, изображенные на рис. 2‑7a.
Замедление времени и сокращение длины
На рис. 2-8 показана инвариантная гипербола для всех событий, которые могут быть достигнуты из начала координат за собственное время в 5 метров (приблизительно 1,67 × 10 −8 с ). Разные мировые линии представляют часы, движущиеся с разной скоростью. Часы, которые неподвижны относительно наблюдателя, имеют вертикальную мировую линию, а прошедшее время, измеренное наблюдателем, совпадает с собственным временем. Для часов, движущихся при 0,3 c , прошедшее время, измеренное наблюдателем, составляет 5,24 метра (1,75 × 10 −8 с ), в то время как для часов, движущихся со скоростью 0,7 c , прошедшее время, измеренное наблюдателем, составляет 7,00 метров (2.34 × 10 −8 с ). Это иллюстрирует явление, известное как замедление времени . Часы, которые движутся быстрее, занимают больше времени (в кадре наблюдателя), чтобы отсчитать такое же количество собственного времени, и они движутся дальше по оси x в пределах этого собственного времени, чем они были бы без замедления времени. [21] : 220–221 Измерение замедления времени двумя наблюдателями в разных инерциальных системах отсчета взаимно. Если наблюдатель O измеряет часы наблюдателя O 'как работающие медленнее в его системе отсчета, наблюдатель O', в свою очередь, будет измерять часы наблюдателя O как более медленные.
Сокращение длины , как и замедление времени, является проявлением относительности одновременности. Измерение длины требует измерения пространственно-временного интервала между двумя событиями, одновременными в системе отсчета. Но события, одновременные в одной системе отсчета, обычно не одновременны в других системах отсчета.
На рис. 2-9 показаны движения стержня длиной 1 м, который движется с шагом 0,5 c вдоль оси x . Края синей полосы представляют мировые линии двух концов стержня. Инвариантная гипербола иллюстрирует события, отделенные от начала координат пространственноподобным интервалом в 1 м. Конечные точки O и B, измеренные при t ' = 0, являются одновременными событиями в кадре S'. Но для наблюдателя в кадре S события O и B не одновременны. Чтобы измерить длину, наблюдатель в системе S измеряет концы стержня, спроецированные на ось x вдоль их мировых линий. Проекция мирового листа стержня на ось x дает укороченную длину OC. [4] : 125
(не проиллюстрировано) Проведение вертикальной линии через A так, чтобы она пересекала ось x ', демонстрирует, что даже если OB укорочен с точки зрения наблюдателя O, OA также будет сокращен с точки зрения наблюдателя O'. Точно так же, как каждый наблюдатель измеряет часы другого как медленные, каждый наблюдатель измеряет линейки другого как сжатые.
Что касается взаимного сокращения длины, 2–9 иллюстрирует, что кадры со штрихом и без него взаимно поворачиваются на гиперболический угол (аналогично обычным углам в евклидовой геометрии). [примечание 8] Из-за этого поворота проекция измерителя с начерченной стрелкой на безукоризированную ось x сокращается, в то время как проекция измерителя с начерченной стрелкой на ось x 'с заправкой также сокращается.
Взаимное замедление времени и парадокс близнецов
Взаимное замедление времени
Взаимное замедление времени и сокращение длины обычно кажутся новичкам внутренне противоречащими друг другу концепциями. Если наблюдатель в системе S измеряет часы, покоящиеся в системе S ', как часы, идущие медленнее, чем его', в то время как S 'движется со скоростью v в S, то принцип относительности требует, чтобы наблюдатель в системе S' также измерял часы в кадре S, движущиеся со скоростью - v в S ', движутся медленнее, чем ее. Как два часа могут работать медленнее, чем другие, - это важный вопрос, который «лежит в основе понимания специальной теории относительности». [21] : 198
Это очевидное противоречие возникает из-за неправильного учета различных настроек необходимых, связанных измерений. Эти настройки позволяют последовательно объяснить единственное кажущееся противоречие. Речь идет не об абстрактном тикании двух одинаковых часов, а о том, как измерить в одном кадре временное расстояние двух тиков движущихся часов. Оказывается, что при взаимном наблюдении продолжительности между тактами часов, каждое из которых движется в соответствующем кадре, должны быть задействованы разные наборы часов. Чтобы измерить в кадре S длительность такта движущихся часов W '(в состоянии покоя в S'), используются два дополнительных синхронизированных тактовых сигнала W 1 и W 2 в состоянии покоя в двух произвольно фиксированных точках в S с пространственным расстоянием d .
- Два события могут быть определены условием «два тактовых генератора одновременно находятся в одном месте», то есть когда W 'проходит каждые W 1 и W 2 . Для обоих событий записываются два показания совмещенных часов. Разница двух показаний W 1 и W 2 - это временное расстояние между двумя событиями в S, а их пространственное расстояние равно d . Разница двух показаний W '- это временное расстояние между двумя событиями в S'. В S 'эти события разделены только во времени, они происходят в одном и том же месте в S'. Из-за неизменности пространственно-временного интервала, охваченного этими двумя событиями, и ненулевого пространственного разделения d в S, временное расстояние в S 'должно быть меньше, чем расстояние в S: меньшее временное расстояние между двумя событиями, возникающее в результате показания движущихся часов W 'принадлежат более медленным часам W'.
И наоборот, для оценки в кадре S 'временного расстояния между двумя событиями на движущихся часах W (покоящихся в S), нужно два покоя часов в S'.
- В этом сравнении часы W движутся со скоростью - v . Повторная запись четырех отсчетов для событий, определяемых «двумя часами одновременно в одном месте», приводит к аналогичным временным расстояниям двух событий, теперь разделенных во времени и пространстве в S ', и разделенных только во времени, но совмещенных в S. сохраняя неизменным пространственно-временной интервал, временное расстояние в S должно быть меньше, чем в S ′, из-за пространственного разделения событий в S ′: теперь часы W работают медленнее.
Необходимые записи для двух решений, с «одним движущимся часом» и «двумя неподвижными часами» соответственно в S или S ', включают два разных набора, каждый с тремя часами. Поскольку в измерениях участвуют разные наборы часов, нет неотъемлемой необходимости, чтобы измерения были взаимно «согласованными», так что, если один наблюдатель измеряет движущиеся часы как медленные, другой наблюдатель измеряет свои часы как быстрые. [21] : 198–199
Рис. 2-10 иллюстрирует предыдущее обсуждение взаимного замедления времени с диаграммами Минковского. Верхний рисунок отражает измерения, как видно из кадра S «в состоянии покоя» с незаштрихованными прямоугольными осями и кадра S ′, «движущегося с v > 0», координированных штрихованными наклонными осями, наклоненными вправо; нижний рисунок показывает кадр S ′ «в состоянии покоя» с штрихованными прямоугольными координатами и кадр S «движущийся с - v <0», с незакрашенными наклонными осями, наклоненными влево.
Каждая линия, проведенная параллельно пространственной оси ( x , x '), представляет собой линию одновременности. Все события на такой линии имеют одинаковое значение времени ( ct , ct ′). Аналогично, каждая линия, проведенная параллельно временной оси ( ct , ct ' ), представляет линию равных значений пространственных координат ( x , x ').
- На обоих изображениях можно обозначить начало координат O (= O ' ) как событие, где соответствующие «движущиеся часы» совмещены с «первыми часами в состоянии покоя» в обоих сравнениях. Очевидно, для этого события показания на обоих часах в обоих сравнениях равны нулю. Как следствие, мировые линии движущихся часов наклонены вправо по оси ct '(верхние рисунки, часы W') и наклонены влево по оси ct (нижние рисунки, часы W). Мировые линии W 1 и W ' 1 являются соответствующими вертикальными осями времени ( ct на верхних рисунках и ct ' на нижних рисунках).
- На верхнем рисунке место для W 2 принято как A x > 0, и, таким образом, мировая линия (не показана на рисунках) этих часов пересекает мировую линию движущихся часов ( ось ct ') в событии, обозначенном A , где «два часа одновременно находятся в одном месте». В нижнем рисунке место для W ' 2 принимается равным С х ' <0, и поэтому в данном измерении движущиеся часы W проходит W ' 2 в случае С .
- На верхнем рисунке ct -координата A t события A (показание W 2 ) помечена B , таким образом, давая время, прошедшее между двумя событиями, измеренное с помощью W 1 и W 2 , как OB . Для сравнения, длина временного интервала OA , измеренная с помощью W ', должна быть преобразована в масштаб оси ct . Это делается инвариантной гиперболы (см также рис. 2-8) через А , соединяющий все события с той же пространственно - временной интервал от начала координат , как A . Это дает событие C на оси ct , и очевидно: OC < OB , "движущиеся" часы W 'работают медленнее.
Чтобы показать взаимное замедление времени непосредственно на верхнем рисунке, событие D может быть построено как событие в x ′ = 0 (положение часов W ′ в S ′), которое одновременно с C ( OC имеет такой же пространственно-временной интервал, что и OA ) в S ′. Это показывает, что временной интервал OD больше, чем OA , показывая, что «движущиеся» часы работают медленнее. [4] : 124
На нижнем изображении рамка S движется со скоростью - v в неподвижной системе S ′. Мировая линия часов W - это ось ct (наклоненная влево), мировая линия W ′ 1 - вертикальная ось ct ′, а мировая линия W ′ 2 - это вертикаль, проходящая через событие C , с координатой ct ′ D . Инвариантная гипербола через событие C масштабирует временной интервал OC до OA , который короче OD ; кроме того, B строится (аналогично D на верхних рисунках) одновременно с A в S при x = 0. Результат OB > OC снова соответствует приведенному выше.
Слово «мера» важно. В классической физике наблюдатель не может повлиять на наблюдаемый объект, но состояние движения объекта может повлиять на наблюдения наблюдателя за объектом.
Парадокс близнецов
Многие введения в специальную теорию относительности иллюстрируют различия между теорией относительности Галилея и специальной теорией относительности, создавая серию «парадоксов». Эти парадоксы на самом деле являются некорректными проблемами, возникающими из-за того, что мы не знакомы со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Лекарство состоит в том, чтобы решить многие проблемы специальной теории относительности и ознакомиться с ее так называемыми контр-интуитивными предсказаниями. Геометрический подход к изучению пространства-времени считается одним из лучших методов развития современной интуиции. [31]
Парадокс близнецов является мысленный эксперимент с участием идентичных близнецов, один из которых совершил путешествие в космос в ракете высокой скорости, возвращаясь домой , чтобы найти , что близнец , кто остался на Земле , имеет в возрасте больше. Этот результат кажется загадочным, потому что каждый из близнецов наблюдает за другим как движущийся, и поэтому на первый взгляд может показаться, что каждый из них должен считать, что другой стал меньше. Парадокс близнецов обходит обоснование взаимного замедления времени, представленное выше, избегая требования третьих часов. [21] : 207 Тем не менее, парадокс близнецов - не настоящий парадокс, потому что его легко понять в контексте специальной теории относительности.
Впечатление о существовании парадокса возникает из-за неправильного понимания того, что утверждает специальная теория относительности. Специальная теория относительности не объявляет эквивалентными все системы отсчета, только инерциальные системы отсчета. Рама путешествующего близнеца не инерционна в периоды, когда она ускоряется. Кроме того, разница между близнецами обнаруживается наблюдательно: путешествующему близнецу необходимо запустить ракеты, чтобы иметь возможность вернуться домой, а близнецу-домоседу - нет. [32] [примечание 9]
Эти различия должны привести к разнице в возрасте близнецов. Пространственно-временная диаграмма на рис. 2-11 представляет простой случай, когда двойник выходит прямо вдоль оси x и сразу же поворачивается назад. С точки зрения близнеца-домоседа в парадоксе близнецов нет ничего загадочного. Собственное время, измеренное вдоль мировой линии путешествующего близнеца от O до C, плюс собственное время, измеренное от C до B, меньше, чем собственное время близнеца-сидящего дома, измеренное от O до A до B. Более сложные траектории требуют интегрирования. собственное время между соответствующими событиями вдоль кривой (то есть интеграл по траектории ) для расчета общего количества собственного времени, которое испытывает путешествующий близнец. [32]
Осложнения возникают, если парадокс близнецов анализируется с точки зрения путешествующего близнеца.
В дальнейшем используется номенклатура Вайса, обозначающая близнеца-домоседа как Теренс, а путешествующего близнеца как Стеллу. [32]
Стелла не в инерциальной системе отсчета. Учитывая этот факт, иногда неправильно утверждают, что полное разрешение парадокса близнецов требует общей теории относительности: [32]
Чистый SR-анализ выглядит следующим образом: при анализе в системе покоя Стеллы она неподвижна в течение всего путешествия. Когда она запускает свои ракеты для поворота, она испытывает псевдосилу, напоминающую силу тяжести. [32] Фиг. 2‑6 и 2‑11 иллюстрируют концепцию линий (плоскостей) одновременности: линии, параллельные оси x наблюдателя ( плоскость xy ), представляют собой наборы событий, которые одновременны в кадре наблюдателя. На рис. 2‑11 синие линии соединяют события на мировой линии Теренса, которые, с точки зрения Стеллы , одновременны с событиями на ее мировой линии. (Теренс, в свою очередь, наблюдал бы ряд горизонтальных линий одновременности.) На протяжении как исходящего, так и входящего этапов путешествия Стеллы она измеряет, что часы Теренса идут медленнее, чем ее собственные. Но во время поворота (то есть между жирными синими линиями на рисунке) происходит сдвиг угла ее линий одновременности, соответствующий быстрому пропуску событий на мировой линии Теренса, которые Стелла считает одновременными с ее собственный. Поэтому в конце поездки Стелла обнаруживает, что Теренс постарел больше, чем она. [32]
Хотя общая теория относительности не требуется для анализа парадокса близнецов, применение принципа эквивалентности общей теории относительности действительно дает некоторое дополнительное понимание предмета. Стелла не неподвижна в инерциальной системе отсчета. Согласно анализу в системе покоя Стеллы, она неподвижна на протяжении всей поездки. Когда она движется по инерции, ее система покоя инерционна, и кажется, что часы Теренса идут медленно. Но когда она запускает свои ракеты для поворота, ее рама покоя представляет собой ускоренную раму, и она испытывает силу, которая толкает ее, как если бы она находилась в гравитационном поле. Теренс окажется высоко в этой области, и из-за гравитационного замедления времени его часы будут работать так быстро, что в конечном итоге Теренс постарел больше, чем Стелла, когда они снова вместе. [32] Теоретические аргументы, предсказывающие гравитационное замедление времени, не являются исключительными для общей теории относительности. Любая теория гравитации предсказывает гравитационное замедление времени, если соблюдает принцип эквивалентности, включая теорию Ньютона. [21] : 16
Гравитация
Этот вводный раздел посвящен пространству-времени специальной теории относительности, поскольку его легче всего описать. Пространство-время Минковского плоское, не принимает во внимание гравитацию, однородно во всем и служит не более чем статическим фоном для событий, которые в нем происходят. Наличие гравитации сильно усложняет описание пространства-времени. В общей теории относительности пространство-время больше не является статическим фоном, а активно взаимодействует с физическими системами, которые оно содержит. Пространственно-временные кривые в присутствии материи могут распространять волны, искривлять свет и проявлять множество других явлений. [21] : 221 Некоторые из этих явлений описаны в следующих разделах этой статьи.
Основная математика пространства-времени
Галилеевы преобразования
Основная цель - иметь возможность сравнивать измерения, сделанные наблюдателями в относительном движении. Если в системе S есть наблюдатель O, который измерил временные и пространственные координаты события, присвоив этому событию три декартовых координаты и время, измеренное на его решетке синхронизированных часов ( x , y , z , t ) (см. Рис. . 1‑1 ). Второй наблюдатель O 'в другой системе отсчета S' измеряет то же событие в своей системе координат и своей решетке синхронизированных часов ( x ' , y ' , z ' , t ' ) . В инерциальных системах отсчета ни один наблюдатель не испытывает ускорения, и простой набор уравнений позволяет связать координаты ( x , y , z , t ) с ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) . Учитывая, что две системы координат имеют стандартную конфигурацию, что означает, что они выровнены с параллельными ( x , y , z ) координатами и что t = 0, когда t ′ = 0 , преобразование координат выглядит следующим образом: [33] [34]
Рис. 3-1 показывает, что в теории Ньютона универсальным является время, а не скорость света. [35] : 36–37 Рассмотрим следующий мысленный эксперимент: Красная стрелка показывает поезд, который движется с шагом 0,4 c относительно платформы. В поезде пассажир стреляет пулей со скоростью 0,4 c в корпус поезда. Синяя стрелка показывает, что человек, стоящий на железнодорожных путях, измеряет, что пуля летит с точностью 0,8 с. Это соответствует нашим наивным ожиданиям.
В более общем смысле, если предположить, что система S 'движется со скоростью v относительно системы S, тогда в системе S' наблюдатель O 'измеряет объект, движущийся со скоростью u ' . Скорость u относительно системы отсчета S, поскольку x = ut , x ′ = x - vt и t = t ′ , может быть записана как x ′ = ut - vt = ( u - v ) t = ( u - v ) t ′ . Это приводит к u ′ = x ′ / t ′ и в конечном итоге
- или же
который является здравым смыслом закона Галилея для сложения скоростей .
Релятивистская композиция скоростей
Состав скоростей в релятивистском пространстве-времени совершенно иной. Чтобы немного упростить уравнения, мы вводим общее сокращение для отношения скорости объекта относительно света,
На рис. 3-2а показан красный поезд, который движется вперед со скоростью v / c = β = s / a . Из заправленной рамы поезда пассажир стреляет пулей со скоростью u ′ / c = β ′ = n / m , где расстояние измеряется по линии, параллельной красной оси x ′, а не параллельно оси. черная ось x . Какова составная скорость u пули относительно платформы, обозначенная синей стрелкой? Ссылаясь на Рис. 3‑2b:
- С платформы общая скорость пули определяется как u = c ( s + r ) / ( a + b ) .
- Два желтых треугольника похожи, потому что это прямоугольные треугольники с общим углом α . В большом желтом треугольнике отношение s / a = v / c = β .
- Отношения соответствующих сторон двух желтых треугольников постоянны, так что r / a = b / s = n / m = β ′ . Итак, b = u ′ s / c и r = u ′ a / c .
- Подставьте выражения для b и r в выражение для u на шаге 1, чтобы получить формулу Эйнштейна для сложения скоростей: [35] : 42–48
Представленная выше релятивистская формула сложения скоростей имеет несколько важных особенностей:
- Если u ′ и v оба очень малы по сравнению со скоростью света, то произведение vu ′ / c 2 становится исчезающе малым, и общий результат становится неотличимым от формулы Галилея (формулы Ньютона) для сложения скоростей: u = и ' + v . Формула Галилея является частным случаем релятивистской формулы, применимой к малым скоростям.
- Если u ′ установлен равным c , то формула дает u = c независимо от начального значения v . Скорость света одинакова для всех наблюдателей, независимо от их движения относительно излучающего источника. [35] : 49
Возвращение к замедлению времени и сокращению длины
Нетрудно получить количественные выражения для замедления времени и сокращения длины. Рис. 3‑3 представляет собой составное изображение, содержащее отдельные кадры, взятые из двух предыдущих анимаций, упрощенные и помеченные заново для целей этого раздела.
Чтобы немного уменьшить сложность уравнений, существует множество различных сокращенных обозначений для ct :
- а также общие.
- Также очень часто встречается использование соглашения
На рис. 3-3a сегменты OA и OK представляют равные пространственно-временные интервалы. Замедление времени представлено отношением OB / OK . Инвариантная гипербола имеет уравнение w = √ x 2 + k 2, где k = OK , а красная линия, представляющая мировую линию движущейся частицы, имеет уравнение w = x / β = xc / v . Немного алгебраических манипуляций дает
Выражение, содержащее символ квадратного корня, очень часто встречается в теории относительности, а единичка над выражением называется фактором Лоренца и обозначается греческой буквой гамма. : [36]
Если v больше или равно c , выражение длястановится физически бессмысленным, подразумевая, что c - максимально возможная скорость в природе. Для любого v больше нуля фактор Лоренца будет больше единицы, хотя форма кривой такова, что для низких скоростей фактор Лоренца очень близок к единице.
На рис. 3-3b сегменты OA и OK представляют равные пространственно-временные интервалы. Сокращение длины представлено отношением OB / OK . Инвариантная гипербола имеет уравнение x = √ w 2 + k 2 , где k = OK , а края синей полосы, представляющей мировые линии концов стержня в движении, имеют наклон 1 / β = c / v . Событие А имеет координаты ( х , ш ) = ( Г & , γβk ). Так как касательной линии , проходящей через А и В имеет уравнение ш = ( х - О.Б. ) / β , мы имеем γβk = ( Г & - О.Б. ) / β и
Преобразования Лоренца
Преобразования Галилея и вытекающий из них закон сложения скоростей, основанный на здравом смысле, хорошо работают в нашем обычном низкоскоростном мире самолетов, автомобилей и мячей. Однако, начиная с середины 1800-х годов, чувствительное научное оборудование начало обнаруживать аномалии, которые не соответствовали обычному сложению скоростей.
Преобразования Лоренца используются для преобразования координат события из одного кадра в другой в специальной теории относительности.
Фактор Лоренца появляется в преобразованиях Лоренца:
Обратные преобразования Лоренца:
Когда v ≪ c и x достаточно мало, члены v 2 / c 2 и vx / c 2 приближаются к нулю, и преобразования Лоренца приближаются к преобразованиям Галилея.
и т. д., чаще всего действительно означают и т. д. Хотя для краткости уравнения преобразования Лоренца записаны без дельт, x означает Δ x и т. д. Мы, как правило, всегда озабочены пространственными и временными различиями между событиями.
Называть один набор преобразований нормальным преобразованием Лоренца, а другой - обратным преобразованием, вводит в заблуждение, поскольку между кадрами нет внутренней разницы. Разные авторы называют тот или иной набор преобразований «обратным» набором. Прямые и обратные преобразования тривиально связаны друг с другом, поскольку кадр S может двигаться только вперед или назад относительно S ' . Таким образом, обращение уравнений просто влечет за собой переключение переменных со штрихом и без штриха и замену v на - v . [37] : 71–79
Пример: Теренс и Стелла участвуют в космической гонке Земля-Марс. Теренс является официальным лицом на стартовой линии, а Стелла - участником. В момент времени t = t ′ = 0 космический корабль Стеллы мгновенно ускоряется до скорости 0,5 c . Расстояние от Земли до Марса составляет 300 световых секунд (около90,0 × 10 6 км ). Теренс наблюдает, как Стелла пересекает часы финиша в t = 600,00 с . Но Стелла отмечает, что время на ее корабельном хронометре когда она пересекает финишную черту, она вычисляет расстояние между стартовой и финишной линиями, измеренное в ее кадре, как 259,81 световой секунды (примерно 77,9 × 10 6 км ). 1).
Получение преобразований Лоренца
Со времени первоначальной работы Эйнштейна в 1905 году было сделано много десятков выводов преобразований Лоренца , каждое из которых имело свою особую направленность. Хотя вывод Эйнштейна был основан на неизменности скорости света, есть и другие физические принципы, которые могут служить отправными точками. В конечном счете, эти альтернативные отправные точки можно рассматривать как различные выражения основного принципа локальности , который гласит, что влияние, которое одна частица оказывает на другую, не может передаваться мгновенно. [38]
Вывод, приведенный здесь и проиллюстрированный на рис. 3-5, основан на выводе, представленном Байсом [35] : 64–66, и использует предыдущие результаты из разделов «Релятивистская композиция скоростей», «Расширение времени» и «Сокращение длины». Событие P имеет координаты ( w , x ) в черной «системе покоя» и координаты ( w ′ , x ′ ) в красной рамке, которая движется с параметром скорости β = v / c . Чтобы определить w ′ и x ′ через w и x (или наоборот), сначала проще вывести обратное преобразование Лоренца.
- Не может быть такой вещи, как расширение / сокращение длины в поперечных направлениях. y ' должен быть равен y, а z ' должен быть равен z , в противном случае, сможет ли быстро движущийся 1-метровый шар пройти через 1-метровое круглое отверстие, будет зависеть от наблюдателя. Первый постулат относительности утверждает, что все инерциальные системы отсчета эквивалентны, и поперечное расширение / сжатие нарушило бы этот закон. [37] : 27–28
- На чертеже w = a + b и x = r + s.
- Из предыдущих результатов с использованием подобных треугольников мы знаем, что s / a = b / r = v / c = β .
- Из-за замедления времени a = γw ′
- Подставляя уравнение (4) в s / a = β, получаем s = γw ′ β .
- Сокращение длины и подобные треугольники дают нам r = γx ′ и b = βr = βγx ′
- Подставляя выражения для s , a , r и b в уравнения на шаге 2, немедленно получаем
Приведенные выше уравнения являются альтернативными выражения для т и х уравнений обратного преобразования Лоренца, как можно видеть путем подстановки кт для ш , карат ' для ш ' и V / с для р . Из обратного преобразования уравнения прямого преобразования могут быть получены путем решения относительно t ′ и x ′ .
Линейность преобразований Лоренца.
Преобразования Лоренца обладают математическим свойством, называемым линейностью, поскольку x ' и t ' получаются как линейные комбинации x и t без участия более высоких степеней. Линейность преобразования отражает фундаментальное свойство пространства-времени, которое молчаливо предполагалось при выводе, а именно, что свойства инерциальных систем отсчета не зависят от местоположения и времени. В отсутствие гравитации пространство-время везде выглядит одинаково. [35] : 67 Все инерционные наблюдатели согласятся, что представляет собой ускоряющееся и неускоряющееся движение. [37] : 72–73 Любой наблюдатель может использовать свои собственные измерения пространства и времени, но в них нет ничего абсолютного. Соглашения другого наблюдателя тоже подойдут. [21] : 190
Результатом линейности является то, что если два преобразования Лоренца применяются последовательно, результатом также является преобразование Лоренца.
Пример: Теренс наблюдает, как Стелла удаляется от него на 0,500 c , и он может использовать преобразования Лоренца с β = 0,500, чтобы связать измерения Стеллы со своими собственными. Стелла в своем кадре наблюдает, как Урсула удаляется от нее на 0,250 c , и она может использовать преобразования Лоренца с β = 0,250, чтобы связать измерения Урсулы с ее собственными. Из-за линейности преобразований и релятивистского состава скоростей Теренс может использовать преобразования Лоренца с β = 0,666, чтобы связать измерения Урсулы со своими собственными.
Эффект Допплера
Эффект Доплера - это изменение частоты или длины волны для приемника и источника при относительном движении. Для простоты мы рассматриваем здесь два основных сценария: (1) движения источника и / или приемника происходят точно по линии, соединяющей их (продольный эффект Доплера), и (2) движения происходят под прямым углом к указанной линии ( поперечный эффект Доплера ). Мы игнорируем сценарии, в которых они движутся под промежуточными углами.
Продольный эффект Доплера
Классический доплеровский анализ имеет дело с волнами, которые распространяются в среде, такими как звуковые волны или водная рябь, и которые передаются между источниками и приемниками, которые движутся навстречу или от друг друга. Анализ таких волн зависит от того, движутся ли источник, приемник или и то, и другое относительно среды. Учитывая сценарий, в котором приемник неподвижен по отношению к среде, а источник движется прямо от приемника со скоростью v s для параметра скорости β s , длина волны увеличивается, а наблюдаемая частота f задается от
С другой стороны, учитывая сценарий, в котором источник неподвижен, а приемник движется прямо от источника со скоростью v r для параметра скорости β r , длина волны не изменяется, но скорость передачи волн относительно приемника уменьшается, а наблюдаемая частота f определяется выражением
Свет, в отличие от звука или водной ряби, не распространяется через среду, и нет различия между источником, удаляющимся от приемника, и приемником, удаляющимся от источника. На рис. 3‑6 показана релятивистская пространственно-временная диаграмма, показывающая, что источник отделяется от приемника с параметром скорости β , так что расстояние между источником и приемником в момент времени w равно βw . Из-за замедления времени. Поскольку наклон луча зеленого света равен −1,. Следовательно, релятивистский эффект Доплера дается формулой [35] : 58–59
Поперечный эффект Доплера
Предположим, что источник и приемник, оба приближаются друг к другу в равномерном инерционном движении по непересекающимся линиям, находятся на наиболее близком приближении друг к другу. Казалось бы, классический анализ предсказывает, что приемник не обнаруживает доплеровского сдвига. Из-за тонкостей анализа это ожидание не обязательно соответствует действительности. Тем не менее, при надлежащем определении поперечный доплеровский сдвиг представляет собой релятивистский эффект, не имеющий классического аналога. Вот эти тонкости: [39] : 541–543.
- Рис. 3-7а. Что такое измерение частоты, когда приемник геометрически максимально приближен к источнику? Этот сценарий легче всего проанализировать из кадра S 'источника. [примечание 10]
- Рис. 3-7b. Что такое измерение частоты, когда приемник видит источник как наиболее близкий к нему? Этот сценарий легче всего проанализировать из кадра S приемника.
При обсуждении поперечного доплеровского сдвига обычно рассматриваются два других сценария:
- Рис. 3-7c. Если приемник движется по кругу вокруг источника, какую частоту измеряет приемник?
- Рис. 3-7d. Если источник движется по кругу вокруг приемника, какую частоту измеряет приемник?
В сценарии (а) точка наибольшего сближения не зависит от кадра и представляет момент, когда нет изменения расстояния в зависимости от времени (т.е. dr / dt = 0, где r - расстояние между приемником и источником) и, следовательно, нет продольного доплеровского сдвига. сдвиг. Источник наблюдает, что приемник освещается светом с частотой f ' , но также наблюдает, что приемник имеет часы с замедленным временем. Таким образом, в кадре S приемник освещается светом с синим смещением частоты
В сценарии (b) на иллюстрации показано, что приемник освещается светом, когда источник находился ближе всего к приемнику, даже несмотря на то, что источник переместился дальше. Поскольку часы источника растянуты по времени, как измерено в кадре S, и поскольку dr / dt в этой точке было равно нулю, свет от источника, испускаемый из этой ближайшей точки, смещается в красную сторону с частотой
Сценарии (c) и (d) могут быть проанализированы с помощью простых аргументов замедления времени. На рисунке (c) приемник видит свет от источника с синим смещением в несколько раз., а в (d) свет смещен в красную сторону. Единственная кажущаяся сложность заключается в том, что вращающиеся объекты находятся в ускоренном движении. Однако, если инерционный наблюдатель смотрит на ускоряющиеся часы, только мгновенная скорость часов важна при вычислении замедления времени. (Обратное, однако, неверно.) [39] : 541–543 В большинстве сообщений о поперечном доплеровском смещении эффект упоминается как красное смещение и анализируется в терминах сценариев (b) или (d). [примечание 11]
Энергия и импульс
Расширение импульса до четырех измерений
В классической механике состояние движения частицы характеризуется ее массой и скоростью. Линейный импульс , произведение массы и скорости частицы, является векторной величиной, имеющей то же направление, что и скорость: p = m v . Это сохраняющаяся величина, а это означает , что если замкнутая система не зависит от внешних сил, его общий линейный импульс не может измениться.
В релятивистской механике вектор импульса расширен до четырех измерений. К вектору импульса добавлен компонент времени, который позволяет вектору импульса пространства-времени преобразовываться, как вектор положения пространства-времени.. Изучая свойства пространственно-временного импульса, мы начнем, на рис. 3-8a, с изучения того, как частица выглядит в состоянии покоя. В системе покоя пространственная составляющая импульса равна нулю, т.е. p = 0 , но временная составляющая равна mc .
Мы можем получить преобразованные компоненты этого вектора в движущейся системе отсчета, используя преобразования Лоренца, или мы можем прочитать его прямо с рисунка, потому что мы знаем, что а также , так как красные оси масштабируются по гамме. Рис. 3‑8b иллюстрирует ситуацию в движущейся рамке. Очевидно, что пространственная и временная составляющие четырехимпульса уходят в бесконечность по мере приближения скорости движущейся системы отсчета к c . [35] : 84–87
Вскоре мы воспользуемся этой информацией, чтобы получить выражение для четырехимпульса .
Импульс света
Световые частицы или фотоны движутся со скоростью c , постоянной, известной как скорость света . Это утверждение не является тавтологией, поскольку многие современные формулировки теории относительности не исходят из постулата постоянной скорости света. Таким образом, фотоны распространяются вдоль светоподобной мировой линии и в соответствующих единицах имеют равные пространственные и временные компоненты для каждого наблюдателя.
Следствием теории электромагнетизма Максвелла является то, что свет несет энергию и импульс, и что их соотношение является постоянным:. Перестановка,, а поскольку для фотонов компоненты пространства и времени равны, E / c, следовательно, должно быть приравнено к компоненту времени вектора импульса пространства-времени.
Фотоны движутся со скоростью света, но имеют конечный импульс и энергию. Чтобы это было так, массовый член в γmc должен быть равен нулю, что означает, что фотоны являются безмассовыми частицами . Бесконечность, умноженная на ноль, - это некорректная величина, но E / c - вполне определенная величина .
Согласно этому анализу, если энергия фотона равна E в системе покоя, она равнав движущейся рамке. Этот результат может быть получен путем изучения рис. 3-9 или путем применения преобразований Лоренца, и он согласуется с анализом эффекта Доплера, приведенным ранее. [35] : 88
Соотношение масса-энергия
Рассмотрение взаимосвязей между различными компонентами вектора релятивистского импульса привело Эйнштейна к нескольким известным выводам.
- В пределе низкой скорости, когда β = v / c приближается к нулю, γ приближается к 1, поэтому пространственная составляющая релятивистского импульсаприближается к mv , классическому термину для импульса. Следуя этой перспективе, γm можно интерпретировать как релятивистское обобщение m . Эйнштейн предположил, что релятивистская масса объекта увеличивается со скоростью в соответствии с формулой.
- Аналогичным образом, сравнивая временную составляющую релятивистского импульса с таковой фотона, , так что Эйнштейн пришел к соотношению . Упрощенно до случая нулевой скорости, это знаменитое уравнение Эйнштейна, связывающее энергию и массу.
Другой способ взглянуть на взаимосвязь между массой и энергией - рассмотреть расширение γmc 2 в ряд с низкой скоростью:
The second term is just an expression for the kinetic energy of the particle. Mass indeed appears to be another form of energy.[35]:90–92[37]:129–130,180
The concept of relativistic mass that Einstein introduced in 1905, mrel, although amply validated every day in particle accelerators around the globe (or indeed in any instrumentation whose use depends on high velocity particles, such as electron microscopes,[40] old-fashioned color television sets, etc.), has nevertheless not proven to be a fruitful concept in physics in the sense that it is not a concept that has served as a basis for other theoretical development. Relativistic mass, for instance, plays no role in general relativity.
For this reason, as well as for pedagogical concerns, most physicists currently prefer a different terminology when referring to the relationship between mass and energy.[41] "Relativistic mass" is a deprecated term. The term "mass" by itself refers to the rest mass or invariant mass, and is equal to the invariant length of the relativistic momentum vector. Expressed as a formula,
This formula applies to all particles, massless as well as massive. For massless photons, it yields the same relationship as established earlier, .[35]:90–92
Four-momentum
Because of the close relationship between mass and energy, the four-momentum (also called 4‑momentum) is also called the energy–momentum 4‑vector. Using an uppercase P to represent the four-momentum and a lowercase p to denote the spatial momentum, the four-momentum may be written as
- or alternatively,
- using the convention that [37]:129–130,180
Conservation laws
In physics, conservation laws state that certain particular measurable properties of an isolated physical system do not change as the system evolves over time. In 1915, Emmy Noether discovered that underlying each conservation law is a fundamental symmetry of nature.[42] The fact that physical processes don't care where in space they take place (space translation symmetry) yields conservation of momentum, the fact that such processes don't care when they take place (time translation symmetry) yields conservation of energy, and so on. In this section, we examine the Newtonian views of conservation of mass, momentum and energy from a relativistic perspective.
Total momentum
To understand how the Newtonian view of conservation of momentum needs to be modified in a relativistic context, we examine the problem of two colliding bodies limited to a single dimension.
In Newtonian mechanics, two extreme cases of this problem may be distinguished yielding mathematics of minimum complexity:
- (1) The two bodies rebound from each other in a completely elastic collision.
- (2) The two bodies stick together and continue moving as a single particle. This second case is the case of completely inelastic collision.
For both cases (1) and (2), momentum, mass, and total energy are conserved. However, kinetic energy is not conserved in cases of inelastic collision. A certain fraction of the initial kinetic energy is converted to heat.
In case (2), two masses with momentums and collide to produce a single particle of conserved mass traveling at the center of mass velocity of the original system, . The total momentum is conserved.
Fig. 3‑10 illustrates the inelastic collision of two particles from a relativistic perspective. The time components and add up to total E/c of the resultant vector, meaning that energy is conserved. Likewise, the space components and add up to form p of the resultant vector. The four-momentum is, as expected, a conserved quantity. However, the invariant mass of the fused particle, given by the point where the invariant hyperbola of the total momentum intersects the energy axis, is not equal to the sum of the invariant masses of the individual particles that collided. Indeed, it is larger than the sum of the individual masses: .[35]:94–97
Looking at the events of this scenario in reverse sequence, we see that non-conservation of mass is a common occurrence: when an unstable elementary particle spontaneously decays into two lighter particles, total energy is conserved, but the mass is not. Part of the mass is converted into kinetic energy.[37]:134–138
Choice of reference frames
The freedom to choose any frame in which to perform an analysis allows us to pick one which may be particularly convenient. For analysis of momentum and energy problems, the most convenient frame is usually the "center-of-momentum frame" (also called the zero-momentum frame, or COM frame). This is the frame in which the space component of the system's total momentum is zero. Fig. 3‑11 illustrates the breakup of a high speed particle into two daughter particles. In the lab frame, the daughter particles are preferentially emitted in a direction oriented along the original particle's trajectory. In the COM frame, however, the two daughter particles are emitted in opposite directions, although their masses and the magnitude of their velocities are generally not the same.
Energy and momentum conservation
In a Newtonian analysis of interacting particles, transformation between frames is simple because all that is necessary is to apply the Galilean transformation to all velocities. Since , the momentum . If the total momentum of an interacting system of particles is observed to be conserved in one frame, it will likewise be observed to be conserved in any other frame.[37]:241–245
Conservation of momentum in the COM frame amounts to the requirement that p = 0 both before and after collision. In the Newtonian analysis, conservation of mass dictates that . In the simplified, one-dimensional scenarios that we have been considering, only one additional constraint is necessary before the outgoing momenta of the particles can be determined—an energy condition. In the one-dimensional case of a completely elastic collision with no loss of kinetic energy, the outgoing velocities of the rebounding particles in the COM frame will be precisely equal and opposite to their incoming velocities. In the case of a completely inelastic collision with total loss of kinetic energy, the outgoing velocities of the rebounding particles will be zero.[37]:241–245
Newtonian momenta, calculated as , fail to behave properly under Lorentzian transformation. The linear transformation of velocities is replaced by the highly nonlinear so that a calculation demonstrating conservation of momentum in one frame will be invalid in other frames. Einstein was faced with either having to give up conservation of momentum, or to change the definition of momentum. This second option was what he chose.[35]:104
The relativistic conservation law for energy and momentum replaces the three classical conservation laws for energy, momentum and mass. Mass is no longer conserved independently, because it has been subsumed into the total relativistic energy. This makes the relativistic conservation of energy a simpler concept than in nonrelativistic mechanics, because the total energy is conserved without any qualifications. Kinetic energy converted into heat or internal potential energy shows up as an increase in mass.[37]:127
Example: Because of the equivalence of mass and energy, elementary particle masses are customarily stated in energy units, where 1 MeV = 106 electron volts. A charged pion is a particle of mass 139.57 MeV (approx. 273 times the electron mass). It is unstable, and decays into a muon of mass 105.66 MeV (approx. 207 times the electron mass) and an antineutrino, which has an almost negligible mass. The difference between the pion mass and the muon mass is 33.91 MeV.
π−
→ μ− + νμ
Fig. 3‑12a illustrates the energy–momentum diagram for this decay reaction in the rest frame of the pion. Because of its negligible mass, a neutrino travels at very nearly the speed of light. The relativistic expression for its energy, like that of the photon, is which is also the value of the space component of its momentum. To conserve momentum, the muon has the same value of the space component of the neutrino's momentum, but in the opposite direction.
Algebraic analyses of the energetics of this decay reaction are available online,[43] so Fig. 3‑12b presents instead a graphing calculator solution. The energy of the neutrino is 29.79 MeV, and the energy of the muon is 33.91 MeV − 29.79 MeV = 4.12 MeV. Most of the energy is carried off by the near-zero-mass neutrino.
Помимо основ
The topics in this section are of significantly greater technical difficulty than those in the preceding sections and are not essential for understanding Introduction to curved spacetime.
Rapidity
Lorentz transformations relate coordinates of events in one reference frame to those of another frame. Relativistic composition of velocities is used to add two velocities together. The formulas to perform the latter computations are nonlinear, making them more complex than the corresponding Galilean formulas.
This nonlinearity is an artifact of our choice of parameters.[7]:47–59 We have previously noted that in an x–ct spacetime diagram, the points at some constant spacetime interval from the origin form an invariant hyperbola. We have also noted that the coordinate systems of two spacetime reference frames in standard configuration are hyperbolically rotated with respect to each other.
The natural functions for expressing these relationships are the hyperbolic analogs of the trigonometric functions. Fig. 4‑1a shows a unit circle with sin(a) and cos(a), the only difference between this diagram and the familiar unit circle of elementary trigonometry being that a is interpreted, not as the angle between the ray and the x-axis, but as twice the area of the sector swept out by the ray from the x-axis. (Numerically, the angle and 2 × area measures for the unit circle are identical.) Fig. 4‑1b shows a unit hyperbola with sinh(a) and cosh(a), where a is likewise interpreted as twice the tinted area.[44] Fig. 4‑2 presents plots of the sinh, cosh, and tanh functions.
For the unit circle, the slope of the ray is given by
In the Cartesian plane, rotation of point (x, y) into point (x', y') by angle θ is given by
In a spacetime diagram, the velocity parameter is the analog of slope. The rapidity, φ, is defined by[37]:96–99
where
The rapidity defined above is very useful in special relativity because many expressions take on a considerably simpler form when expressed in terms of it. For example, rapidity is simply additive in the collinear velocity-addition formula;[7]:47–59
or in other words,
The Lorentz transformations take a simple form when expressed in terms of rapidity. The γ factor can be written as
Transformations describing relative motion with uniform velocity and without rotation of the space coordinate axes are called boosts.
Substituting γ and γβ into the transformations as previously presented and rewriting in matrix form, the Lorentz boost in the x-direction may be written as
and the inverse Lorentz boost in the x-direction may be written as
In other words, Lorentz boosts represent hyperbolic rotations in Minkowski spacetime.[37]:96–99
The advantages of using hyperbolic functions are such that some textbooks such as the classic ones by Taylor and Wheeler introduce their use at a very early stage.[7][45][note 12]
4‑vectors
Four‑vectors have been mentioned above in context of the energy–momentum 4‑vector, but without any great emphasis. Indeed, none of the elementary derivations of special relativity require them. But once understood, 4‑vectors, and more generally tensors, greatly simplify the mathematics and conceptual understanding of special relativity. Working exclusively with such objects leads to formulas that are manifestly relativistically invariant, which is a considerable advantage in non-trivial contexts. For instance, demonstrating relativistic invariance of Maxwell's equations in their usual form is not trivial, while it is merely a routine calculation (really no more than an observation) using the field strength tensor formulation. On the other hand, general relativity, from the outset, relies heavily on 4‑vectors, and more generally tensors, representing physically relevant entities. Relating these via equations that do not rely on specific coordinates requires tensors, capable of connecting such 4‑vectors even within a curved spacetime, and not just within a flat one as in special relativity. The study of tensors is outside the scope of this article, which provides only a basic discussion of spacetime.
Definition of 4-vectors
A 4-tuple, is a "4-vector" if its component A i transform between frames according to the Lorentz transformation.
If using coordinates, A is a 4–vector if it transforms (in the x-direction) according to
which comes from simply replacing ct with A0 and x with A1 in the earlier presentation of the Lorentz transformation.
As usual, when we write x, t, etc. we generally mean Δx, Δt etc.
The last three components of a 4–vector must be a standard vector in three-dimensional space. Therefore, a 4–vector must transform like under Lorentz transformations as well as rotations.[31]:36–59
Properties of 4-vectors
- Closure under linear combination: If A and B are 4-vectors, then is also a 4-vector.
- Inner-product invariance: If A and B are 4-vectors, then their inner product (scalar product) is invariant, i.e. their inner product is independent of the frame in which it is calculated. Note how the calculation of inner product differs from the calculation of the inner product of a 3-vector. In the following, and are 3-vectors:
- In addition to being invariant under Lorentz transformation, the above inner product is also invariant under rotation in 3-space.
- Two vectors are said to be orthogonal if Unlike the case with 3-vectors, orthogonal 4-vectors are not necessarily at right angles with each other. The rule is that two 4-vectors are orthogonal if they are offset by equal and opposite angles from the 45° line which is the world line of a light ray. This implies that a lightlike 4-vector is orthogonal with itself.
- Invariance of the magnitude of a vector: The magnitude of a vector is the inner product of a 4-vector with itself, and is a frame-independent property. As with intervals, the magnitude may be positive, negative or zero, so that the vectors are referred to as timelike, spacelike or null (lightlike). Note that a null vector is not the same as a zero vector. A null vector is one for which while a zero vector is one whose components are all zero. Special cases illustrating the invariance of the norm include the invariant interval and the invariant length of the relativistic momentum vector [37]:178–181[31]:36–59
Examples of 4-vectors
- Displacement 4-vector: Otherwise known as the spacetime separation, this is (Δt, Δx, Δy, Δz), or for infinitesimal separations, (dt, dx, dy, dz).
- Velocity 4-vector: This results when the displacement 4-vector is divided by , where is the proper time between the two events that yield dt, dx, dy, and dz.
- The 4-velocity is tangent to the world line of a particle, and has a length equal to one unit of time in the frame of the particle.
- An accelerated particle does not have an inertial frame in which it is always at rest. However, an inertial frame can always be found which is momentarily comoving with the particle. This frame, the momentarily comoving reference frame (MCRF), enables application of special relativity to the analysis of accelerated particles.
- Since photons move on null lines, for a photon, and a 4-velocity cannot be defined. There is no frame in which a photon is at rest, and no MCRF can be established along a photon's path.
- Energy–momentum 4-vector:
- As indicated before, there are varying treatments for the energy-momentum 4-vector so that one may also see it expressed as or The first component is the total energy (including mass) of the particle (or system of particles) in a given frame, while the remaining components are its spatial momentum. The energy-momentum 4-vector is a conserved quantity.
- Acceleration 4-vector: This results from taking the derivative of the velocity 4-vector with respect to
- Force 4-vector: This is the derivative of the momentum 4-vector with respect to
As expected, the final components of the above 4-vectors are all standard 3-vectors corresponding to spatial 3-momentum, 3-force etc.[37]:178–181[31]:36–59
4-vectors and physical law
The first postulate of special relativity declares the equivalency of all inertial frames. A physical law holding in one frame must apply in all frames, since otherwise it would be possible to differentiate between frames. Newtonian momenta fail to behave properly under Lorentzian transformation, and Einstein preferred to change the definition of momentum to one involving 4-vectors rather than give up on conservation of momentum.
Physical laws must be based on constructs that are frame independent. This means that physical laws may take the form of equations connecting scalars, which are always frame independent. However, equations involving 4-vectors require the use of tensors with appropriate rank, which themselves can be thought of as being built up from 4-vectors.[37]:186
Acceleration
It is a common misconception that special relativity is applicable only to inertial frames, and that it is unable to handle accelerating objects or accelerating reference frames. Actually, accelerating objects can generally be analyzed without needing to deal with accelerating frames at all. It is only when gravitation is significant that general relativity is required.[46]
Properly handling accelerating frames does require some care, however. The difference between special and general relativity is that (1) In special relativity, all velocities are relative, but acceleration is absolute. (2) In general relativity, all motion is relative, whether inertial, accelerating, or rotating. To accommodate this difference, general relativity uses curved spacetime.[46]
In this section, we analyze several scenarios involving accelerated reference frames.
Dewan–Beran–Bell spaceship paradox
The Dewan–Beran–Bell spaceship paradox (Bell's spaceship paradox) is a good example of a problem where intuitive reasoning unassisted by the geometric insight of the spacetime approach can lead to issues.
In Fig. 4‑4, two identical spaceships float in space and are at rest relative to each other. They are connected by a string which is capable of only a limited amount of stretching before breaking. At a given instant in our frame, the observer frame, both spaceships accelerate in the same direction along the line between them with the same constant proper acceleration.[note 13] Will the string break?
When the paradox was new and relatively unknown, even professional physicists had difficulty working out the solution. Two lines of reasoning lead to opposite conclusions. Both arguments, which are presented below, are flawed even though one of them yields the correct answer.[37]:106,120–122
- To observers in the rest frame, the spaceships start a distance L apart and remain the same distance apart during acceleration. During acceleration, L is a length contracted distance of the distance L' = γL in the frame of the accelerating spaceships. After a sufficiently long time, γ will increase to a sufficiently large factor that the string must break.
- Let A and B be the rear and front spaceships. In the frame of the spaceships, each spaceship sees the other spaceship doing the same thing that it is doing. A says that B has the same acceleration that he has, and B sees that A matches her every move. So the spaceships stay the same distance apart, and the string does not break.[37]:106,120–122
The problem with the first argument is that there is no "frame of the spaceships." There cannot be, because the two spaceships measure a growing distance between the two. Because there is no common frame of the spaceships, the length of the string is ill-defined. Nevertheless, the conclusion is correct, and the argument is mostly right. The second argument, however, completely ignores the relativity of simultaneity.[37]:106,120–122
A spacetime diagram (Fig. 4‑5) makes the correct solution to this paradox almost immediately evident. Two observers in Minkowski spacetime accelerate with constant magnitude acceleration for proper time (acceleration and elapsed time measured by the observers themselves, not some inertial observer). They are comoving and inertial before and after this phase. In Minkowski geometry, the length of the spacelike line segment turns out to be greater than the length of the spacelike line segment .
The length increase can be calculated with the help of the Lorentz transformation. If, as illustrated in Fig. 4‑5, the acceleration is finished, the ships will remain at a constant offset in some frame If and are the ships' positions in the positions in frame are:[47]
The "paradox", as it were, comes from the way that Bell constructed his example. In the usual discussion of Lorentz contraction, the rest length is fixed and the moving length shortens as measured in frame . As shown in Fig. 4‑5, Bell's example asserts the moving lengths and measured in frame to be fixed, thereby forcing the rest frame length in frame to increase.
Accelerated observer with horizon
Certain special relativity problem setups can lead to insight about phenomena normally associated with general relativity, such as event horizons. In the text accompanying Fig. 2‑7, the magenta hyperbolae represented actual paths that are tracked by a constantly accelerating traveler in spacetime. During periods of positive acceleration, the traveler's velocity just approaches the speed of light, while, measured in our frame, the traveler's acceleration constantly decreases.
Fig. 4‑6 details various features of the traveler's motions with more specificity. At any given moment, her space axis is formed by a line passing through the origin and her current position on the hyperbola, while her time axis is the tangent to the hyperbola at her position. The velocity parameter approaches a limit of one as increases. Likewise, approaches infinity.
The shape of the invariant hyperbola corresponds to a path of constant proper acceleration. This is demonstrable as follows:
- We remember that
- Since we conclude that
- From the relativistic force law,
- Substituting from step 2 and the expression for from step 3 yields which is a constant expression.[35]:110–113
Fig. 4‑6 illustrates a specific calculated scenario. Terence (A) and Stella (B) initially stand together 100 light hours from the origin. Stella lifts off at time 0, her spacecraft accelerating at 0.01 c per hour. Every twenty hours, Terence radios updates to Stella about the situation at home (solid green lines). Stella receives these regular transmissions, but the increasing distance (offset in part by time dilation) causes her to receive Terence's communications later and later as measured on her clock, and she never receives any communications from Terence after 100 hours on his clock (dashed green lines).[35]:110–113
After 100 hours according to Terence's clock, Stella enters a dark region. She has traveled outside Terence's timelike future. On the other hand, Terence can continue to receive Stella's messages to him indefinitely. He just has to wait long enough. Spacetime has been divided into distinct regions separated by an apparent event horizon. So long as Stella continues to accelerate, she can never know what takes place behind this horizon.[35]:110–113
Введение в искривленное пространство-время
Basic propositions
Newton's theories assumed that motion takes place against the backdrop of a rigid Euclidean reference frame that extends throughout all space and all time. Gravity is mediated by a mysterious force, acting instantaneously across a distance, whose actions are independent of the intervening space.[note 14] In contrast, Einstein denied that there is any background Euclidean reference frame that extends throughout space. Nor is there any such thing as a force of gravitation, only the structure of spacetime itself.[7]:175–190
In spacetime terms, the path of a satellite orbiting the Earth is not dictated by the distant influences of the Earth, Moon and Sun. Instead, the satellite moves through space only in response to local conditions. Since spacetime is everywhere locally flat when considered on a sufficiently small scale, the satellite is always following a straight line in its local inertial frame. We say that the satellite always follows along the path of a geodesic. No evidence of gravitation can be discovered following alongside the motions of a single particle.[7]:175–190
In any analysis of spacetime, evidence of gravitation requires that one observe the relative accelerations of two bodies or two separated particles. In Fig. 5‑1, two separated particles, free-falling in the gravitational field of the Earth, exhibit tidal accelerations due to local inhomogeneities in the gravitational field such that each particle follows a different path through spacetime. The tidal accelerations that these particles exhibit with respect to each other do not require forces for their explanation. Rather, Einstein described them in terms of the geometry of spacetime, i.e. the curvature of spacetime. These tidal accelerations are strictly local. It is the cumulative total effect of many local manifestations of curvature that result in the appearance of a gravitational force acting at a long range from Earth.[7]:175–190
Two central propositions underlie general relativity.
- The first crucial concept is coordinate independence: The laws of physics cannot depend on what coordinate system one uses. This is a major extension of the principle of relativity from the version used in special relativity, which states that the laws of physics must be the same for every observer moving in non-accelerated (inertial) reference frames. In general relativity, to use Einstein's own (translated) words, "the laws of physics must be of such a nature that they apply to systems of reference in any kind of motion."[48]:113 This leads to an immediate issue: In accelerated frames, one feels forces that seemingly would enable one to assess one's state of acceleration in an absolute sense. Einstein resolved this problem through the principle of equivalence.[49]:137–149
- The equivalence principle states that in any sufficiently small region of space, the effects of gravitation are the same as those from acceleration.
- In Fig. 5-2, person A is in a spaceship, far from any massive objects, that undergoes a uniform acceleration of g. Person B is in a box resting on Earth. Provided that the spaceship is sufficiently small so that tidal effects are non-measurable (given the sensitivity of current gravity measurement instrumentation, A and B presumably should be Lilliputians), there are no experiments that A and B can perform which will enable them to tell which setting they are in. [49]:141–149
- An alternative expression of the equivalence principle is to note that in Newton's universal law of gravitation, F = GMmg /r2 =mgg and in Newton's second law, F = m ia, there is no a priori reason why the gravitational massmg should be equal to the inertial massm i. The equivalence principle states that these two masses are identical. [49]:141–149
To go from the elementary description above of curved spacetime to a complete description of gravitation requires tensor calculus and differential geometry, topics both requiring considerable study. Without these mathematical tools, it is possible to write about general relativity, but it is not possible to demonstrate any non-trivial derivations.
Curvature of time
In the discussion of special relativity, forces played no more than a background role. Special relativity assumes the ability to define inertial frames that fill all of spacetime, all of whose clocks run at the same rate as the clock at the origin. Is this really possible? In a nonuniform gravitational field, experiment dictates that the answer is no. Gravitational fields make it impossible to construct a global inertial frame. In small enough regions of spacetime, local inertial frames are still possible. General relativity involves the systematic stitching together of these local frames into a more general picture of spacetime.[31]:118–126
Shortly after the publication of the general theory in 1916, a number of scientists pointed out that general relativity predicts the existence of gravitational redshift. Einstein himself suggested the following thought experiment: (i) Assume that a tower of height h (Fig. 5‑3) has been constructed. (ii) Drop a particle of rest mass m from the top of the tower. It falls freely with acceleration g, reaching the ground with velocity v = (2gh)1/2, so that its total energy E, as measured by an observer on the ground, is (iii) A mass-energy converter transforms the total energy of the particle into a single high energy photon, which it directs upward. (iv) At the top of the tower, an energy-mass converter transforms the energy of the photon E' back into a particle of rest mass m'.[31]:118–126
It must be that m = m', since otherwise one would be able to construct a perpetual motion device. We therefore predict that E' = m, so that
A photon climbing in Earth's gravitational field loses energy and is redshifted. Early attempts to measure this redshift through astronomical observations were somewhat inconclusive, but definitive laboratory observations were performed by Pound & Rebka (1959) and later by Pound & Snider (1964).[50]
Light has an associated frequency, and this frequency may be used to drive the workings of a clock. The gravitational redshift leads to an important conclusion about time itself: Gravity makes time run slower. Suppose we build two identical clocks whose rates are controlled by some stable atomic transition. Place one clock on top of the tower, while the other clock remains on the ground. An experimenter on top of the tower observes that signals from the ground clock are lower in frequency than those of the clock next to her on the tower. Light going up the tower is just a wave, and it is impossible for wave crests to disappear on the way up. Exactly as many oscillations of light arrive at the top of the tower as were emitted at the bottom. The experimenter concludes that the ground clock is running slow, and can confirm this by bringing the tower clock down to compare side by side with the ground clock.[21]:16–18 For a 1 km tower, the discrepancy would amount to about 9.4 nanoseconds per day, easily measurable with modern instrumentation.
Clocks in a gravitational field do not all run at the same rate. Experiments such as the Pound–Rebka experiment have firmly established curvature of the time component of spacetime. The Pound–Rebka experiment says nothing about curvature of the space component of spacetime. But the theoretical arguments predicting gravitational time dilation do not depend on the details of general relativity at all. Any theory of gravity will predict gravitational time dilation if it respects the principle of equivalence.[21]:16 This includes Newtonian gravitation. A standard demonstration in general relativity is to show how, in the "Newtonian limit" (i.e. the particles are moving slowly, the gravitational field is weak, and the field is static), curvature of time alone is sufficient to derive Newton's law of gravity.[51]:101–106
Newtonian gravitation is a theory of curved time. General relativity is a theory of curved time and curved space. Given G as the gravitational constant, M as the mass of a Newtonian star, and orbiting bodies of insignificant mass at distance r from the star, the spacetime interval for Newtonian gravitation is one for which only the time coefficient is variable:[21]:229–232
Curvature of space
The coefficient in front of describes the curvature of time in Newtonian gravitation, and this curvature completely accounts for all Newtonian gravitational effects. As expected, this correction factor is directly proportional to and , and because of the in the denominator, the correction factor increases as one approaches the gravitating body, meaning that time is curved.
But general relativity is a theory of curved space and curved time, so if there are terms modifying the spatial components of the spacetime interval presented above, shouldn't their effects be seen on, say, planetary and satellite orbits due to curvature correction factors applied to the spatial terms?
The answer is that they are seen, but the effects are tiny. The reason is that planetary velocities are extremely small compared to the speed of light, so that for planets and satellites of the solar system, the term dwarfs the spatial terms.[21]:234–238
Despite the minuteness of the spatial terms, the first indications that something was wrong with Newtonian gravitation were discovered over a century-and-a-half ago. In 1859, Urbain Le Verrier, in an analysis of available timed observations of transits of Mercury over the Sun's disk from 1697 to 1848, reported that known physics could not explain the orbit of Mercury, unless there possibly existed a planet or asteroid belt within the orbit of Mercury. The perihelion of Mercury's orbit exhibited an excess rate of precession over that which could be explained by the tugs of the other planets.[52] The ability to detect and accurately measure the minute value of this anomalous precession (only 43 arc seconds per tropical century) is testimony to the sophistication of 19th century astrometry.
As the famous astronomer who had earlier discovered the existence of Neptune "at the tip of his pen" by analyzing wobbles in the orbit of Uranus, Le Verrier's announcement triggered a two-decades long period of "Vulcan-mania", as professional and amateur astronomers alike hunted for the hypothetical new planet. This search included several false sightings of Vulcan. It was ultimately established that no such planet or asteroid belt existed.[53]
In 1916, Einstein was to show that this anomalous precession of Mercury is explained by the spatial terms in the curvature of spacetime. Curvature in the temporal term, being simply an expression of Newtonian gravitation, has no part in explaining this anomalous precession. The success of his calculation was a powerful indication to Einstein's peers that the general theory of relativity could be correct.
The most spectacular of Einstein's predictions was his calculation that the curvature terms in the spatial components of the spacetime interval could be measured in the bending of light around a massive body. Light has a slope of ±1 on a spacetime diagram. Its movement in space is equal to its movement in time. For the weak field expression of the invariant interval, Einstein calculated an exactly equal but opposite sign curvature in its spatial components.[21]:234–238
In Newton's gravitation, the coefficient in front of predicts bending of light around a star. In general relativity, the coefficient in front of predicts a doubling of the total bending.[21]:234–238
The story of the 1919 Eddington eclipse expedition and Einstein's rise to fame is well told elsewhere.[54]
Sources of spacetime curvature
In Newton's theory of gravitation, the only source of gravitational force is mass.
In contrast, general relativity identifies several sources of spacetime curvature in addition to mass. In the Einstein field equations, the sources of gravity are presented on the right-hand side in the stress–energy tensor.
Fig. 5‑5 classifies the various sources of gravity in the stress–energy tensor:
- (red): The total mass–energy density, including any contributions to the potential energy from forces between the particles, as well as kinetic energy from random thermal motions.
- and (orange): These are momentum density terms. Even if there is no bulk motion, energy may be transmitted by heat conduction, and the conducted energy will carry momentum.
- are the rates of flow of the i-component of momentum per unit area in the j-direction. Even if there is no bulk motion, random thermal motions of the particles will give rise to momentum flow, so the i = j terms (green) represent isotropic pressure, and the i ≠ j terms (blue) represent shear stresses.[55]
One important conclusion to be derived from the equations is that, colloquially speaking, gravity itself creates gravity.[note 15] Energy has mass. Even in Newtonian gravity, the gravitational field is associated with an energy, called the gravitational potential energy. In general relativity, the energy of the gravitational field feeds back into creation of the gravitational field. This makes the equations nonlinear and hard to solve in anything other than weak field cases.[21]:240 Numerical relativity is a branch of general relativity using numerical methods to solve and analyze problems, often employing supercomputers to study black holes, gravitational waves, neutron stars and other phenomena in the strong field regime.
Energy-momentum
In special relativity, mass-energy is closely connected to momentum. Just as space and time are different aspects of a more comprehensive entity called spacetime, mass–energy and momentum are merely different aspects of a unified, four-dimensional quantity called four-momentum. In consequence, if mass–energy is a source of gravity, momentum must also be a source. The inclusion of momentum as a source of gravity leads to the prediction that moving or rotating masses can generate fields analogous to the magnetic fields generated by moving charges, a phenomenon known as gravitomagnetism.[56]
It is well known that the force of magnetism can be deduced by applying the rules of special relativity to moving charges. (An eloquent demonstration of this was presented by Feynman in volume II, chapter 13–6 of his Lectures on Physics, available online.[57]) Analogous logic can be used to demonstrate the origin of gravitomagnetism. In Fig. 5‑7a, two parallel, infinitely long streams of massive particles have equal and opposite velocities −v and +v relative to a test particle at rest and centered between the two. Because of the symmetry of the setup, the net force on the central particle is zero. Assume so that velocities are simply additive. Fig. 5‑7b shows exactly the same setup, but in the frame of the upper stream. The test particle has a velocity of +v, and the bottom stream has a velocity of +2v. Since the physical situation has not changed, only the frame in which things are observed, the test particle should not be attracted towards either stream. But it is not at all clear that the forces exerted on the test particle are equal. (1) Since the bottom stream is moving faster than the top, each particle in the bottom stream has a larger mass energy than a particle in the top. (2) Because of Lorentz contraction, there are more particles per unit length in the bottom stream than in the top stream. (3) Another contribution to the active gravitational mass of the bottom stream comes from an additional pressure term which, at this point, we do not have sufficient background to discuss. All of these effects together would seemingly demand that the test particle be drawn towards the bottom stream.
The test particle is not drawn to the bottom stream because of a velocity-dependent force that serves to repel a particle that is moving in the same direction as the bottom stream. This velocity-dependent gravitational effect is gravitomagnetism.[21]:245–253
Matter in motion through a gravitomagnetic field is hence subject to so-called frame-dragging effects analogous to electromagnetic induction. It has been proposed that such gravitomagnetic forces underlie the generation of the relativistic jets (Fig. 5‑8) ejected by some rotating supermassive black holes.[58][59]
Pressure and stress
Quantities that are directly related to energy and momentum should be sources of gravity as well, namely internal pressure and stress. Taken together, mass-energy, momentum, pressure and stress all serve as sources of gravity: Collectively, they are what tells spacetime how to curve.
General relativity predicts that pressure acts as a gravitational source with exactly the same strength as mass–energy density. The inclusion of pressure as a source of gravity leads to dramatic differences between the predictions of general relativity versus those of Newtonian gravitation. For example, the pressure term sets a maximum limit to the mass of a neutron star. The more massive a neutron star, the more pressure is required to support its weight against gravity. The increased pressure, however, adds to the gravity acting on the star's mass. Above a certain mass determined by the Tolman–Oppenheimer–Volkoff limit, the process becomes runaway and the neutron star collapses to a black hole.[21]:243,280
The stress terms become highly significant when performing calculations such as hydrodynamic simulations of core-collapse supernovae.[60]
These predictions for the roles of pressure, momentum and stress as sources of spacetime curvature are elegant and play an important role in theory. In regards to pressure, the early universe was radiation dominated,[61] and it is highly unlikely that any of the relevant cosmological data (e.g. nucleosynthesis abundances, etc.) could be reproduced if pressure did not contribute to gravity, or if it did not have the same strength as a source of gravity as mass–energy. Likewise, the mathematical consistency of the Einstein field equations would be broken if the stress terms did not contribute as a source of gravity.
Experimental test of the sources of spacetime curvature
Definitions: Active, passive, and inertial mass
Bondi distinguishes between different possible types of mass: (1) active mass () is the mass which acts as the source of a gravitational field; (2)passive mass () is the mass which reacts to a gravitational field; (3) inertial mass () is the mass which reacts to acceleration.[62]
- is the same as gravitational mass () in the discussion of the equivalence principle.
In Newtonian theory,
- The third law of action and reaction dictates that and must be the same.
- On the other hand, whether and are equal is an empirical result.
In general relativity,
- The equality of and is dictated by the equivalence principle.
- There is no "action and reaction" principle dictating any necessary relationship between and .[62]
Pressure as a gravitational source
The classic experiment to measure the strength of a gravitational source (i.e. its active mass) was first conducted in 1797 by Henry Cavendish (Fig. 5‑9a). Two small but dense balls are suspended on a fine wire, making a torsion balance. Bringing two large test masses close to the balls introduces a detectable torque. Given the dimensions of the apparatus and the measurable spring constant of the torsion wire, the gravitational constant G can be determined.
To study pressure effects by compressing the test masses is hopeless, because attainable laboratory pressures are insignificant in comparison with the mass-energy of a metal ball.
However, the repulsive electromagnetic pressures resulting from protons being tightly squeezed inside atomic nuclei are typically on the order of 1028 atm ≈ 1033 Pa ≈ 1033 kg·s−2m−1. This amounts to about 1% of the nuclear mass density of approximately 1018kg/m3 (after factoring in c2 ≈ 9×1016m2s−2).[63]
If pressure does not act as a gravitational source, then the ratio should be lower for nuclei with higher atomic number Z, in which the electrostatic pressures are higher. L. B. Kreuzer (1968) did a Cavendish experiment using a Teflon mass suspended in a mixture of the liquids trichloroethylene and dibromoethane having the same buoyant density as the Teflon (Fig. 5‑9b). Fluorine has atomic number Z = 9, while bromine has Z = 35. Kreuzer found that repositioning the Teflon mass caused no differential deflection of the torsion bar, hence establishing active mass and passive mass to be equivalent to a precision of 5×10−5.[64]
Although Kreuzer originally considered this experiment merely to be a test of the ratio of active mass to passive mass, Clifford Will (1976) reinterpreted the experiment as a fundamental test of the coupling of sources to gravitational fields.[65]
In 1986, Bartlett and Van Buren noted that lunar laser ranging had detected a 2 km offset between the moon's center of figure and its center of mass. This indicates an asymmetry in the distribution of Fe (abundant in the Moon's core) and Al (abundant in its crust and mantle). If pressure did not contribute equally to spacetime curvature as does mass–energy, the moon would not be in the orbit predicted by classical mechanics. They used their measurements to tighten the limits on any discrepancies between active and passive mass to about 10−12.[66]
Gravitomagnetism
The existence of gravitomagnetism was proven by Gravity Probe B (GP-B), a satellite-based mission which launched on 20 April 2004.[67] The spaceflight phase lasted until . The mission aim was to measure spacetime curvature near Earth, with particular emphasis on gravitomagnetism.
Initial results confirmed the relatively large geodetic effect (which is due to simple spacetime curvature, and is also known as de Sitter precession) to an accuracy of about 1%. The much smaller frame-dragging effect (which is due to gravitomagnetism, and is also known as Lense–Thirring precession) was difficult to measure because of unexpected charge effects causing variable drift in the gyroscopes. Nevertheless, by , the frame-dragging effect had been confirmed to within 15% of the expected result,[68] while the geodetic effect was confirmed to better than 0.5%.[69][70]
Subsequent measurements of frame dragging by laser-ranging observations of the LARES, LAGEOS-1 and LAGEOS-2 satellites has improved on the GP-B measurement, with results (as of 2016) demonstrating the effect to within 5% of its theoretical value,[71] although there has been some disagreement on the accuracy of this result.[72]
Another effort, the Gyroscopes in General Relativity (GINGER) experiment, seeks to use three 6 m ring lasers mounted at right angles to each other 1400 m below the Earth's surface to measure this effect.[73][74]
Технические темы
Is spacetime really curved?
In Poincaré's conventionalist views, the essential criteria according to which one should select a Euclidean versus non-Euclidean geometry would be economy and simplicity. A realist would say that Einstein discovered spacetime to be non-Euclidean. A conventionalist would say that Einstein merely found it more convenient to use non-Euclidean geometry. The conventionalist would maintain that Einstein's analysis said nothing about what the geometry of spacetime really is.[75]
Such being said,
- 1. Is it possible to represent general relativity in terms of flat spacetime?
- 2. Are there any situations where a flat spacetime interpretation of general relativity may be more convenient than the usual curved spacetime interpretation?
In response to the first question, a number of authors including Deser, Grishchuk, Rosen, Weinberg, etc. have provided various formulations of gravitation as a field in a flat manifold. Those theories are variously called "bimetric gravity", the "field-theoretical approach to general relativity", and so forth.[76][77][78][79] Kip Thorne has provided a popular review of these theories.[80]:397–403
The flat spacetime paradigm posits that matter creates a gravitational field that causes rulers to shrink when they are turned from circumferential orientation to radial, and that causes the ticking rates of clocks to dilate. The flat spacetime paradigm is fully equivalent to the curved spacetime paradigm in that they both represent the same physical phenomena. However, their mathematical formulations are entirely different. Working physicists routinely switch between using curved and flat spacetime techniques depending on the requirements of the problem. The flat spacetime paradigm turns out to be especially convenient when performing approximate calculations in weak fields. Hence, flat spacetime techniques will be used when solving gravitational wave problems, while curved spacetime techniques will be used in the analysis of black holes.[80]:397–403
Asymptotic symmetries
The spacetime symmetry group for Special Relativity is the Poincaré group, which is a ten-dimensional group of three Lorentz boosts, three rotations, and four spacetime translations. It is logical to ask what symmetries if any might apply in General Relativity. A tractable case might be to consider the symmetries of spacetime as seen by observers located far away from all sources of the gravitational field. The naive expectation for asymptotically flat spacetime symmetries might be simply to extend and reproduce the symmetries of flat spacetime of special relativity, viz., the Poincaré group.
In 1962 Hermann Bondi, M. G. van der Burg, A. W. Metzner[81] and Rainer K. Sachs[82] addressed this asymptotic symmetry problem in order to investigate the flow of energy at infinity due to propagating gravitational waves. Their first step was to decide on some physically sensible boundary conditions to place on the gravitational field at light-like infinity to characterize what it means to say a metric is asymptotically flat, making no a priori assumptions about the nature of the asymptotic symmetry group — not even the assumption that such a group exists. Then after designing what they considered to be the most sensible boundary conditions, they investigated the nature of the resulting asymptotic symmetry transformations that leave invariant the form of the boundary conditions appropriate for asymptotically flat gravitational fields. What they found was that the asymptotic symmetry transformations actually do form a group and the structure of this group does not depend on the particular gravitational field that happens to be present. This means that, as expected, one can separate the kinematics of spacetime from the dynamics of the gravitational field at least at spatial infinity. The puzzling surprise in 1962 was their discovery of a rich infinite-dimensional group (the so-called BMS group) as the asymptotic symmetry group, instead of the finite-dimensional Poincaré group, which is a subgroup of the BMS group. Not only are the Lorentz transformations asymptotic symmetry transformations, there are also additional transformations that are not Lorentz transformations but are asymptotic symmetry transformations. In fact, they found an additional infinity of transformation generators known as supertranslations. This implies the conclusion that General Relativity (GR) does not reduce to special relativity in the case of weak fields at long distances.[83]:35
Riemannian geometry
Riemannian geometry is the branch of differential geometry that studies Riemannian manifolds, smooth manifolds with a Riemannian metric, i.e. with an inner product on the tangent space at each point that varies smoothly from point to point. This gives, in particular, local notions of angle, length of curves, surface area and volume. From those, some other global quantities can be derived by integrating local contributions.
Riemannian geometry originated with the vision of Bernhard Riemann expressed in his inaugural lecture "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" [84] ("On the Hypotheses on which Geometry is Based"). It is a very broad and abstract generalization of the differential geometry of surfaces in R 3. Development of Riemannian geometry resulted in synthesis of diverse results concerning the geometry of surfaces and the behavior of geodesics on them, with techniques that can be applied to the study of differentiable manifolds of higher dimensions. It enabled the formulation of Einstein's general theory of relativity, made profound impact on group theory and representation theory, as well as analysis, and spurred the development of algebraic and differential topology.
Curved manifolds
For physical reasons, a spacetime continuum is mathematically defined as a four-dimensional, smooth, connected Lorentzian manifold . This means the smooth Lorentz metric has signature . The metric determines the geometry of spacetime, as well as determining the geodesics of particles and light beams. About each point (event) on this manifold, coordinate charts are used to represent observers in reference frames. Usually, Cartesian coordinates are used. Moreover, for simplicity's sake, units of measurement are usually chosen such that the speed of light is equal to 1.[85]
A reference frame (observer) can be identified with one of these coordinate charts; any such observer can describe any event . Another reference frame may be identified by a second coordinate chart about . Two observers (one in each reference frame) may describe the same event but obtain different descriptions.[85]
Usually, many overlapping coordinate charts are needed to cover a manifold. Given two coordinate charts, one containing (representing an observer) and another containing (representing another observer), the intersection of the charts represents the region of spacetime in which both observers can measure physical quantities and hence compare results. The relation between the two sets of measurements is given by a non-singular coordinate transformation on this intersection. The idea of coordinate charts as local observers who can perform measurements in their vicinity also makes good physical sense, as this is how one actually collects physical data—locally.[85]
For example, two observers, one of whom is on Earth, but the other one who is on a fast rocket to Jupiter, may observe a comet crashing into Jupiter (this is the event ). In general, they will disagree about the exact location and timing of this impact, i.e., they will have different 4-tuples (as they are using different coordinate systems). Although their kinematic descriptions will differ, dynamical (physical) laws, such as momentum conservation and the first law of thermodynamics, will still hold. In fact, relativity theory requires more than this in the sense that it stipulates these (and all other physical) laws must take the same form in all coordinate systems. This introduces tensors into relativity, by which all physical quantities are represented.
Geodesics are said to be time-like, null, or space-like if the tangent vector to one point of the geodesic is of this nature. Paths of particles and light beams in spacetime are represented by time-like and null (light-like) geodesics, respectively.[85]
Privileged character of 3+1 spacetime
There are two kinds of dimensions: spatial (bidirectional) and temporal (unidirectional).[86] Let the number of spatial dimensions be N and the number of temporal dimensions be T. That N = 3 and T = 1, setting aside the compactified dimensions invoked by string theory and undetectable to date, can be explained by appealing to the physical consequences of letting N differ from 3 and T differ from 1. The argument is often of an anthropic character and possibly the first of its kind, albeit before the complete concept came into vogue.
The implicit notion that the dimensionality of the universe is special is first attributed to Gottfried Wilhelm Leibniz, who in the Discourse on Metaphysics suggested that the world is "the one which is at the same time the simplest in hypothesis and the richest in phenomena".[87] Immanuel Kant argued that 3-dimensional space was a consequence of the inverse square law of universal gravitation. While Kant's argument is historically important, John D. Barrow says that it "gets the punch-line back to front: it is the three-dimensionality of space that explains why we see inverse-square force laws in Nature, not vice-versa" (Barrow 2002: 204).[note 16]
In 1920, Paul Ehrenfest showed that if there is only one time dimension and greater than three spatial dimensions, the orbit of a planet about its Sun cannot remain stable. The same is true of a star's orbit around the center of its galaxy.[88] Ehrenfest also showed that if there are an even number of spatial dimensions, then the different parts of a wave impulse will travel at different speeds. If there are spatial dimensions, where k is a positive whole number, then wave impulses become distorted. In 1922, Hermann Weyl showed that Maxwell's theory of electromagnetism works only with three dimensions of space and one of time.[89] Finally, Tangherlini showed in 1963 that when there are more than three spatial dimensions, electron orbitals around nuclei cannot be stable; electrons would either fall into the nucleus or disperse.[90]
Max Tegmark expands on the preceding argument in the following anthropic manner.[91] If T differs from 1, the behavior of physical systems could not be predicted reliably from knowledge of the relevant partial differential equations. In such a universe, intelligent life capable of manipulating technology could not emerge. Moreover, if T > 1, Tegmark maintains that protons and electrons would be unstable and could decay into particles having greater mass than themselves. (This is not a problem if the particles have a sufficiently low temperature.) N = 1 and T = 3 has the peculiar property that the speed of light in a vacuum is a lower bound on the velocity of matter; all matter consists of tachyons.[91]
Lastly, if N < 3, gravitation of any kind becomes problematic, and the universe is probably too simple to contain observers. For example, when N < 3, nerves cannot cross without intersecting.[91]
Hence anthropic and other arguments rule out all cases except N = 3 and T = 1, which happens to describe the world around us.Смотрите также
- Basic introduction to the mathematics of curved spacetime
- Complex spacetime
- Einstein's thought experiments
- Global spacetime structure
- Metric space
- Philosophy of space and time
- Present
Заметки
- ^ luminiferous from the Latin lumen, light, + ferens, carrying; aether from the Greek αἰθήρ (aithēr), pure air, clear sky
- ^ By stating that simultaneity is a matter of convention, Poincaré meant that to talk about time at all, one must have synchronized clocks, and the synchronization of clocks must be established by a specified, operational procedure (convention). This stance represented a fundamental philosophical break from Newton, who conceived of an absolute, true time that was independent of the workings of the inaccurate clocks of his day. This stance also represented a direct attack against the influential philosopher Henri Bergson, who argued that time, simultaneity, and duration were matters of intuitive understanding.[15]
- ^ The operational procedure adopted by Poincaré was essentially identical to what is known as Einstein synchronization, even though a variant of it was already a widely used procedure by telegraphers in the middle 19th century. Basically, to synchronize two clocks, one flashes a light signal from one to the other, and adjusts for the time that the flash takes to arrive.[15]
- ^ A hallmark of Einstein's career, in fact, was his use of visualized thought experiments (Gedanken–Experimente) as a fundamental tool for understanding physical issues. For special relativity, he employed moving trains and flashes of lightning for his most penetrating insights. For curved spacetime, he considered a painter falling off a roof, accelerating elevators, blind beetles crawling on curved surfaces and the like. In his great Solvay Debates with Bohr on the nature of reality (1927 and 1930), he devised multiple imaginary contraptions intended to show, at least in concept, means whereby the Heisenberg uncertainty principle might be evaded. Finally, in a profound contribution to the literature on quantum mechanics, Einstein considered two particles briefly interacting and then flying apart so that their states are correlated, anticipating the phenomenon known as quantum entanglement. [20]:26–27;122–127;145–146;345–349;448–460
- ^ In the original version of this lecture, Minkowski continued to use such obsolescent terms as the ether, but the posthumous publication in 1915 of this lecture in the Annals of Physics (Annalen der Physik) was edited by Sommerfeld to remove this term. Sommerfeld also edited the published form of this lecture to revise Minkowski's judgement of Einstein from being a mere clarifier of the principle of relativity, to being its chief expositor.[22]
- ^ (In the following, the group G∞ is the Galilean group and the group Gc the Lorentz group.) "With respect to this it is clear that the group Gc in the limit for c = ∞, i.e. as group G∞, exactly becomes the full group belonging to Newtonian Mechanics. In this state of affairs, and since Gc is mathematically more intelligible than G∞, a mathematician may, by a free play of imagination, hit upon the thought that natural phenomena actually possess an invariance, not for the group G∞, but rather for a group Gc, where c is definitely finite, and only exceedingly large using the ordinary measuring units."[24]
- ^ For instance, the Lorentz group is a subgroup of the conformal group in four dimensions.[25]:41–42 The Lorentz group is isomorphic to the Laguerre group transforming planes into planes,[25]:39–42 it is isomorphic to the Möbius group of the plane,[26]:22 and is isomorphic to the group of isometries in hyperbolic space which is often expressed in terms of the hyperboloid model.[27]:3.2.3
- ^ In a Cartesian plane, ordinary rotation leaves a circle unchanged. In spacetime, hyperbolic rotation preserves the hyperbolic metric.
- ^ Even with no (de)acceleration i.e. using one inertial frame O for constant, high-velocity outward journey and another inertial frame I for constant, high-velocity inward journey – the sum of the elapsed time in those frames (O and I) is shorter than the elapsed time in the stationary inertial frame S. Thus acceleration and deceleration is not the cause of shorter elapsed time during the outward and inward journey. Instead the use of two different constant, high-velocity inertial frames for outward and inward journey is really the cause of shorter elapsed time total. Granted, if the same twin has to travel outward and inward leg of the journey and safely switch from outward to inward leg of the journey, the acceleration and deceleration is required. If the travelling twin could ride the high-velocity outward inertial frame and instantaneously switch to high-velocity inward inertial frame the example would still work. The point is that real reason should be stated clearly. The asymmetry is because of the comparison of sum of elapsed times in two different inertial frames (O and I) to the elapsed time in a single inertial frame S.
- ^ The ease of analyzing a relativistic scenario often depends on the frame in which one chooses to perform the analysis. In this linked image, we present alternative views of the transverse Doppler shift scenario where source and receiver are at their closest approach to each other. (a) If we analyze the scenario in the frame of the receiver, we find that the analysis is more complicated than it should be. The apparent position of a celestial object is displaced from its true position (or geometric position) because of the object's motion during the time it takes its light to reach an observer. The source would be time-dilated relative to the receiver, but the redshift implied by this time dilation would be offset by a blueshift due to the longitudinal component of the relative motion between the receiver and the apparent position of the source. (b) It is much easier if, instead, we analyze the scenario from the frame of the source. An observer situated at the source knows, from the problem statement, that the receiver is at its closest point to him. That means that the receiver has no longitudinal component of motion to complicate the analysis. Since the receiver's clocks are time-dilated relative to the source, the light that the receiver receives is therefore blue-shifted by a factor of gamma.
- ^ Not all experiments characterize the effect in terms of a redshift. For example, the Kündig experiment was set up to measure transverse blueshift using a Mössbauer source setup at the center of a centrifuge rotor and an absorber at the rim.
- ^ Rapidity arises naturally as a coordinates on the pure boost generators inside the Lie algebra algebra of the Lorentz group. Likewise, rotation angles arise naturally as coordinates (modulo 2π) on the pure rotation generators in the Lie algebra. (Together they coordinatize the whole Lie algebra.) A notable difference is that the resulting rotations are periodic in the rotation angle, while the resulting boosts are not periodic in rapidity (but rather one-to-one). The similarity between boosts and rotations is formal resemblance.
- ^ In relativity theory, proper acceleration is the physical acceleration (i.e., measurable acceleration as by an accelerometer) experienced by an object. It is thus acceleration relative to a free-fall, or inertial, observer who is momentarily at rest relative to the object being measured.
- ^ Newton himself was acutely aware of the inherent difficulties with these assumptions, but as a practical matter, making these assumptions was the only way that he could make progress. In 1692, he wrote to his friend Richard Bentley: "That Gravity should be innate, inherent and essential to Matter, so that one body may act upon another at a distance thro' a Vacuum, without the Mediation of any thing else, by and through which their Action and Force may be conveyed from one to another, is to me so great an Absurdity that I believe no Man who has in philosophical Matters a competent Faculty of thinking can ever fall into it."
- ^ More precisely, the gravitational field couples to itself. In Newtonian gravity, the potential due to two point masses is simply the sum of the potentials of the two masses, but this does not apply to GR. This can be thought of as the result of the equivalence principle: If gravitation did not couple to itself, two particles bound by their mutual gravitational attraction would not have the same inertial mass (due to negative binding energy) as their gravitational mass.[51]:112–113
- ^ This is because the law of gravitation (or any other inverse-square law) follows from the concept of flux and the proportional relationship of flux density and the strength of field. If N = 3, then 3-dimensional solid objects have surface areas proportional to the square of their size in any selected spatial dimension. In particular, a sphere of radius r has area of 4πr 2. More generally, in a space of N dimensions, the strength of the gravitational attraction between two bodies separated by a distance of r would be inversely proportional to rN−1.
Дополнительные детали
- ^ Different reporters viewing the scenarios presented in this figure interpret the scenarios differently depending on their knowledge of the situation. (i) A first reporter, at the center of mass of particles 2 and 3 but unaware of the large mass 1, concludes that a force of repulsion exists between the particles in scenario A while a force of attraction exists between the particles in scenario B. (ii) A second reporter, aware of the large mass 1, smiles at the first reporter's naiveté. This second reporter knows that in reality, the apparent forces between particles 2 and 3 really represent tidal effects resulting from their differential attraction by mass 1. (iii) A third reporter, trained in general relativity, knows that there are, in fact, no forces at all acting between the three objects. Rather, all three objects move along geodesics in spacetime.
Рекомендации
- ^ Rowe, E.G.Peter (2013). Geometrical Physics in Minkowski Spacetime (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 28. ISBN 978-1-4471-3893-8. Extract of page 28
- ^ Rynasiewicz, Robert. "Newton's Views on Space, Time, and Motion". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 24 March 2017.
- ^ Davis, Philip J. (2006). Mathematics & Common Sense: A Case of Creative Tension. Wellesley, Massachusetts: A.K. Peters. p. 86. ISBN 9781439864326.
- ^ a b c d e Collier, Peter (2017). A Most Incomprehensible Thing: Notes Towards a Very Gentle Introduction to the Mathematics of Relativity (3rd ed.). Incomprehensible Books. ISBN 9780957389465.
- ^ Rowland, Todd. "Manifold". Wolfram Mathworld. Wolfram Research. Retrieved 24 March 2017.
- ^ a b French, A.P. (1968). Special Relativity. Boca Raton, Florida: CRC Press. pp. 35–60. ISBN 0748764224.
- ^ a b c d e f g Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity (2nd ed.). San Francisco: Freeman. ISBN 071670336X. Retrieved 14 April 2017.
- ^ Scherr, Rachel E.; Shaffer, Peter S.; Vokos, Stamatis (July 2001). "Student understanding of time in special relativity: Simultaneity and reference frames" (PDF). American Journal of Physics. 69 (S1): S24–S35. arXiv:physics/0207109. Bibcode:2001AmJPh..69S..24S. doi:10.1119/1.1371254. S2CID 8146369. Retrieved 11 April 2017.
- ^ Hughes, Stefan (2013). Catchers of the Light: Catching Space: Origins, Lunar, Solar, Solar System and Deep Space. Paphos, Cyprus: ArtDeCiel Publishing. pp. 202–233. ISBN 9781467579926.
- ^ Stachel, John (2005). "Fresnel's (Dragging) Coefficient as a Challenge to 19th Century Optics of Moving Bodies." (PDF). In Kox, A. J.; Eisenstaedt, Jean (eds.). The Universe of General Relativity. Boston: Birkhäuser. pp. 1–13. ISBN 081764380X. Archived from the original (PDF) on 13 April 2017.
- ^ a b c d e Pais, Abraham (1982). ""Subtle is the Lord–": The Science and the Life of Albert Einstein (11th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 019853907X.
- ^ Born, Max (1956). Physics in My Generation. London & New York: Pergamon Press. p. 194. Retrieved 10 July 2017.
- ^ Darrigol, O. (2005), "The Genesis of the theory of relativity" (PDF), Séminaire Poincaré, 1: 1–22, Bibcode:2006eins.book....1D, doi:10.1007/3-7643-7436-5_1, ISBN 978-3-7643-7435-8
- ^ a b c Miller, Arthur I. (1998). Albert Einstein's Special Theory of Relativity. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387948708.
- ^ a b c Galison, Peter (2003). Einstein's Clocks, Poincaré's Maps: Empires of Time. New York: W. W. Norton & Company, Inc. pp. 13–47. ISBN 0393020010.
- ^ Poincare, Henri (1906). "On the Dynamics of the Electron (Sur la dynamique de l'électron)". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 21: 129–176. Bibcode:1906RCMP...21..129P. doi:10.1007/bf03013466. hdl:2027/uiug.30112063899089. S2CID 120211823. Retrieved 15 July 2017.
- ^ Zahar, Elie (1989) [1983], "Poincaré's Independent Discovery of the relativity principle", Einstein's Revolution: A Study in Heuristic, Chicago: Open Court Publishing Company, ISBN 0-8126-9067-2
- ^ a b Walter, Scott A. (2007). "Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910". In Renn, Jürgen; Schemmel, Matthias (eds.). The Genesis of General Relativity, Volume 3. Berlin: Springer. pp. 193–252. Archived from the original on 15 July 2017. Retrieved 15 July 2017.
- ^ Einstein, Albert (1905). "On the Electrodynamics of Moving Bodies ( Zur Elektrodynamik bewegter Körper)". Annalen der Physik. 322 (10): 891–921. Bibcode:1905AnP...322..891E. doi:10.1002/andp.19053221004. Retrieved 7 April 2018.
- ^ Isaacson, Walter (2007). Einstein: His Life and Universe. Simon & Schuster. ISBN 978-0-7432-6473-0.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t Schutz, Bernard (2004). Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity (Reprint ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521455065. Retrieved 24 May 2017.
- ^ a b Weinstein, Galina (2012). "Max Born, Albert Einstein and Hermann Minkowski's Space–Time Formalism of Special Relativity". arXiv:1210.6929 [physics.hist-ph].
- ^ Galison, Peter Louis (1979). "Minkowski's space–time: From visual thinking to the absolute world". Historical Studies in the Physical Sciences. 10: 85–121. doi:10.2307/27757388. JSTOR 27757388.
- ^ a b Minkowski, Hermann (1909). "Raum und Zeit" [Space and Time]. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. B.G. Teubner: 1–14.
- ^ a b Cartan, É.; Fano, G. (1955) [1915]. "La théorie des groupes continus et la géométrie". Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées. 3 (1): 39–43. (Only pages 1–21 were published in 1915, the entire article including pp. 39–43 concerning the groups of Laguerre and Lorentz was posthumously published in 1955 in Cartan's collected papers, and was reprinted in the Encyclopédie in 1991.)
- ^ Kastrup, H. A. (2008). "On the advancements of conformal transformations and their associated symmetries in geometry and theoretical physics". Annalen der Physik. 520 (9–10): 631–690. arXiv:0808.2730. Bibcode:2008AnP...520..631K. doi:10.1002/andp.200810324. S2CID 12020510.
- ^ Ratcliffe, J. G. (1994). "Hyperbolic geometry". Foundations of Hyperbolic Manifolds. New York. pp. 56–104. ISBN 038794348X.
- ^ Curtis, W. D.; Miller, F. R. (1985). Differential Manifolds and Theoretical Physics. Academic Press. p. 223. ISBN 978-0-08-087435-7.
- ^ Curiel, Erik; Bokulich, Peter. "Lightcones and Causal Structure". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 26 March 2017.
- ^ Savitt, Steven. "Being and Becoming in Modern Physics. 3. The Special Theory of Relativity". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 26 March 2017.
- ^ a b c d e f Schutz, Bernard F. (1985). A first course in general relativity. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 26. ISBN 0521277035.
- ^ a b c d e f g Weiss, Michael. "The Twin Paradox". The Physics and Relativity FAQ. Retrieved 10 April 2017.
- ^ Mould, Richard A. (1994). Basic Relativity (1st ed.). Springer. p. 42. ISBN 9780387952109. Retrieved 22 April 2017.
- ^ Lerner, Lawrence S. (1997). Physics for Scientists and Engineers, Volume 2 (1st ed.). Jones & Bartlett Pub. p. 1047. ISBN 9780763704605. Retrieved 22 April 2017.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o Bais, Sander (2007). Very Special Relativity: An Illustrated Guide. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. ISBN 978-0674026117.
- ^ Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dynamics and Relativity. John Wiley & Sons. p. 118. ISBN 9781118933299. Retrieved 24 April 2017.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q Morin, David (2017). Special Relativity for the Enthusiastic Beginner. CreateSpace Independent Publishing Platform. ISBN 9781542323512.
- ^ Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (2006). The Classical Theory of Fields, Course of Theoretical Physics, Volume 2 (4th ed.). Amsterdam: Elsevier. pp. 1–24. ISBN 9780750627689.
- ^ a b Morin, David (2008). Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87622-3.
- ^ Rose, H. H. (21 April 2008). "Optics of high-performance electron microscopes". Science and Technology of Advanced Materials. 9 (1): 014107. Bibcode:2008STAdM...9a4107R. doi:10.1088/0031-8949/9/1/014107. PMC 5099802. PMID 27877933.
- ^ Griffiths, David J. (2013). Revolutions in Twentieth-Century Physics. Cambridge: Cambridge University Press. p. 60. ISBN 9781107602175. Retrieved 24 May 2017.
- ^ Byers, Nina (1998). "E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws". arXiv:physics/9807044.
- ^ Nave, R. "Energetics of Charged Pion Decay". Hyperphysics. Department of Physics and Astronomy, Georgia State University. Retrieved 27 May 2017.
- ^ Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel; Giordano, Frank R. (2008). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (Eleventh ed.). Boston: Pearson Education, Inc. p. 533. ISBN 978-0321495754.
- ^ Taylor, Edwin F.; Wheeler, John Archibald (1992). Spacetime Physics (2nd ed.). W. H. Freeman. ISBN 0716723271.
- ^ a b Gibbs, Philip. "Can Special Relativity Handle Acceleration?". The Physics and Relativity FAQ. math.ucr.edu. Retrieved 28 May 2017.
- ^ Franklin, Jerrold (2010). "Lorentz contraction, Bell's spaceships, and rigid body motion in special relativity". European Journal of Physics. 31 (2): 291–298. arXiv:0906.1919. Bibcode:2010EJPh...31..291F. doi:10.1088/0143-0807/31/2/006. S2CID 18059490.
- ^ Lorentz, H. A.; Einstein, A.; Minkowski, H.; Weyl, H. (1952). The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity. Dover Publications. ISBN 0486600815.
- ^ a b c Mook, Delo E.; Vargish, Thoma s (1987). Inside Relativity. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0691084726.
- ^ Mester, John. "Experimental Tests of General Relativity" (PDF). Laboratoire Univers et Théories. Archived from the original (PDF) on 18 March 2017. Retrieved 9 June 2017.
- ^ a b Carroll, Sean M. (2 December 1997). "Lecture Notes on General Relativity". arXiv:gr-qc/9712019.
- ^ Le Verrier, Urbain (1859). "Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 49: 379–383.
- ^ Worrall, Simon (4 November 2015). "The Hunt for Vulcan, the Planet That Wasn't There". National Geographic. Archived from the original on 24 May 2017.
- ^ Levine, Alaina G. (May 2016). "May 29, 1919: Eddington Observes Solar Eclipse to Test General Relativity". This Month in Physics History. APS News. American Physical Society. Archived from the original on 2 June 2017.
- ^ Hobson, M. P.; Efstathiou, G.; Lasenby, A. N. (2006). General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 176–179. ISBN 9780521829519.
- ^ Thorne, Kip S. (1988). Fairbank, J. D.; Deaver Jr., B. S.; Everitt, W. F.; Michelson, P. F. (eds.). Near zero: New Frontiers of Physics (PDF). W. H. Freeman and Company. pp. 573–586. S2CID 12925169. Archived from the original (PDF) on 28 July 2017.
- ^ Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964). The Feynman Lectures on Physics, vol. 2 (New Millenium ed.). Basic Books. pp. 13–6 to 13–11. ISBN 9780465024162. Retrieved 1 July 2017.
- ^ Williams, R. K. (1995). "Extracting X rays, Ύ rays, and relativistic e−–e+ pairs from supermassive Kerr black holes using the Penrose mechanism". Physical Review D. 51 (10): 5387–5427. Bibcode:1995PhRvD..51.5387W. doi:10.1103/PhysRevD.51.5387. PMID 10018300.
- ^ Williams, R. K. (2004). "Collimated escaping vortical polar e−–e+ jets intrinsically produced by rotating black holes and Penrose processes". The Astrophysical Journal. 611 (2): 952–963. arXiv:astro-ph/0404135. Bibcode:2004ApJ...611..952W. doi:10.1086/422304. S2CID 1350543.
- ^ Kuroda, Takami; Kotake, Kei; Takiwaki, Tomoya (2012). "Fully General Relativistic Simulations of Core-Collapse Supernovae with An Approximate Neutrino Transport". The Astrophysical Journal. 755 (1): 11. arXiv:1202.2487. Bibcode:2012ApJ...755...11K. doi:10.1088/0004-637X/755/1/11. S2CID 119179339.
- ^ Wollack, Edward J. (10 December 2010). "Cosmology: The Study of the Universe". Universe 101: Big Bang Theory. NASA. Archived from the original on 14 May 2011. Retrieved 15 April 2017.
- ^ a b Bondi, Hermann (1957). DeWitt, Cecile M.; Rickles, Dean (eds.). The Role of Gravitation in Physics: Report from the 1957 Chapel Hill Conference. Berlin: Max Planck Research Library. pp. 159–162. ISBN 9783869319636. Retrieved 1 July 2017.
- ^ Crowell, Benjamin (2000). General Relativity. Fullerton, CA: Light and Matter. pp. 241–258. Retrieved 30 June 2017.
- ^ Kreuzer, L. B. (1968). "Experimental measurement of the equivalence of active and passive gravitational mass". Physical Review. 169 (5): 1007–1011. Bibcode:1968PhRv..169.1007K. doi:10.1103/PhysRev.169.1007.
- ^ Will, C. M. (1976). "Active mass in relativistic gravity-Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment". The Astrophysical Journal. 204: 224–234. Bibcode:1976ApJ...204..224W. doi:10.1086/154164.
- ^ Bartlett, D. F.; Van Buren, Dave (1986). "Equivalence of active and passive gravitational mass using the moon". Phys. Rev. Lett. 57 (1): 21–24. Bibcode:1986PhRvL..57...21B. doi:10.1103/PhysRevLett.57.21. PMID 10033347.
- ^ "Gravity Probe B: FAQ". Retrieved 2 July 2017.
- ^ Gugliotta, G. (16 February 2009). "Perseverance Is Paying Off for a Test of Relativity in Space". New York Times. Retrieved 2 July 2017.
- ^ Everitt, C.W.F.; Parkinson, B.W. (2009). "Gravity Probe B Science Results—NASA Final Report" (PDF). Retrieved 2 July 2017.
- ^ Everitt; et al. (2011). "Gravity Probe B: Final Results of a Space Experiment to Test General Relativity". Physical Review Letters. 106 (22): 221101. arXiv:1105.3456. Bibcode:2011PhRvL.106v1101E. doi:10.1103/PhysRevLett.106.221101. PMID 21702590. S2CID 11878715.
- ^ Ciufolini, Ignazio; Paolozzi, Antonio Rolf Koenig; Pavlis, Erricos C.; Koenig, Rolf (2016). "A test of general relativity using the LARES and LAGEOS satellites and a GRACE Earth gravity model". Eur Phys J C. 76 (3): 120. arXiv:1603.09674. Bibcode:2016EPJC...76..120C. doi:10.1140/epjc/s10052-016-3961-8. PMC 4946852. PMID 27471430.
- ^ Iorio, L. (February 2017). "A comment on "A test of general relativity using the LARES and LAGEOS satellites and a GRACE Earth gravity model. Measurement of Earth's dragging of inertial frames," by I. Ciufolini et al". The European Physical Journal C. 77 (2): 73. arXiv:1701.06474. Bibcode:2017EPJC...77...73I. doi:10.1140/epjc/s10052-017-4607-1. S2CID 118945777.
- ^ Cartlidge, Edwin. "Underground ring lasers will put general relativity to the test". physicsworld.com. Institute of Physics. Retrieved 2 July 2017.
- ^ "Einstein right using the most sensitive Earth rotation sensors ever made". Phys.org. Science X network. Retrieved 2 July 2017.
- ^ Murzi, Mauro. "Jules Henri Poincaré (1854–1912)". Internet Encyclopedia of Philosophy (ISSN 2161-0002). Retrieved 9 April 2018.
- ^ Deser, S. (1970). "Self-Interaction and Gauge Invariance". General Relativity and Gravitation. 1 (18): 9–8. arXiv:gr-qc/0411023. Bibcode:1970GReGr...1....9D. doi:10.1007/BF00759198. S2CID 14295121.
- ^ Grishchuk, L. P.; Petrov, A. N.; Popova, A. D. (1984). "Exact Theory of the (Einstein) Gravitational Field in an Arbitrary Background Space–Time". Communications in Mathematical Physics. 94 (3): 379–396. Bibcode:1984CMaPh..94..379G. doi:10.1007/BF01224832. S2CID 120021772. Retrieved 9 April 2018.
- ^ Rosen, N. (1940). "General Relativity and Flat Space I". Physical Review. 57 (2): 147–150. Bibcode:1940PhRv...57..147R. doi:10.1103/PhysRev.57.147.
- ^ Weinberg, S. (1964). "Derivation of Gauge Invariance and the Equivalence Principle from Lorentz Invariance of the S-Matrix". Physics Letters. 9 (4): 357–359. Bibcode:1964PhL.....9..357W. doi:10.1016/0031-9163(64)90396-8.
- ^ a b Thorne, Kip (1995). Black Holes & Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0393312768.
- ^ Bondi, H.; Van der Burg, M.G.J.; Metzner, A. (1962). "Gravitational waves in general relativity: VII. Waves from axisymmetric isolated systems". Proceedings of the Royal Society of London A. A269 (1336): 21–52. Bibcode:1962RSPSA.269...21B. doi:10.1098/rspa.1962.0161. S2CID 120125096.
- ^ Sachs, R. (1962). "Asymptotic symmetries in gravitational theory". Physical Review. 128 (6): 2851–2864. Bibcode:1962PhRv..128.2851S. doi:10.1103/PhysRev.128.2851.
- ^ Strominger, Andrew (2017). "Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory". arXiv:1703.05448.
...redacted transcript of a course given by the author at Harvard in spring semester 2016. It contains a pedagogical overview of recent developments connecting the subjects of soft theorems, the memory effect and asymptotic symmetries in four-dimensional QED, nonabelian gauge theory and gravity with applications to black holes. To be published Princeton University Press, 158 pages.
Cite journal requires|journal=
(help) - ^ http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/
- ^ a b c d Bär, Christian; Fredenhagen, Klaus (2009). "Lorentzian Manifolds" (PDF). Quantum Field Theory on Curved Spacetimes: Concepts and Mathematical Foundations. Dordrecht: Springer. pp. 39–58. ISBN 9783642027796. Archived from the original (PDF) on 13 April 2017. Retrieved 14 April 2017.
- ^ Skow, Bradford (2007). "What makes time different from space?" (PDF). Noûs. 41 (2): 227–252. CiteSeerX 10.1.1.404.7853. doi:10.1111/j.1468-0068.2007.00645.x. Archived from the original (PDF) on 24 August 2016. Retrieved 13 April 2018.
- ^ Leibniz, Gottfried (1880). "Discourse on Metaphysics". Die philosophischen schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz, Volume 4. Weidmann. pp. 427–463. Retrieved 13 April 2018.
- ^ Ehrenfest, Paul (1920). "How do the fundamental laws of physics make manifest that Space has 3 dimensions?". Annalen der Physik. 61 (5): 440–446. Bibcode:1920AnP...366..440E. doi:10.1002/andp.19203660503.. Also see Ehrenfest, P. (1917) "In what way does it become manifest in the fundamental laws of physics that space has three dimensions?" Proceedings of the Amsterdam Academy20: 200.
- ^ Weyl, H. (1922). Space, time, and matter. Dover reprint: 284.
- ^ Tangherlini, F. R. (1963). "Atoms in Higher Dimensions". Nuovo Cimento. 14 (27): 636. doi:10.1007/BF02784569. S2CID 119683293.
- ^ a b c Tegmark, Max (April 1997). "On the dimensionality of spacetime" (PDF). Classical and Quantum Gravity. 14 (4): L69–L75. arXiv:gr-qc/9702052. Bibcode:1997CQGra..14L..69T. doi:10.1088/0264-9381/14/4/002. S2CID 15694111. Retrieved 16 December 2006.
дальнейшее чтение
- Barrow, John D.; Tipler, Frank J. (1986). The Anthropic Cosmological Principle (1st ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-282147-8. LCCN 87028148.
- George F. Ellis and Ruth M. Williams (1992) Flat and curved space–times. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-851164-7
- Lorentz, H. A., Einstein, Albert, Minkowski, Hermann, and Weyl, Hermann (1952) The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs. Dover.
- Lucas, John Randolph (1973) A Treatise on Time and Space. London: Methuen.
- Penrose, Roger (2004). The Road to Reality. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-679-45443-8. Chpts. 17–18.
- Taylor, E. F.; Wheeler, John A. (1992). Spacetime Physics, Second Edition. Internet Archive: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-2327-1.
Внешние ссылки
- Albert Einstein on space–time 13th edition Encyclopædia Britannica Historical: Albert Einstein's 1926 article
- Encyclopedia of Space–time and gravitation Scholarpedia Expert articles
- Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Space and Time: Inertial Frames" by Robert DiSalle.