Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Звездчатый октаэдр
Соединение двух тетраэдров.png
Рассматривается как соединение двух правильных тетраэдров (красного и желтого)
ТипОбычное соединение
Символ Кокстера{4,3} [2 {3,3}] {3,4} [1]
Символы Шлефли{{3,3}}
а {4,3}
ß {2,4}
ßr {2,2}
Диаграммы КокстераCDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png ∪ Узлы CDel 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png
CDel узел h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel узел h3.pngCDel 2x.pngCDel узел h3.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel узел h3.pngCDel 2x.pngCDel узел h3.pngCDel 2x.pngCDel узел h3.png
Звездчатое ядроОктаэдр
Выпуклый корпусКуб
ИндексUC 4 , W 19
Многогранники2 тетраэдра
Лица8 треугольников
Края12
Вершины8
ДвойнойСамодвойственный
Группа симметрии группа
Кокстера		O h , [4,3], порядок 48
D 4h , [4,2], порядок 16
D 2h , [2,2], порядок 8
D 3d , [2 + , 6], порядок 12
Подгруппа, ограниченная
одним компонентом		T d , [3,3], порядок 24
D 2d , [2 + , 4], порядок 8
D 2 , [2,2] + , порядок 4
C 3v , [3], порядок 6

Звездчатый октаэдр является единственным плеяде'ученым из октаэдра . Его также называют stella octangula (по-латыни «восьмиконечная звезда») - имя, данное ей Иоганном Кеплером в 1609 году, хотя оно было известно более ранним геометрам . Он был изображен в « De Divina Proportione» Пачоли , 1509. [2]

Это простейшее из пяти правильных полиэдрических соединений и единственное правильное соединение двух тетраэдров . Это также наименее плотное из обычных полиэдрических соединений, имеющее плотность 2.

Его можно рассматривать как трехмерное расширение гексаграммы : гексаграмма представляет собой двумерную форму, образованную двумя перекрывающимися равносторонними треугольниками, центрально симметричными друг другу, и таким же образом звездчатый октаэдр может быть образован из двух центрально-симметричных перекрывающихся тетраэдров. . Это можно обобщить на любое желаемое количество более высоких измерений; четырехмерная эквивалентная конструкция представляет собой соединение двух 5-ячеек . Также это можно рассматривать как один из этапов построения 3D снежинки Коха., фрактальная форма, образованная повторным присоединением меньших тетраэдров к каждой треугольной грани большей фигуры. Первый этап построения Снежинки Коха - это единственный центральный тетраэдр, а второй этап, образованный добавлением четырех меньших тетраэдров к граням центрального тетраэдра, - это звездчатый октаэдр.

Строительство [ править ]

Декартовы координаты звездчатого октаэдра следующие: (± 1/2, ± 1/2, 0) (0, 0, ± 1 / √2) (± 1, 0, ± 1 / √2) (0, ± 1, ± 1 / √2)

Звездчатый октаэдр можно построить несколькими способами:

Звездчатый октаэдр stellation plane.png
В перспективе		Звёздчатость of octahedron facets.png
Звездчатая плоскость		Единственная звездчатая форма правильного октаэдра с одной звездчатой ​​плоскостью желтого цвета.
  • Это также соединение правильного многогранника , когда оно построено как объединение двух правильных тетраэдров (правильный тетраэдр и его двойственный тетраэдр ).
  • Его можно получить как увеличение правильного октаэдра , добавив тетраэдрические пирамиды на каждой грани. В этой конструкции он имеет ту же топологию, что и выпуклое каталонское твердое тело , триакис-октаэдр , пирамиды которого намного короче.
  • Это facetting из куба , разделяя расположение вершин .
  • Это можно рассматривать как антипризму {4/2} ; причем {4/2} представляет собой тетраграмму, соединение двух двойных дигонов , а тетраэдр рассматривается как дигональная антипризма, это можно рассматривать как соединение двух дигональных антиприз .
  • Его можно рассматривать как сеть четырехмерной октаэдрической пирамиды , состоящей из центрального октаэдра, окруженного восемью тетраэдрами.

Огранка куба
Одиночный диагональный треугольник, ограненный красным

Понятия, связанные с данным [ править ]

Звездчатый октаэдр - первая итерация трехмерного аналога снежинки Коха .

Соединение двух сферических тетраэдров может быть построено, как показано на рисунке.

Два тетраэдра в составном виде звездчатого октаэдра являются «десмическими», что означает, что (при интерпретации как линия в проективном пространстве ) каждое ребро одного тетраэдра пересекает два противоположных края другого тетраэдра. Одно из этих двух пересечений видно в звездчатом октаэдре; другое пересечение происходит в бесконечно удаленной точке проективного пространства между двумя параллельными ребрами двух тетраэдров. Эти два тетраэдра могут быть дополнены до десмической системы из трех тетраэдров, где третий тетраэдр имеет четыре вершины, три точки пересечения на бесконечности и центроид двух конечных тетраэдров. Те же двенадцать вершин тетраэдра также образуют точки конфигурации Рея .

Эти номера стеллы octangula являются фигурными числами , которые рассчитывают количество шариков , которые могут быть расположены в виде звездчатого октаэдра. Они есть

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, .... (последовательность A007588 в OEIS )

В популярной культуре [ править ]

В виде сферической мозаики объединенные ребра в соединении двух тетраэдров образуют ромбический додекаэдр .

Звездчатый октаэдр появляется вместе с несколькими другими многогранниками и многогранными соединениями на гравюре М.К. Эшера « Звезды » [3] и обеспечивает центральную форму в Двойном планетоиде Эшера (1949). [4]

Некоторые современные мистики связывают эту форму с «меркабой» [5], которая, по их мнению, является «энергетическим полем, вращающимся в противоположных направлениях», названным от древнеегипетского слова. [6] Однако слово «меркаба» на самом деле еврейское , и более правильно относится к колеснице в видениях Иезекииля . [7] Также часто отмечалось сходство этой формы с двумерной звездой Давида . [8]

Звездчатый октаэдр также является общей формой дрона «Призрак», найденного в видеоигре Destiny .

Музыкальный проект Miracle Musical также часто использует черно-белый звездчатый октаэдр в официальном арте, даже ссылаясь на эту версию своего логотипа в песне «Black Rainbows».

Галерея [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ HSM Coxeter , Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN  0-486-61480-8 , 3.6 . Пять регулярных соединений , стр. 47-50, 6.2. Звездчатость Платоновых тел , стр. 96-104.
  2. ^ Барнс, Джон (2009), "Форма и твердые тела", самоцветы геометрии , Springer, С. 25-56,. DOI : 10.1007 / 978-3-642-05092-3_2 , ISBN 978-3-642-05091-6.
  3. ^ Харт, Джордж У. (1996), "Многогранники М.К. Эшера" , Виртуальные многогранники CS1 maint: discouraged parameter (link).
  4. ^ Coxeter, HSM (1985), «Обзор специальной книги: MC Эшер: Его жизнь и полная графическая работа», The Mathematical Intelligencer , 7 (1): 59–69, doi : 10.1007 / BF03023010. См., В частности, стр. 61.
  5. ^ Dannelley, Ричард (1995), Седон: За Vortex: Активация программы Планетарного Вознесения с сакральной геометрией, Вихрем, и Меркабом , Light Technology Publishing, стр. 14, ISBN 9781622336708
  6. ↑ Мелхиседек, Друнвало (2000), Древняя тайна Цветка Жизни: Отредактированная стенограмма семинара «Цветок Жизни», представленного вживую на Матери-Земле с 1985 по 1994 - Том 1 , Издательство Light Technology, с. 4, ISBN 9781891824173
  7. ^ Patzia, Артур G .; Петротта, Энтони Дж. (2010), Карманный словарь библейских исследований: более 300 терминов, ясно и кратко определенных , Серия карманных справочников IVP, InterVarsity Press, стр. 78, ISBN 9780830867028
  8. ^ Бриссон, Дэвид В. (1978), Гиперграфика: визуализация сложных отношений в искусстве, науке и технологиях , Westview Press для Американской ассоциации содействия развитию науки, стр. 220, Stella octangula - 3-й аналог Звезды Давида

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Стелла Октангула» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Соединение двух тетраэдров» . MathWorld .
  • Клитцинг, Ричард. «3D компаунд» .