Зоноэдр
В геометрии зоноэдр — это выпуклый центрально-симметричный многогранник , каждая грань которого является центрально - симметричным многоугольником ( зоногоном ). Любой зоноэдр можно эквивалентно описать как сумму Минковского набора отрезков в трехмерном пространстве или как трехмерную проекцию гиперкуба . Зоноэдры были первоначально определены и изучены русским кристаллографом Е. С. Федоровым . В более общем смысле, в любом измерении сумма отрезков Минковского образует многогранник, известный как многогранник .зонотоп .
Первоначальная мотивация изучения зоноэдров состоит в том, что диаграмма Вороного любой решетки образует выпуклые однородные соты , в которых ячейки являются зоноэдрами. Любой зоноэдр, образованный таким образом, может замостить трехмерное пространство и называется первичным параллелоэдром . Каждый первичный параллелоэдр комбинаторно эквивалентен одному из пяти типов: ромбоэдру ( включая куб ), шестиугольной призме , усеченному октаэдру , ромбододекаэдру и ромбогексагональному додекаэдру .
Позвольте быть набором трехмерных векторов . С каждым вектором мы можем связать отрезок прямой . Сумма Минковского образует зоноэдр, и все зоноэдры, содержащие начало координат, имеют эту форму. Векторы, из которых образован зоноэдр, называются его образующими . Эта характеристика позволяет обобщить определение зоноэдров на более высокие измерения, давая зонотопы.
Каждое ребро в зоноэдре параллельно хотя бы одной из образующих и имеет длину, равную сумме длин образующих, которым оно параллельно. Следовательно, выбрав набор образующих без параллельных пар векторов и установив равные длины всех векторов, мы можем сформировать равностороннюю версию любого комбинаторного типа зоноэдра.
Выбирая наборы векторов с высокой степенью симметрии, мы можем таким образом формировать зоноэдры с по меньшей мере такой же симметрией. Например, образующие, равномерно расположенные по экватору сферы, вместе с другой парой образующих через полюса сферы образуют зоноэдры в виде призмы над правильными -угольниками: куб , шестиугольная призма , восьмиугольная призма , десятиугольная призма , двенадцатиугольная призма и др. Образующие, параллельные ребрам октаэдра, образуют усеченный октаэдр , а образующие, параллельные длинным диагоналям куба, — ромбододекаэдр . [1]
