Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Обычный чилигон
Многоугольник 1000.svg
Обычный чилигон
ТипПравильный многоугольник
Ребра и вершины1000
Символ Шлефли{1000}, т {500}, тт {250}, ттт {125}
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel 10.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel node 1.png
Группа симметрииДвугранный (D 1000 ), порядок 2 × 1000
Внутренний угол ( градусы )179,64 °
Двойной многоугольникСебя
ХарактеристикиВыпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Целый правильный чилигон визуально не отличить от круга. Нижняя часть представляет собой часть правильного хилиагона, в 200 раз больше меньшего, с выделенными вершинами.

В геометрии , A тысячеугольник ( / к ɪ л я ə ɡ ɒ п / ) или 1000-угольник представляет собой многоугольник с 1000 сторон. Философы обычно ссылаются на хилиагоны, чтобы проиллюстрировать идеи о природе и работе мысли, значения и ментального представления.

Обычный чилигон [ править ]

Регулярно тысячеугольник представлена Шлефли символом {1000} и может быть выполнен в виде усеченной 500-угольник, т {500}, или дважды усеченной 250-угольник, тт {250}, или трижды усеченной 125-угольника, ttt {125}.

Каждый внутренний угол правильного хилиагона составляет 179,64 °. Область из регулярного тысячеугольника со сторонами длиной а задаются

Этот результат отличается от площади описанной окружности менее чем на 4 части на миллион .

Поскольку 1000 = 2 3 × 5 3 , количество сторон не является ни произведением различных простых чисел Ферма, ни степенью двойки. Таким образом, правильный хилиагон не является конструктивным многоугольником . В самом деле, его невозможно даже построить с помощью neusis или трисектора угла, поскольку количество сторон не является ни произведением различных простых чисел Пьерпона , ни произведением степеней двойки и тройки. Следовательно, для построения хилиагона требуются другие техники, такие как квадратикс Гиппия , спираль Архимеда., или другие вспомогательные кривые. Например, сначала можно построить угол 9 ° с помощью циркуля и линейки, который затем можно дважды разрезать (разделить на пять равных частей) с помощью вспомогательной кривой, чтобы получить требуемый внутренний угол 0,36 °.

Философское приложение [ править ]

Рене Декарт использует хилиагон в качестве примера в своей Шестой медитации, чтобы продемонстрировать разницу между чистым интеллектом и воображением. Он говорит, что, когда кто-то думает о хилиагоне, он «не представляет тысячи сторон и не видит их так, как если бы они были» перед ним - как, например, когда человек представляет треугольник. Воображение конструирует «запутанное представление», которое ничем не отличается от того, что оно конструирует из мириагона.(многоугольник с десятью тысячами сторон). Однако он ясно понимает, что такое хилиагон, точно так же, как он понимает, что такое треугольник, и может отличить его от мириагона. Следовательно, как утверждает Декарт, интеллект не зависит от воображения, поскольку он способен вырабатывать ясные и отчетливые идеи, когда воображение неспособно. [1] Философ Пьер Гассенди , современник Декарта, критически относился к этой интерпретации, полагая, что, хотя Декарт мог вообразить хилиагон, он не мог его понять: можно было «понять, что слово« хилиагон »означает фигуру с тысячей углов. [но] это только значение термина, и из этого не следует, что вы понимаете тысячу углов фигуры лучше, чем вы их представляете ».[2]

На пример хилиагона ссылаются и другие философы, такие как Иммануил Кант . [3] Дэвид Хьюм указывает, что «невозможно для глаза определить углы хилиагона, равные прямым углам 1996 года, или сделать какое-либо предположение, которое приближается к этой пропорции». [4] Готфрид Лейбниц комментирует использование хилиагона Джоном Локком , отмечая, что можно иметь представление о многоугольнике, не имея его изображения, и таким образом отличать идеи от изображений. [5]

Анри Пуанкаре использует хилиагон как доказательство того, что «интуиция не обязательно основана на свидетельстве чувств», потому что «мы не можем представить себе хилиагон, но все же мы рассуждаем интуитивно на многоугольниках в целом, которые включают хилиагон как частный элемент. дело." [6]

Вдохновленные примером хилиагона Декарта, Родерик Чизхолм и другие философы 20-го века использовали похожие примеры, чтобы сделать аналогичные выводы. « Пятнистая курица » Чисхолма , у которой не обязательно есть определенное количество пятен, чтобы ее можно было успешно представить, является, пожалуй, самой известной из них. [7]

Симметрия [ править ]

Симметрии правильного хилиагона. Голубые линии показывают подгруппы индекса 2. 4 подграфа в рамке позиционно связаны подгруппами индекса 5.

Регулярный тысячеугольник имеет DIH 1000 двугранные симметрий , порядка 2000, представленных 1000 линий отражения. Dih 100 имеет 15 двугранных подгрупп: Dih 500 , Dih 250 , Dih 125 , Dih 200 , Dih 100 , Dih 50 , Dih 25 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih 5 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 и Dih 1 . Он также имеет еще 16 циклических симметрий в качестве подгрупп: Z 1000 , Z500 , Z 250 , Z 125 , Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 8 , Z 4 , Z 2 и Z 1 , где Z n представляет π / n радианная вращательная симметрия.

Джон Конвей обозначает эти более низкие симметрии буквой, и порядок симметрии следует за буквой. [8] Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями через вершины, p с зеркальными линиями через ребра (перпендикулярно), i с зеркальными линиями через вершины и ребра и g для симметрии вращения. a1 обозначает отсутствие симметрии.

Эти более низкие симметрии позволяют степеням свободы определять неправильные хилиагоны. Только подгруппа g1000 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Хилиаграмма [ править ]

Хилиаграмма - это многоугольник со звездой с тысячами сторон . Существует 199 регулярных форм [9], задаваемых символами Шлефли вида {1000 / n }, где n - целое число от 2 до 500, которое взаимно просто с 1000. В остальных случаях также 300 обычных звездных фигур .

Например, правильный многоугольник {1000/499} состоит из 1000 почти радиальных ребер. Каждая вершина звезды имеет внутренний угол 0,36 градуса. [10]

{1000/499}

Центральная зона с муаровым узором

См. Также [ править ]

  • Мириагон
  • Мегагон
  • Философия разума
  • Философия языка

Ссылки [ править ]

  1. ^ Медитация VI Декарта (английский перевод).
  2. ^ Сепкоски, Дэвид (2005). «Номинализм и конструктивизм в математической философии семнадцатого века». Historia Mathematica . 32 : 33–59. DOI : 10.1016 / j.hm.2003.09.002 .
  3. ↑ Иммануил Кант, «Об открытии», пер. Генри Эллисон, в « Теоретической философии после 1791 года» , изд. Генри Эллисон и Питер Хит, Cambridge UP, 2002 [Akademie 8: 121]. Кант на самом деле не использует хилиагон в качестве своего примера, вместо этого использует 96-стороннюю фигуру , но он отвечает на тот же вопрос, заданный Декартом.
  4. ↑ Дэвид Хьюм, Философские работы Дэвида Юма , Том 1, Блэк и Тейт, 1826, стр. 101.
  5. ^ Джонатан Фрэнсис Беннет (2001), Обучение у шести философов: Декарт, Спиноза, Лейбниц, Локк, Беркли, Хьюм , Том 2, Oxford University Press, ISBN 0198250924 , стр. 53. 
  6. ^ Анри Пуанкаре (1900) «Интуиция и логика в математике» в Уильяме Брэгге Эвальде (редактор) От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики , том 2, Oxford University Press, 2007, ISBN 0198505361 , стр. 1015. 
  7. ↑ Родерик Чизолм, «Проблемапятнистой курицы», Mind 51 (1942): стр. 368–373. «Все эти проблемы являются потомками аргумента Декарта о« хилиагоне »в шестой из его медитаций» (Джозеф Хит, « Следование правилам: практическое мышление и деонтические ограничения» , Oxford: OUP, 2008, с. 305, примечание 15).
  8. ↑ Симметрии вещей , Глава 20
  9. ^ 199 = 500 случаев - 1 (выпуклый) - 100 (кратный 5) - 250 (кратный 2) + 50 (кратный 2 и 5)
  10. ^ 0,36 = 180 (1-2 / (1000/499)) = 180 (1-998 / 1000) = 180 (2/1000) = 180/500
  • чилиагон