В математике , А последовательность ( ев 1 , ев 2 , ев 3 , ...) из действительных чисел называется равнораспределен или равномерно распределены , если доля терминов , входящих в подпериода, пропорциональна длине этого подпериода. Такие последовательности изучаются в теории диофантовых приближений и имеют приложения к интегрированию Монте-Карло .
Определение
Последовательность ( s 1 , s 2 , s 3 , ...) действительных чисел называется равнораспределенной на невырожденном интервале [ a , b ], если для любого подинтервала [ c , d ] из [ a , b ] у нас есть
(Здесь обозначение | { s 1 , ..., s n } ∩ [ c , d ] | обозначает количество элементов из первых n элементов последовательности, которые находятся между c и d .)
Например, если последовательность равнораспределена в [0, 2], поскольку интервал [0,5, 0,9] занимает 1/5 длины интервала [0, 2], когда n становится большим, доля первых n члены последовательности, которые попадают между 0,5 и 0,9, должны приближаться к 1/5. Грубо говоря, можно сказать, что каждый член последовательности с одинаковой вероятностью попадет в любую точку своего диапазона. Однако это не означает, что ( s n ) является последовательностью случайных величин ; скорее, это определенная последовательность действительных чисел.
Несоответствие
Определим невязку D N для последовательности ( s 1 , s 2 , s 3 , ...) относительно интервала [ a , b ] как
Таким образом, последовательность является равнораспределенной, если невязка D N стремится к нулю, когда N стремится к бесконечности.
Равнораспределение - довольно слабый критерий для выражения того факта, что последовательность заполняет сегмент без пропусков. Например, рисунки случайной величины, однородной по сегменту, будут равномерно распределены в сегменте, но будут большие промежутки по сравнению с последовательностью, которая сначала перечисляет кратные ε в сегменте для некоторого малого ε соответствующим образом выбранным способом. , а затем продолжает делать это для все меньших и меньших значений ε. Для более строгих критериев и построения последовательностей, которые распределены более равномерно, см. Последовательность с низким расхождением .
Интегральный критерий Римана для равнораспределения
Напомним, что если f - функция, имеющая интеграл Римана в интервале [ a , b ], то ее интеграл является пределом сумм Римана, взятых путем выборки функции f в наборе точек, выбранных из точного разбиения интервала. Следовательно, если некоторая последовательность равнораспределена в [ a , b ], ожидается, что эту последовательность можно использовать для вычисления интеграла от интегрируемой по Риману функции. Это приводит к следующему критерию [1] для равнораспределенной последовательности:
Предположим, что ( s 1 , s 2 , s 3 , ...) - последовательность, содержащаяся в интервале [ a , b ]. Тогда следующие условия эквивалентны:
- Последовательность равнораспределена на [ a , b ].
- Для любой интегрируемой по Риману ( комплекснозначной ) функции f : [ a , b ] → ℂ имеет место следующий предел:
Доказательство Сначала обратите внимание, что определение равнораспределенной последовательности эквивалентно интегральному критерию, когда f является индикаторной функцией интервала: если f = 1 [ c , d ] , то левая часть представляет собой долю точек последовательности, попадающих в интервал [ c , d ], а правая часть в точности равна Это означает 2 ⇒ 1 (поскольку индикаторные функции интегрируемы по Риману) и 1 ⇒ 2, если f является индикаторной функцией интервала. Осталось предположить, что интегральный критерий выполняется для индикаторных функций, и доказать, что он верен и для общих функций, интегрируемых по Риману.
Обратите внимание, что обе части интегрального критериального уравнения линейны по f , и поэтому критерий выполняется для линейных комбинаций интервальных показателей, то есть ступенчатых функций .
Чтобы показать, что это справедливо для функции f , интегрируемой по Риману, сначала предположим, что f вещественнозначна. Тогда, используя определение интеграла Дарбу , мы имеем для каждого ε> 0 две ступенчатые функции f 1 и f 2 такие, что f 1 ≤ f ≤ f 2 и Заметь:
Вычитание, мы видим , что предел выше и нижний предел вотличаются не более чем на ε. Поскольку ε произвольно, мы имеем существование предела и, согласно определению интеграла Дарбу, это правильный предел.
Наконец, для комплекснозначных функций, интегрируемых по Риману, результат снова следует из линейности и из того факта, что каждая такая функция может быть записана как f = u + vi , где u , v действительнозначны и интегрируемы по Риману. ∎
Этот критерий приводит к идее интегрирования Монте-Карло , где интегралы вычисляются путем выборки функции по последовательности случайных величин, равнораспределенных в интервале.
Невозможно обобщить интегральный критерий на более широкий класс функций, чем просто интегрируемые по Риману. Например, если рассматривается интеграл Лебега и считается, что f принадлежит L 1 , то этот критерий не выполняется. В качестве контрпримера возьмем f как индикаторную функцию некоторой равнораспределенной последовательности. Тогда в критерии левая часть всегда равна 1, тогда как правая часть равна нулю, потому что последовательность счетна , поэтому f равно нулю почти всюду .
Фактически, теорема де Брейна – Поста утверждает обратное вышеупомянутому критерию: если f - такая функция, что указанный выше критерий выполняется для любой равнораспределенной последовательности в [ a , b ], то f интегрируема по Риману в [ a , b ]. [2]
Равное распределение по модулю 1
Последовательность ( 1 , 2 , 3 , ...) действительных чисел называется равнораспределен по модулю 1 или равномерно распределены по модулю 1 , если последовательность дробных частей в виде п , обозначаемые ( в п ) или путем a n - ⌊ a n ⌋, равнораспределена в интервале [0, 1].
Примеры
- Теорема равнораспределения : последовательность всех кратных иррациональному α ,
- 0, α , 2 α , 3 α , 4 α , ...
- равнораспределена по модулю 1. [3]
- В более общем смысле, если p - многочлен с по крайней мере одним коэффициентом, отличным от постоянного члена иррационального, то последовательность p ( n ) равномерно распределена по модулю 1.
Это было доказано Вейлем и является приложением разностной теоремы Ван дер Корпута. [4]
- Последовательность log ( n ) не распределена равномерно по модулю 1. [3] Этот факт связан с законом Бенфорда .
- Последовательность всех кратных иррационального α последовательными простыми числами ,
- 2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...
- равнораспределена по модулю 1. Это известная теорема аналитической теории чисел , опубликованная И. М. Виноградовым в 1948 г. [5]
- Последовательность Ван дер Корпута равнораспределена. [6]
Критерий Вейля
Критерий Вейля утверждает, что последовательность a n равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для всех ненулевых целых чисел ℓ,
Критерий назван в честь Германа Вейля и был впервые сформулирован им . [7] Это позволяет свести вопросы эквираспределения к оценкам экспоненциальных сумм , что является фундаментальным и общим методом.
Эскиз доказательства Если последовательность равнораспределена по модулю 1, то мы можем применить интегральный критерий Римана (описанный выше) к функции имеющая целое число нуль на интервале [0, 1]. Это сразу дает критерий Вейля. Наоборот, предположим, что критерий Вейля выполняется. Тогда интегральный критерий Римана выполняется для функций f, как указано выше, и в силу линейности критерия он выполняется для любого тригонометрического полинома f . По теореме Стоуна – Вейерштрасса и аргументам аппроксимации это распространяется на любую непрерывную функцию f .
Наконец, пусть f - индикаторная функция интервала. Можно ограничить f сверху и снизу двумя непрерывными на интервале функциями, интегралы которых отличаются на произвольное ε. С помощью рассуждений, аналогичных доказательству интегрального критерия Римана, можно распространить результат на любую интервальную индикаторную функцию f , тем самым доказав равнораспределение по модулю 1 данной последовательности. ∎
Обобщения
- Количественная форма критерия Вейля дается неравенством Эрдеша – Турана .
- Критерий Вейля естественным образом распространяется на более высокие измерения , предполагая естественное обобщение определения равнораспределения по модулю 1:
Последовательность v n векторов в R k равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда для любого ненулевого вектора ℓ ∈ Z k ,
Пример использования
Критерий Вейля можно использовать, чтобы легко доказать теорему о равнораспределении , утверждающую, что последовательность кратных 0, α , 2 α , 3 α , ... некоторого действительного числа α равнораспределена по модулю 1 тогда и только тогда, когда α иррационально. [3]
Предположим, что α иррационально, и обозначим нашу последовательность как a j = jα (где j начинается с 0, чтобы позже упростить формулу). Пусть ℓ ≠ 0 целое число. Поскольку α иррационально, α никогда не может быть целым, поэтомуникогда не может быть 1. Используя формулу суммы конечного геометрического ряда ,
конечная оценка, не зависящая от n . Следовательно, после деления на n и стремления n к бесконечности левая часть стремится к нулю, и критерий Вейля удовлетворяется.
С другой стороны , обратите внимание , что если α является рациональным , то эта последовательность не равнораспределен по модулю 1, поскольку существует лишь конечное число вариантов для дробной части в J = jα .
Полное равномерное распределение
Последовательность действительных чисел называется k-равномерно распределенной по модулю 1, если не только последовательность дробных частей равномерно распределен в но также последовательность , где определяется как , равномерно распределена в .
Последовательность действительных чисел называется полностью равномерно распределенной по модулю 1, это-равномерно распределены для каждого натурального числа .
Например, последовательность равномерно распределен по модулю 1 (или 1-равномерно распределен) для любого иррационального числа , но никогда не бывает даже 2-равномерно распределенным. Напротив, последовательность полностью равномерно распределяется практически по всем (т.е. для всех кроме набора меры 0).
разностная теорема ван дер Корпута
Теорема Йоханнеса ван дер Корпута [8] утверждает, что если для каждого h последовательность s n + h - s n равномерно распределена по модулю 1, то и s n также . [9] [10] [11]
Множество ван дер Корпута - это множество H целых чисел, такое что если для каждого h в H последовательность s n + h - s n равномерно распределена по модулю 1, то s n также . [10] [11]
Метрические теоремы
Метрические теоремы описывают поведение параметризованной последовательности для почти всех значений некоторого параметра α : то есть для значений α, не лежащих в некотором исключительном множестве нулевой меры Лебега .
- Для любой последовательности различных целых чисел b n последовательность ( b n α ) равнораспределена по модулю 1 почти для всех значений α . [12]
- Последовательность ( α n ) равнораспределена по модулю 1 почти для всех значений α > 1. [13]
Неизвестно, являются ли последовательности ( e n ) или ( π n ) равнораспределенными по модулю 1. Однако известно, что последовательность ( α n ) не является равнораспределенной по модулю 1, если α является номером PV .
Хорошо распределенная последовательность
Последовательность ( s 1 , s 2 , s 3 , ...) действительных чисел называется хорошо распределенной на [ a , b ], если для любого подинтервала [ c , d ] из [ a , b ] мы имеем
равномерно по k . Ясно, что каждая хорошо распределенная последовательность равномерно распределена, но обратное неверно. Определение хорошо распределенного по модулю 1 аналогично.
Последовательности, равнораспределенные по произвольной мере
Для произвольного пространства с вероятностной мерой , последовательность точек называется равнораспределенным относительно если среднее точечных мер слабо сходится к: [14]
В любой борелевской вероятностной мере на сепарабельном , метризуемом пространстве, существует равнораспределена последовательность с относительно меры; действительно, это сразу следует из того факта, что такое пространство стандартно .
Общее явление равнораспределения часто возникает для динамических систем, связанных с группами Ли , например, в решении Маргулиса гипотезы Оппенгейма .
Смотрите также
- Теорема о равнораспределении
- Последовательность с низким расхождением
- Неравенство Эрдеша – Турана
Заметки
- ^ Кейперс и Нидеррейтер (2006)стр. 2-3
- ^ http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf , Теорема 8
- ^ a b c Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 8
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 27
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 129
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 127
- Перейти ↑ Weyl, H. (сентябрь 1916 г.). "Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" [О распределении чисел по модулю один] (PDF) . Математика. Аня. (на немецком). 77 (3): 313–352. DOI : 10.1007 / BF01475864 .
- ^ Ван - дер - Корпута, Дж (1931), "Diophantische Ungleichungen И. Zur Gleichverteilung Модульное Eins.", Acta Mathematica , Спрингер Нидерланды, 56 : 373-456, DOI : 10.1007 / BF02545780 , ISSN 0001-5962 , СУЛ 57.0230.05 , Zbl 0001,20102
- ^ Kuipers & Niederreiter (2006) стр. 26 год
- ^ a b Монтгомери (1994) стр.18
- ^ а б Монтгомери, Хью Л. (2001). «Гармонический анализ в аналитической теории чисел» (PDF) . В Бирнсе, Джеймс С. (ред.). Гармонический анализ ХХ века - праздник. Труды Института перспективных исследований НАТО, Il Ciocco, Италия, июль 2-15, 2000 . НАТО Sci. Сер. II, Матем. Phys. Chem. 33 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. С. 271–293. DOI : 10.1007 / 978-94-010-0662-0_13 . ISBN 978-0-7923-7169-4. Zbl 1001.11001 .
- ^ См. Бернстайн, Феликс (1911), "Убер eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem" , Mathematische Annalen , 71 (3): 417–439, doi : 10.1007 / BF01456856.
- ^ Коксма, И. Ф. (1935), "Эйн mengentheoretischer Затц über умереть Gleichverteilung по модулю Eins" , Compositio Mathematica , 2 : 250-258, СУЛ 61.0205.01 , Zbl +0012,01401
- ^ Кейперс и Нидеррейтер (2006) стр.171
Рекомендации
- Kuipers, L .; Нидеррайтер, Х. (2006) [1974]. Равномерное распределение последовательностей . Dover Publications. ISBN 0-486-45019-8.
- Kuipers, L .; Нидеррайтер, Х. (1974). Равномерное распределение последовательностей . ISBN компании John Wiley & Sons Inc. 0-471-51045-9. Zbl 0281.10001 .
- Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. 84 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .
дальнейшее чтение
- Гранвиль, Эндрю; Рудник, Зеев, ред. (2007). Равное распределение в теории чисел, введение. Труды Института перспективных исследований НАТО по равнораспределенности в теории чисел, Монреаль, Канада, июль 11-22, 2005 . Наука НАТО II: математика, физика и химия. 237 . Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1121.11004 .
- Тао, Теренс (2012). Анализ Фурье высшего порядка . Аспирантура по математике . 142 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl 1277.11010 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Равнораспределенная последовательность» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Критерий Вейля» . MathWorld .
- Критерий Вейля в PlanetMath .
- Конспект лекций Чарльза Уолкдена с доказательством критерия Вейля