Это краткое изложение правил дифференцирования , то есть, правила для вычисления производной из функции в исчислении .
Элементарные правила дифференциации Если не указано иное, все функции являются функциями действительных чисел ( R ), которые возвращают действительные значения; хотя в более общем смысле, приведенные ниже формулы применимы везде, где они хорошо определены [1] [2], включая случай комплексных чисел ( C ) . [3]
Дифференциация линейная Для любых функций ж {\ displaystyle f} а также грамм {\ displaystyle g} и любые реальные числа а {\ displaystyle a} а также б {\ displaystyle b} , производная функции час ( Икс ) знак равно а ж ( Икс ) + б грамм ( Икс ) {\ Displaystyle ч (х) = аф (х) + bg (х)} относительно Икс {\ displaystyle x} является
час ′ ( Икс ) знак равно а ж ′ ( Икс ) + б грамм ′ ( Икс ) . {\ displaystyle h '(x) = af' (x) + bg '(x).} В обозначениях Лейбница это записывается как:
d ( а ж + б грамм ) d Икс знак равно а d ж d Икс + б d грамм d Икс . {\ displaystyle {\ frac {d (af + bg)} {dx}} = a {\ frac {df} {dx}} + b {\ frac {dg} {dx}}.} К особым случаям относятся:
Правило постоянного множителя ( а ж ) ′ знак равно а ж ′ {\ displaystyle (af) '= af'} ( ж + грамм ) ′ знак равно ж ′ + грамм ′ {\ displaystyle (f + g) '= f' + g '} ( ж - грамм ) ′ знак равно ж ′ - грамм ′ . {\ displaystyle (fg) '= f'-g'.} Правило продукта Для функций f и g производная функции h ( x ) = f ( x ) g ( x ) по x равна
час ′ ( Икс ) знак равно ( ж грамм ) ′ ( Икс ) знак равно ж ′ ( Икс ) грамм ( Икс ) + ж ( Икс ) грамм ′ ( Икс ) . {\ Displaystyle h '(x) = (fg)' (x) = f '(x) g (x) + f (x) g' (x).} В обозначениях Лейбница это написано
d ( ж грамм ) d Икс знак равно d ж d Икс грамм + ж d грамм d Икс . {\ displaystyle {\ frac {d (fg)} {dx}} = {\ frac {df} {dx}} g + f {\ frac {dg} {dx}}.} Цепное правило Производная функции час ( Икс ) знак равно ж ( грамм ( Икс ) ) {\ Displaystyle ч (х) = е (г (х))} является
час ′ ( Икс ) знак равно ж ′ ( грамм ( Икс ) ) ⋅ грамм ′ ( Икс ) . {\ displaystyle h '(x) = f' (g (x)) \ cdot g '(x).} В обозначениях Лейбница это записывается как:
d d Икс час ( Икс ) знак равно d d z ж ( z ) | z знак равно грамм ( Икс ) ⋅ d d Икс грамм ( Икс ) , {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} h (x) = {\ frac {d} {dz}} f (z) | _ {z = g (x)} \ cdot {\ frac {d} {dx}} g (x),} часто сокращается до
d час ( Икс ) d Икс знак равно d ж ( грамм ( Икс ) ) d грамм ( Икс ) ⋅ d грамм ( Икс ) d Икс . {\ displaystyle {\ frac {dh (x)} {dx}} = {\ frac {df (g (x))} {dg (x)}} \ cdot {\ frac {dg (x)} {dx} }.} Сосредоточение внимания на понятии карт, а дифференциал - это карта D {\ displaystyle {\ text {D}}} , это записывается более кратко:
[ D ( ж ∘ грамм ) ] Икс знак равно [ D ж ] грамм ( Икс ) ⋅ [ D грамм ] Икс . {\ displaystyle [{\ text {D}} (е \ circ g)] _ {x} = [{\ text {D}} f] _ {g (x)} \ cdot [{\ text {D}} g] _ {x} \ ,.} Правило обратной функции Если функция f имеет обратную функцию g , что означает, что грамм ( ж ( Икс ) ) знак равно Икс {\ Displaystyle г (е (х)) = х} а также ж ( грамм ( y ) ) знак равно y , {\ Displaystyle е (г (у)) = у,} тогда
грамм ′ знак равно 1 ж ′ ∘ грамм . {\ displaystyle g '= {\ frac {1} {f' \ circ g}}.} В обозначениях Лейбница это записывается как
d Икс d y знак равно 1 d y d Икс . {\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {\ frac {dy} {dx}}}.}
Степенные законы, многочлены, частные и обратные Правило полинома или элементарной степени Если ж ( Икс ) знак равно Икс р {\ Displaystyle е (х) = х ^ {г}} , для любого действительного числа р ≠ 0 , {\ displaystyle r \ neq 0,} тогда
ж ′ ( Икс ) знак равно р Икс р - 1 . {\ displaystyle f '(x) = rx ^ {r-1}.} Когда р знак равно 1 , {\ displaystyle r = 1,} это становится частным случаем, если ж ( Икс ) знак равно Икс , {\ Displaystyle е (х) = х,} тогда ж ′ ( Икс ) знак равно 1. {\ displaystyle f '(x) = 1.}
Комбинация правила мощности с правилами суммы и множественного числа констант позволяет вычислить производную любого многочлена.
Взаимное правило Производная от час ( Икс ) знак равно 1 ж ( Икс ) {\ Displaystyle ч (х) = {\ гидроразрыва {1} {е (х)}}} для любой (отличной от нуля) функции f :
час ′ ( Икс ) знак равно - ж ′ ( Икс ) ( ж ( Икс ) ) 2 {\ displaystyle h '(x) = - {\ frac {f' (x)} {(f (x)) ^ {2}}}} где f не равно нулю. В обозначениях Лейбница это написано
d ( 1 / ж ) d Икс знак равно - 1 ж 2 d ж d Икс . {\ displaystyle {\ frac {d (1 / f)} {dx}} = - {\ frac {1} {f ^ {2}}} {\ frac {df} {dx}}.} Взаимное правило может быть получено либо из правила частного, либо из комбинации правила силы и правила цепочки.
Правило частного Если f и g - функции, то:
( ж грамм ) ′ знак равно ж ′ грамм - грамм ′ ж грамм 2 {\ displaystyle \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) '= {\ frac {f'g-g'f} {g ^ {2}}} \ quad} везде, где g отличен от нуля. Это может быть получено из правила продукта и правила взаимности.
Обобщенное правило власти Правило элементарной власти значительно обобщает. Наиболее общее правило питания является функциональным правилом питания : для любых функций F и г ,
( ж грамм ) ′ знак равно ( е грамм пер ж ) ′ знак равно ж грамм ( ж ′ грамм ж + грамм ′ пер ж ) , {\ displaystyle (f ^ {g}) '= \ left (e ^ {g \ ln f} \ right)' = f ^ {g} \ left (f '{g \ over f} + g' \ ln f \ right), \ quad} везде, где обе стороны четко определены. [4]
Особые случаи
Если ж ( Икс ) знак равно Икс а {\ textstyle е (х) = х ^ {а} \!} , тогда ж ′ ( Икс ) знак равно а Икс а - 1 {\ textstyle f '(x) = ax ^ {a-1}} когда a - любое ненулевое действительное число, а x положительно. Взаимное правило может быть получено как частный случай, когда грамм ( Икс ) знак равно - 1 {\ textstyle g (x) = - 1 \!} .
Производные экспоненциальной и логарифмической функций d d Икс ( c а Икс ) знак равно а c а Икс пер c , c > 0 {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (c ^ {ax} \ right) = {ac ^ {ax} \ ln c}, \ qquad c> 0} приведенное выше уравнение верно для всех c , но производная для c < 0 {\ textstyle c <0} дает комплексное число.
d d Икс ( е а Икс ) знак равно а е а Икс {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (e ^ {ax} \ right) = ae ^ {ax}} d d Икс ( бревно c Икс ) знак равно 1 Икс пер c , c > 0 , c ≠ 1 {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ log _ {c} x \ right) = {1 \ over x \ ln c}, \ qquad c> 0, c \ neq 1} приведенное выше уравнение также верно для всех c , но дает комплексное число, если c < 0 {\ textstyle c <0 \!} .
d d Икс ( пер Икс ) знак равно 1 Икс , Икс > 0. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln x \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x> 0.} d d Икс ( пер | Икс | ) знак равно 1 Икс , Икс ≠ 0. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (\ ln | x | \ right) = {1 \ over x}, \ qquad x \ neq 0.} d d Икс ( Икс Икс ) знак равно Икс Икс ( 1 + пер Икс ) . {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (x ^ {x} \ right) = x ^ {x} (1+ \ ln x).} d d Икс ( ж ( Икс ) грамм ( Икс ) ) знак равно грамм ( Икс ) ж ( Икс ) грамм ( Икс ) - 1 d ж d Икс + ж ( Икс ) грамм ( Икс ) пер ( ж ( Икс ) ) d грамм d Икс , если ж ( Икс ) > 0 , и если d ж d Икс а также d грамм d Икс существовать. {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f (x) ^ {g (x)} \ right) = g (x) f (x) ^ {g (x) -1} {\ гидроразрыв {df} {dx}} + f (x) ^ {g (x)} \ ln {(f (x))} {\ frac {dg} {dx}}, \ qquad {\ text {if}} f (x)> 0, {\ text {and if}} {\ frac {df} {dx}} {\ text {and}} {\ frac {dg} {dx}} {\ text {exist.}} } d d Икс ( ж 1 ( Икс ) ж 2 ( Икс ) ( . . . ) ж п ( Икс ) ) знак равно [ ∑ k знак равно 1 п ∂ ∂ Икс k ( ж 1 ( Икс 1 ) ж 2 ( Икс 2 ) ( . . . ) ж п ( Икс п ) ) ] | Икс 1 знак равно Икс 2 знак равно . . . знак равно Икс п знак равно Икс , если ж я < п ( Икс ) > 0 а также {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left (f_ {1} (x) ^ {f_ {2} (x) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} ( x)}}} \ right) = \ left [\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k}}} \ left (f_ {1} ( x_ {1}) ^ {f_ {2} (x_ {2}) ^ {\ left (... \ right) ^ {f_ {n} (x_ {n})}}} \ right) \ right] { \ biggr \ vert} _ {x_ {1} = x_ {2} = ... = x_ {n} = x}, {\ text {if}} f_ {i 0 {\ text { а также }}} }> d ж я d Икс существуют. {\ displaystyle {\ frac {df_ {i}} {dx}} {\ text {существует. }}} Логарифмические производные Логарифмическая производная является еще одним способом с указанием правила дифференцирования логарифма от функции (используя правило цепи):
( пер ж ) ′ знак равно ж ′ ж {\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad} везде, где f положительно. Логарифмическое дифференцирование - это метод, который использует логарифмы и их правила дифференцирования для упрощения определенных выражений перед фактическим применением производной. Логарифмы могут использоваться для удаления показателей степени, преобразования произведений в суммы и преобразования деления в вычитание - каждое из которых может привести к упрощенному выражению для получения производных.
Производные тригонометрических функций ( грех Икс ) ′ знак равно потому что Икс {\ Displaystyle (\ грех х) '= \ соз х} ( Arcsin Икс ) ′ знак равно 1 1 - Икс 2 {\ displaystyle (\ arcsin x) '= {1 \ над {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( потому что Икс ) ′ знак равно - грех Икс {\ Displaystyle (\ соз х) '= - \ грех х} ( arccos Икс ) ′ знак равно - 1 1 - Икс 2 {\ displaystyle (\ arccos x) '= - {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( загар Икс ) ′ знак равно сек 2 Икс знак равно 1 потому что 2 Икс знак равно 1 + загар 2 Икс {\ displaystyle (\ tan x) '= \ sec ^ {2} x = {1 \ over \ cos ^ {2} x} = 1 + \ tan ^ {2} x} ( арктан Икс ) ′ знак равно 1 1 + Икс 2 {\ displaystyle (\ arctan x) '= {1 \ более 1 + x ^ {2}}} ( детская кроватка Икс ) ′ знак равно - csc 2 Икс знак равно - 1 грех 2 Икс знак равно - ( 1 + детская кроватка 2 Икс ) {\ displaystyle (\ cot x) '= - \ csc ^ {2} x = - {1 \ over \ sin ^ {2} x} = - (1+ \ cot ^ {2} x)} ( арккот Икс ) ′ знак равно - 1 1 + Икс 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arccot} x) '= - {1 \ более 1 + x ^ {2}}} ( сек Икс ) ′ знак равно загар Икс сек Икс {\ Displaystyle (\ сек х) '= \ загар х \ сек х} ( arcsec Икс ) ′ знак равно 1 | Икс | Икс 2 - 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arcsec} x) '= {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} ( csc Икс ) ′ знак равно - детская кроватка Икс csc Икс {\ Displaystyle (\ csc x) '= - \ детская кроватка x \ csc x} ( arccsc Икс ) ′ знак равно - 1 | Икс | Икс 2 - 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arccsc} x) '= - {1 \ over | x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}}
Обычно функцию арктангенса дополнительно определяют с двумя аргументами : арктан ( y , Икс ) {\ Displaystyle \ arctan (у, х) \!} . Его значение лежит в диапазоне [ - π , π ] {\ Displaystyle [- \ пи, \ пи] \!} и отражает квадрант точки ( Икс , y ) {\ Displaystyle (х, у) \!} . Для первого и четвертого квадранта (т.е. Икс > 0 {\ displaystyle x> 0 \!} ) надо арктан ( y , Икс > 0 ) знак равно арктан ( y / Икс ) {\ Displaystyle \ arctan (у, х> 0) = \ arctan (у / х) \!} . Его частные производные:
∂ арктан ( y , Икс ) ∂ y знак равно Икс Икс 2 + y 2 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial y}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}} , а также ∂ арктан ( y , Икс ) ∂ Икс знак равно - y Икс 2 + y 2 . {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ arctan (y, x)} {\ partial x}} = {\ frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}
Производные гиперболических функций ( грех Икс ) ′ знак равно шиш Икс знак равно е Икс + е - Икс 2 {\ Displaystyle (\ зп х) '= \ соз х = {\ гидроразрыва {е ^ {х} + е ^ {- х}} {2}}} ( арсин Икс ) ′ знак равно 1 Икс 2 + 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arsinh} \, x) '= {1 \ over {\ sqrt {x ^ {2} +1}}}} ( шиш Икс ) ′ знак равно грех Икс знак равно е Икс - е - Икс 2 {\ Displaystyle (\ сш х) '= \ зп х = {\ гидроразрыва {е ^ {х} -е ^ {- х}} {2}}} ( аркош Икс ) ′ знак равно 1 Икс 2 - 1 {\ displaystyle (\ operatorname {arcosh} \, x) '= {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}} ( танх Икс ) ′ знак равно сечь 2 Икс {\ displaystyle (\ tanh x) '= {\ operatorname {sech} ^ {2} \, x}} ( Artanh Икс ) ′ знак равно 1 1 - Икс 2 {\ displaystyle (\ operatorname {artanh} \, x) '= {1 \ over 1-x ^ {2}}} ( кот Икс ) ′ знак равно - csch 2 Икс {\ displaystyle (\ operatorname {coth} \, x) '= - \, \ operatorname {csch} ^ {2} \, x} ( аркот Икс ) ′ знак равно - 1 Икс 2 - 1 знак равно 1 1 - Икс 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arcoth} \, x) '= - {1 \ over x ^ {2} -1} = {1 \ over 1-x ^ {2}}} ( сечь Икс ) ′ знак равно - танх Икс сечь Икс {\ displaystyle (\ operatorname {sech} \, x) '= - \ tanh x \, \ operatorname {sech} \, x} ( Арсех Икс ) ′ знак равно - 1 Икс 1 - Икс 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arsech} \, x) '= - {1 \ над x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} ( csch Икс ) ′ знак равно - кот Икс csch Икс {\ displaystyle (\ operatorname {csch} \, x) '= - \, \ operatorname {coth} \, x \, \ operatorname {csch} \, x} ( дуга Икс ) ′ знак равно - 1 | Икс | 1 + Икс 2 {\ displaystyle (\ operatorname {arcsch} \, x) '= - {1 \ over | x | {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
См. В разделе Гиперболические функции ограничения на эти производные.
Производные от специальных функций Дзета-функция Римана ζ ( Икс ) знак равно ∑ п знак равно 1 ∞ 1 п Икс {\ displaystyle \ quad \ zeta (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {x}}}} ζ ′ ( Икс ) знак равно - ∑ п знак равно 1 ∞ пер п п Икс знак равно - пер 2 2 Икс - пер 3 3 Икс - пер 4 4 Икс - ⋯ {\ displaystyle \ zeta '(x) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln n} {n ^ {x}}} = - {\ frac {\ ln 2} {2 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 3} {3 ^ {x}}} - {\ frac {\ ln 4} {4 ^ {x}}} - \ cdots} знак равно - ∑ п основной п - Икс пер п ( 1 - п - Икс ) 2 ∏ q основной , q ≠ п 1 1 - q - Икс {\ displaystyle \, = - \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {p ^ {- x} \ ln p} {(1-p ^ {- x}) ^ {2}} } \ prod _ {q {\ text {prime}}, q \ neq p} {\ frac {1} {1-q ^ {- x}}}}
Производные интегралов Предположим, что требуется дифференцировать по x функцию
F ( Икс ) знак равно ∫ а ( Икс ) б ( Икс ) ж ( Икс , т ) d т , {\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) \, dt,} где функции ж ( Икс , т ) {\ Displaystyle f (х, т)} а также ∂ ∂ Икс ж ( Икс , т ) {\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t)} оба непрерывны в обоих т {\ displaystyle t} а также Икс {\ displaystyle x} в каком-то районе ( т , Икс ) {\ Displaystyle (т, х)} самолет, в том числе а ( Икс ) ≤ т ≤ б ( Икс ) , {\ Displaystyle а (х) \ leq t \ leq b (x),} Икс 0 ≤ Икс ≤ Икс 1 {\ Displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}} , а функции а ( Икс ) {\ Displaystyle а (х)} а также б ( Икс ) {\ displaystyle b (x)} оба непрерывны и оба имеют непрерывные производные для Икс 0 ≤ Икс ≤ Икс 1 {\ Displaystyle x_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}} . Тогда для Икс 0 ≤ Икс ≤ Икс 1 {\ Displaystyle \, х_ {0} \ leq x \ leq x_ {1}} :
F ′ ( Икс ) знак равно ж ( Икс , б ( Икс ) ) б ′ ( Икс ) - ж ( Икс , а ( Икс ) ) а ′ ( Икс ) + ∫ а ( Икс ) б ( Икс ) ∂ ∂ Икс ж ( Икс , т ) d т . {\ Displaystyle F '(x) = f (x, b (x)) \, b' (x) -f (x, a (x)) \, a '(x) + \ int _ {a (x )} ^ {b (x)} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \, f (x, t) \; dt \ ,.} Эта формула является общей формой интегрального правила Лейбница и может быть получена с помощью основной теоремы исчисления .
Производные до n- го порядка Некоторые правила существуют для вычисления п - -й производной функции, где п представляет собой положительное целое число. Это включает:
Формула Фаа ди Бруно Если F и г в п -кратного дифференцируема, то
d п d Икс п [ ж ( грамм ( Икс ) ) ] знак равно п ! ∑ { k м } ж ( р ) ( грамм ( Икс ) ) ∏ м знак равно 1 п 1 k м ! ( грамм ( м ) ( Икс ) ) k м {\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (g (x))] = n! \ sum _ {\ {k_ {m} \}} ^ {} f ^ {(r)} (g (x)) \ prod _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k_ {m}!}} \ left (g ^ {(m)} (x ) \ right) ^ {k_ {m}}} где р знак равно ∑ м знак равно 1 п - 1 k м {\ Displaystyle г = \ сумма _ {м = 1} ^ {п-1} к_ {м}} и набор { k м } {\ Displaystyle \ {к_ {м} \}} состоит из всех неотрицательных целочисленных решений диофантова уравнения ∑ м знак равно 1 п м k м знак равно п {\ displaystyle \ sum _ {m = 1} ^ {n} mk_ {m} = n} .
Общее правило Лейбница Если F и г в п -кратного дифференцируема, то
d п d Икс п [ ж ( Икс ) грамм ( Икс ) ] знак равно ∑ k знак равно 0 п ( п k ) d п - k d Икс п - k ж ( Икс ) d k d Икс k грамм ( Икс ) {\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} [f (x) g (x)] = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {d ^ {nk}} {dx ^ {nk}}} f (x) {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} g (x)}
Смотрите также
Рекомендации ^ Исчисление (5-е издание) , Ф. Эйрес, Э. Мендельсон, Серия набросков Шаума, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2 . ↑ Advanced Calculus (3-е издание) , R. Wrede, MR Spiegel, Серия набросков Шаума, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 . ^ Комплексные переменные , MR Speigel, S. Lipschutz, JJ Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3 ^ «Правило экспоненты для деривативов» . Математическое хранилище . 2016-05-21 . Проверено 25 июля 2019 .
Источники и дальнейшее чтение Эти правила приведены во многих книгах как по элементарному, так и по сложному исчислению, по чистой и прикладной математике. Те, что в этой статье (в дополнение к приведенным выше ссылкам) можно найти в
Математический справочник формул и таблиц (3-е издание) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .Кембриджский справочник по физическим формулам , Дж. Воан, Cambridge University Press, 2010 г., ISBN 978-0-521-57507-2 .Математические методы для физики и инженерии , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3Справочник NIST по математическим функциям , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 .
Внешние ссылки