Список сумм обратных величин

В математике и особенно теории чисел , то сумма обратных величин , как правило, вычисляются для обратных некоторых или всех положительных целых чисел (числа подсчета) , то есть, как правило , сумма единичных фракций . Если у бесконечного множества чисел суммируются обратные величины, обычно члены задаются в определенной последовательности и суммируются первые n из них, затем добавляется еще одно, чтобы получить сумму первых n + 1 из них, и т. Д.

Если включено только конечное число чисел, ключевой проблемой обычно является поиск простого выражения для значения суммы или требование, чтобы сумма была меньше определенного значения, или определение того, является ли сумма когда-либо целым числом.

Для бесконечного ряда обратных величин возникают двоякие проблемы: во-первых, расходится ли последовательность сумм, то есть превышает ли она в конечном итоге какое-либо заданное число, или сходится ли она , что означает, что есть какое-то число, к которому она приближается произвольно, но никогда превышая это? (Набор положительных целых чисел называется большим, если сумма его обратных величин расходится, и малым, если он сходится.) Во-вторых, если он сходится, то какое простое выражение для значения, к которому он сходится, является это значение рациональным или иррациональным. , и является ли это значение алгебраическим или трансцендентным ? ^[1]

Конечное количество терминов [ править ]

• Среднее гармоническое множество натуральных чисел есть число чисел раз взаимных сумм их обратные.
• Оптическое уравнение требует суммы обратных два положительных целых чисел через и б равного обратную величины третьего положительный целый с . Все решения задаются формулами a  =  mn  +  m ² , b  =  mn  +  n ² , c  =  mn . Это уравнение появляется в различных контекстах элементарной геометрии .
• Гипотеза Ферма-Каталана касается определенного диофантова уравнения , приравнивающего сумму двух членов, каждое из которых является положительным целым числом в положительной целой степени, третьему члену, который также является положительным целым числом в положительной целой степени (с базовыми целыми числами не имеющие общего простого множителя). Гипотеза спрашивает, имеет ли уравнение бесконечное количество решений, в которых сумма обратных величин трех показателей в уравнении должна быть меньше 1. Цель этого ограничения состоит в том, чтобы исключить известную бесконечность решений, в которых два показателя равны 2. а другой показатель - любое четное число.
• В н -й номер гармоники , которая является суммой обратных первых п натуральных чисел, никогда не является целым числом , за исключением случая  п  = 1.
• Более того, Йожеф Куршак доказал в 1918 году, что сумма обратных последовательных натуральных чисел (начиная с 1 или нет) никогда не бывает целым числом.
• Сумма обратных чисел первых n простых чисел не является целым числом для любого n .
• Существует 14 различных комбинаций четырех целых чисел, сумма их обратных чисел равна 1, шесть из которых используют четыре различных целых числа, а восемь повторяют по крайней мере одно целое число.
• Египетская фракция представляет собой сумму конечного числа обратных положительных чисел. Согласно доказательству проблемы Эрдеша – Грэма , если множество целых чисел больше единицы разделено на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств может быть использовано для формирования египетского представления дроби 1.
• Гипотеза Эрдеша – Страуса утверждает, что для всех целых чисел n  ≥ 2 рациональное число 4 / n может быть выражено как сумма трех обратных положительных целых чисел.
• Частное ферма с основанием 2, которое является для нечетного простого р , при выраженной в мод р и умноженной на -2, равна сумме обратных мод  р из чисел , лежащих в первой половине диапазона {1,  р  - 1 }.${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {p-1} -1} {p}}}$
• В любом треугольнике , сумма обратных высот равна обратной величине радиуса от вписанной (независимо от того , являются ли они целыми числами).
• В прямоугольном треугольнике сумма квадратов высот от катетов (эквивалентно квадратам самих катетов) равна величине, обратной квадрату высоты от гипотенузы. Это справедливо независимо от того, являются ли числа целыми или нет; есть формула (см. здесь ), которая генерирует все целочисленные случаи.
• Треугольник не обязательно в евклидовой плоскости может быть определен как имеющий углы, и тогда треугольник находится в евклидовом пространстве, если сумма обратных величин p, q и r равна 1, сферическое пространство, если эта сумма больше 1, и гиперболическое пространство. пробел, если сумма меньше 1.${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {p}},}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{q}},}$${\displaystyle {\frac {\pi }{r}}.}$
• Гармоническое число делителя является положительным целым числом , чьи делители имеют среднюю гармоническую , что представляет собой целое число. Первые пять из них - 1, 6, 28, 140 и 270. Неизвестно, являются ли какие-либо числа гармонических делителей (кроме 1) нечетными, но нет нечетных меньше 10 ²⁴ .
• Сумма обратных делителей одного идеального числа 2.
• Когда восемь точек распределены на поверхности сферы с целью максимального увеличения расстояния между ними в некотором смысле, результирующая форма соответствует квадратной антипризме . Конкретные методы распределения точек включают, например, минимизацию суммы всех обратных квадратов расстояний между точками.

Бесконечно много терминов [ править ]

Конвергентная серия [ править ]

• Сумма свободной последовательности увеличения положительных целых чисел , является одним , для которых число не является суммой любого подмножества из предыдущих. Сумма обратных чисел в любой последовательности без суммы меньше 2,8570.
• Сумма обратных величин семиугольных чисел сходится к известному значению, которое не только иррационально, но и трансцендентно , и для которого существует сложная формула .
• Сумма обратных величин простых чисел-близнецов , которых может быть как конечное, так и бесконечное множество, известна как конечная и называется константой Бруна , приблизительно 1,9022.
• В простом квадруплетных являются парами близнецов простых чисел только с одним нечетным числом между ними. Сумма обратных чисел в простых четверках приблизительно равна 0,8706.
• Сумма обратных величин совершенных степеней (включая дубликаты) равна 1.
• Сумма обратных величин совершенных степеней (исключая дубликаты) составляет приблизительно 0,8745. ^[2]
• Сумма обратных степеней примерно равна 1,2913. Сумма в точности равна определенному интегралу :${\displaystyle n^{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}\,dx}$

Эта идентичность была обнаружена Иоганном Бернулли в 1697 году и теперь известна как одна из двух личностей мечты Второкурсников .

• Теорема Гольдбаха-Эйлера утверждает, что сумма обратных чисел чисел, которые на 1 меньше совершенной степени (исключая дубликаты), равна 1.
• Сумма обратных величин всех ненулевых треугольных чисел равна 2.
• Обратной постоянной Фибоначчи является суммой обратных чисел Фибоначчи , которые , как известно, конечна и иррациональным и приблизительно равна 3.3599. Для других конечных сумм подмножеств обратных чисел Фибоначчи см. Здесь .
• Экспоненциальный факториал является числом , полученным способом повышения п к мощности п  - 1, то повышение результата к мощности п - 2, и так далее. Сумма обратных экспоненциальных факториалов, начиная с 1 и далее, приблизительно равна 1,6111 и является трансцендентной.
• Сильное число , положительное целое число , для которого каждое простое появление в прайм факторизации появляется там , по крайней мере в два раза. Сумма обратных сильных чисел - конечное трансцендентное число.
• Величины, обратные факториалам, составляют трансцендентное число e .
• Сумма обратных квадратов чисел ( проблема Базеля ) - это трансцендентное числоπ ²/6, или ζ (2), где ζ - дзета-функция Римана .
• Сумма обратных кубов положительных целых чисел называется постоянной Апери и равна примерно 1,2021. Это число иррационально, но неизвестно, трансцендентно оно или нет.
• Величины, обратные неотрицательным целым степеням двойки, дают в сумме 2.
• Серии Кемпнера является суммой обратных всех положительных целых чисел , не содержащих цифры «9» в базе 10. В отличии от гармонического ряда , что не исключает эти цифры, этот ряд сходится, в частности , приблизительно 22.9207.
• Палиндромический номер один , который остается такой же , когда его цифры поменялись местами. Сумма обратных величин палиндромных чисел сходится примерно к 3,3703.
• Номер пентатопа представляет собой число в пятой ячейке любой строки треугольника Паскаля , начиная с 5-термина строки 1 4 6 4 1. Сумма обратных чисел пентатопа является 4/3.
• Последовательность Сильвестра - это целочисленная последовательность, в которой каждый член последовательности является произведением предыдущих членов плюс один. Первые несколько членов последовательности - 2, 3, 7, 43, 1807. Сумма обратных чисел в последовательности Сильвестра равна 1.
• Дзета - функция Римана ζ ( s ) является функцией от комплексной переменной s , что аналитически продолжается сумма бесконечных рядов сходится , если действительная часть с больше , чем 1.${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$
• Сумма обратных величин всех чисел Ферма (чисел формы ) (последовательность A051158 в OEIS ) иррациональна .${\displaystyle 2^{(2^{n})}+1}$
• Сумма обратных чисел проника (произведения двух последовательных целых чисел) (исключая 0) равна 1 (см. Телескопическая серия ).

Расходящиеся серии [ править ]

• П -й частичной суммы гармонического ряда , которое является суммой обратных первых п натуральных чисел, расходится как п стремится к бесконечности, хотя и крайне медленно: сумма первых 10 ⁴³ терминов меньше 100. разница между накопленной суммой и натурального логарифма от п сходится к постоянной Эйлера-Mascheroni , который обычно обозначают как что примерно 0,5772.${\displaystyle \gamma ,}$
• Сумма обратных простых чисел расходятся.
• Сильная форма теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях означает, что сумма обратных простых чисел вида 4 n  + 3 расходится.
• Точно так же сумма обратных простых чисел вида 4 n  + 1 расходится. Из теоремы Ферма о суммах двух квадратов следует, что сумма обратных чисел вида , где a, b - неотрицательные целые числа, не равные 0 , расходится с повторением или без него.${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$
• Гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях утверждает, что если сумма обратных величин элементов множества A положительных целых чисел расходится, то A содержит арифметические прогрессии любой длины, какой бы большой она ни была. По состоянию на 2020 год ^[update]гипотеза остается недоказанной.

См. Также [ править ]

• Большой набор
• Сумма площадей
• Суммы полномочий

Ссылки [ править ]