Матрица плотности

Часть серии по
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Матрица плотности является матрицей , которая описывает статистическое состояние, будь то в чистом виде или смешанным, систем , в квантовой механике . Вероятность любого результата любого четко определенного измерения системы может быть вычислена из матрицы плотности для этой системы. В крайних точках в наборе матриц плотности являются чистыми состояниями , которые также могут быть записаны в виде векторов состояния или волновых функциями. Матрицы плотности, которые не являются чистыми состояниями, являются смешанными состояниями. Любое смешанное состояние может быть представлено как выпуклая комбинация чистых состояний, и поэтому матрицы плотности полезны для работы сстатистические ансамбли различных возможных приготовлений квантовой системы или ситуации, в которых точная подготовка неизвестна, как в квантовой статистической механике .

Описание квантового состояния с помощью его матрицы плотности - это полностью общий формализм, альтернативный описанию квантового состояния его вектором состояния (его « кет ») или статистическим ансамблем кетов. Однако на практике часто удобнее использовать матрицы плотности для вычислений, включающих смешанные состояния, и использовать кеты для вычислений, включающих только чистые состояния. Смешанные состояния возникают в ситуациях, когда экспериментатор не знает, какими конкретными состояниями манипулируют. Примеры включают систему, находящуюся в тепловом равновесии при температуре выше абсолютного нуля , или систему с неопределенной или случайно изменяющейся историей приготовления (поэтому неизвестно, в каком чистом состоянии находится система). Кроме того, если квантовая система имеет две или более подсистем, которыезапутанный , то каждая подсистема должна рассматриваться как смешанное состояние, даже если вся система находится в чистом состоянии. ^[1] Следовательно, матрица плотности также является важным инструментом в теории квантовой декогеренции , в которой временная эволюция системы рассматривается вместе с эволюцией ее окружения. ^{[2] [3] [4]}

Матрица плотности представляет собой представление линейного оператора, называемого оператором плотности . Матрица плотности получается из оператора плотности путем выбора базиса в нижележащем пространстве. На практике термины матрица плотности и оператор плотности часто используются как взаимозаменяемые. И матрица, и оператор являются самосопряженными (или эрмитовыми ), положительно полуопределенными , первого следа и могут иметь бесконечный ранг . ^[5]

История [ править ]

Формализм операторов плотности и матриц был введен в 1927 году Джоном фон Нейманом ^[6] и независимо, но менее систематически, Львом Ландау ^[7], а затем в 1946 году Феликсом Блохом . ^[8] Фон Нейман ввел матрицу плотности с целью развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений. Сама матрица плотности названий связана с ее классическим соответствием вероятностной мере в фазовом пространстве (вероятностное распределение положения и импульса) в классической статистической механике , которая была введена Вигнером в 1932 году ^[5].

Напротив, мотивация, которая вдохновляла Ландау, заключалась в невозможности описания подсистемы составной квантовой системы вектором состояния. ^[7]

Чистые и смешанные состояния [ править ]

В квантовой механике состояние квантовой системы представлено вектором состояния , обозначенным (и произносится как ket psi ). Квантовая система с вектором состояния называется чистым состоянием . Однако также возможно, что система находится в статистическом ансамбле различных векторов состояния: например, может быть 50% -ная вероятность того, что вектор состояния и 50% -ная вероятность, что вектор состояния является . Эта система будет в смешанном состоянии . Матрица плотности особенно полезна для смешанных состояний, потому что любое состояние, чистое или смешанное, может быть охарактеризовано единой матрицей плотности. ^{[9] : 102}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

Смешанное состояние отличается от квантовой суперпозиции . Вероятности в смешанном состоянии - это классические вероятности (как и вероятности, которые изучаются в классической теории / статистике вероятностей), в отличие от квантовых вероятностей в квантовой суперпозиции. Фактически, квантовая суперпозиция чистых состояний - это, например, другое чистое состояние . В этом случае коэффициенты являются не вероятностями, а скорее амплитудами вероятностей . ^{[9] : 81}${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

Пример: поляризация света [ править ]

Лампа накаливания  (1) излучает полностью случайные поляризованные фотоны  (2) с матрицей плотности смешанного состояния:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}}$.

После прохождения через вертикальный плоский поляризатор  (3) все оставшиеся фотоны имеют вертикальную поляризацию  (4) и имеют матрицу плотности чистого состояния:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}}$.

Примером чистого и смешанного состояний является поляризация света . Фотоны могут иметь две спирали , соответствующие двум ортогональным квантовым состояниям (правая круговая поляризация ) и (левая круговая поляризация ). Фотон также может находиться в состоянии суперпозиции, например (вертикальная поляризация) или (горизонтальная поляризация). В более общем смысле, он может находиться в любом состоянии (с ), соответствующем линейной , круговой или эллиптической поляризации . Если мы пропустим поляризованный свет через круговой поляризатор, который позволяет только${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle (|R\rangle -|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }$${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$${\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |R\rangle }$В обоих случаях интенсивность поляризованного света или только поляризованного света будет уменьшена вдвое. Это может сделать это , кажется , как половина фотонов находятся в состоянии , а другая половина в состоянии , но это не так: как и фотоны частично поглощается вертикальным линейным поляризатором , но свет будет проходить через этот поляризатор, без поглощения вообще .${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Однако неполяризованный свет (например, свет лампы накаливания ) отличается от любого состояния, например (линейная, круговая или эллиптическая поляризация). В отличие от света с линейной или эллиптической поляризацией, он проходит через поляризатор с 50% потерей интенсивности независимо от ориентации поляризатора; и, в отличие от света с круговой поляризацией, его нельзя сделать линейно поляризованным с помощью какой-либо волновой пластины, потому что случайно ориентированная поляризация будет исходить от волновой пластины со случайной ориентацией. В самом деле, неполяризованный свет нельзя описать как какое-либо состояние формы в определенном смысле. Однако неполяризованный свет можно описать средними по ансамблю, например, что каждый фотон либо${\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }$${\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle }$${\displaystyle |R\rangle }$с вероятностью 50% или с вероятностью 50%. Такое же поведение произошло бы, если бы каждый фотон был либо вертикально поляризован с вероятностью 50%, либо горизонтально поляризован с вероятностью 50% (поскольку состояние вертикальной или горизонтальной поляризации может быть выражено как линейная комбинация состояний и ).${\displaystyle |L\rangle }$${\displaystyle |R\rangle }$${\displaystyle |L\rangle }$

Следовательно, неполяризованный свет не может быть описан каким-либо чистым состоянием, но может быть описан как статистический ансамбль чистых состояний по крайней мере двумя способами (ансамбль половинной левой и половины правой круговой поляризации или ансамбль половинной вертикальной и половины горизонтальной линейной поляризованный). Эти два ансамбля экспериментально совершенно неразличимы, поэтому они считаются одним и тем же смешанным состоянием. Одно из преимуществ матрицы плотности состоит в том, что для каждого смешанного состояния существует только одна матрица плотности, тогда как для каждого смешанного состояния существует множество статистических ансамблей чистых состояний. Тем не менее, матрица плотности содержит всю информацию, необходимую для вычисления любого измеримого свойства смешанного состояния. ^{[ необходима цитата ]}

Откуда берутся смешанные состояния? Чтобы ответить на этот вопрос, подумайте, как создать неполяризованный свет. Один из способов - использовать систему в тепловом равновесии , статистическую смесь огромного числа микросостояний , каждое из которых с определенной вероятностью ( фактор Больцмана ), быстро переключающихся с одного на другое из-за тепловых флуктуаций . Температурная хаотичность объясняет, почему , например, лампа накаливания излучает неполяризованный свет. Второй способ генерировать неполяризованный свет - внести неопределенность в подготовку системы, например, пропустить ее через двулучепреломляющий кристалл.с шероховатой поверхностью, так что несколько разные части луча приобретают разную поляризацию. Третий способ генерации неполяризованного света использует установку ЭПР : радиоактивный распад может испускать два фотона, движущихся в противоположных направлениях, в квантовом состоянии . Два фотона вместе находятся в чистом состоянии, но если вы смотрите только на один из фотонов и игнорируете другой, фотон ведет себя так же, как неполяризованный свет. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}}$

В более общем смысле, смешанные состояния обычно возникают из статистической смеси начального состояния (например, в тепловом равновесии), из-за неопределенности в процедуре подготовки (например, немного отличающихся путей, по которым может пройти фотон) или из-за взгляда на подсистему, запутанную что-то другое. ^{[9] : 101–106}

Определение [ править ]

Для конечномерного функционального пространства наиболее общий оператор плотности имеет вид

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|,}$

где коэффициенты неотрицательны и в сумме составляют единицу, и представляет собой внешнее произведение, записанное в скобках . Это представляет собой смешанное состояние с вероятностью того, что система находится в чистом состоянии . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$${\displaystyle p_{j}}$${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$

Для приведенного выше примера неполяризованного света оператор плотности равен

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|R\rangle \langle R|+{\frac {1}{2}}|L\rangle \langle L|,}$

где - состояние фотона с левой круговой поляризацией, а - состояние фотона с правой круговой поляризацией. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \textstyle |L\rangle }$${\displaystyle \textstyle |R\rangle }$

Различные статистические ансамбли с одинаковой матрицей плотности [ править ]

В предыдущем разделе был приведен пример двух статистических ансамблей чистых состояний, которые имеют один и тот же оператор плотности: неполяризованный свет может быть описан как как 50% поляризованный справа по кругу, 50% поляризованный слева по кругу, или как 50% поляризованный по горизонтали и 50% с вертикальной поляризацией. Такие эквивалентные ансамбли или смеси невозможно различить никакими измерениями. Эту эквивалентность можно точно охарактеризовать. Это можно проиллюстрировать на примере конечных ансамблей состояний в конечномерном гильбертовом пространстве. Два таких ансамбля определяют один и тот же оператор плотности тогда и только тогда, когда существует частичная изометрия , матрица которой равна , с${\displaystyle \left\{\left|\psi _{i}\right\rangle \right\},\left\{\left|\psi _{i}'\right\rangle \right\}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left|\psi _{i}'\right\rangle {\sqrt {p_{i}'}}=\sum _{j}U_{ij}\left|\psi _{j}\right\rangle {\sqrt {p_{j}}}~.}$

Это просто повторение следующего факта из линейной алгебры: для двух матриц и , если и только если для некоторой частичной изометрии . В случае, если два ансамбля имеют одинаковый размер, матрица будет квадратной и, следовательно, унитарной. (См. Более подробную информацию об этом случае в квадратном корне из матрицы .) Таким образом, в кет-смеси или ансамбле существует свобода, которая дает тот же оператор плотности. Однако, если кеты, составляющие смесь, ограничены определенным ортонормированным базисом, то исходные вероятности однозначно восстанавливаются из этого базиса как собственные значения матрицы плотности. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle MM^{*}=NN^{*}}$${\displaystyle M=NU}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p_{j}}$

Математические свойства и условие чистоты [ править ]

В языке оператора, оператор плотности является положительным полуопределенным , эрмитовым оператором следа 1 , действующего на пространстве состояний. ^[1] Оператор плотности описывает чистое состояние, если это проекция первого ранга . Аналогично, оператор плотности описывает чистое состояние тогда и только тогда, когда${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\rho ^{2}}$,

т.е. государство идемпотентно . ^{[10] : 73} Это верно независимо от того, конечномерно гильбертово пространство H или нет. ^{[ необходима цитата ]}

Геометрически, когда состояние не может быть выражено как выпуклая комбинация других состояний, это чистое состояние. ^[1] Семейство смешанных состояний является выпуклым множеством, а состояние является чистым, если оно является экстремальной точкой этого множества.

Из спектральной теоремы для компактных самосопряженных операторов следует, что каждое смешанное состояние является счетной выпуклой комбинацией чистых состояний. Это представление не уникально. Кроме того, теорема Глисона устанавливает, что любое самосогласованное присвоение вероятностей результатам измерений, где измерения являются ортонормированными базисами в гильбертовом пространстве, можно записать как оператор плотности, если размерность гильбертова пространства больше 2 ^{[[ 11]} Это ограничение на размер можно снять, обобщив понятие измерения на POVM . ^{[12] [13]}

Измерение [ править ]

Позвольте быть наблюдаемым системы, и предположим, что ансамбль находится в смешанном состоянии, так что каждое из чистых состояний возникает с вероятностью . Тогда соответствующий оператор плотности равен${\displaystyle A}$${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

Среднее значение измерения может быть вычислено путем расширения от случая чистых состояний (см Измерения в квантовой механике ):

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\sum _{j}\operatorname {tr} \left(p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

где обозначает след . Таким образом, привычное выражение для чистых состояний заменяется на${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

для смешанных состояний.

Более того, если имеет спектральное разрешение${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

где соответствующий оператор плотности после измерения имеет вид${\displaystyle P_{i}=|a_{i}\rangle \langle a_{i}|}$

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

Обратите внимание, что указанный выше оператор плотности описывает полный ансамбль после измерения. Подгруппа, для которой результат измерения был конкретным значением , описывается другим оператором плотности${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}.}$

Это верно, если предположить, что это единственный собственный набор (с точностью до фазы ) с собственным значением ; в более общем смысле, в этом выражении будет заменен оператор проекции в собственное пространство, соответствующее собственному значению .${\displaystyle \textstyle |a_{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

В более общем смысле, предположим, что это функция, которая связывает с каждым наблюдаемым число , которое мы можем рассматривать как «математическое ожидание» . Если удовлетворяет некоторым естественным свойствам (например, дает положительные значения для положительных операторов), тогда существует уникальная матрица плотности такая, что${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \Phi (A)=\operatorname {tr} (\rho A)}$

для всех . ^[1] Другими словами, любое разумное «семейство ожидаемых значений» может быть представлено матрицей плотности. Это наблюдение предполагает, что матрицы плотности являются наиболее общим понятием квантового состояния.${\displaystyle A}$

Энтропия [ править ]

Фон Нейман энтропия смеси может быть выражен в терминах собственных значений или в терминах следа и логарифм оператора плотности . Поскольку это положительно полуопределенный оператор, он имеет такое спектральное разложение , что , где - ортонормированные векторы , и . Тогда энтропия квантовой системы с матрицей плотности равна${\displaystyle S}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

Из этого определения следует, что энтропия фон Неймана любого чистого состояния равна нулю. ^{[14] : 217} Если есть состояния, которые имеют опору на ортогональных подпространствах, то энтропия фон Неймана выпуклой комбинации этих состояний,${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

дается энтропиями фон Неймана состояний и энтропией Шеннона распределения вероятностей :${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

Когда состояния не имеют ортогональных носителей, сумма в правой части строго больше, чем энтропия фон Неймана выпуклой комбинации . ^{[9] : 518}${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle \rho }$

Учитывая оператор плотности и проективное измерение, как в предыдущем разделе, состояние, определяемое выпуклой комбинацией${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

которое можно интерпретировать как состояние, полученное при выполнении измерения, но без записи того, какой результат произошел, ^{[15] : 159} имеет энтропию фон Неймана больше, чем энтропия, за исключением случая . Однако возможно, что полученное с помощью обобщенного измерения, или POVM , имеет более низкую энтропию фон Неймана, чем . ^{[9] : 514}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =\rho '}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle \rho }$

Системы и подсистемы [ править ]

Еще одна мотивация для рассмотрения матриц плотности исходит из рассмотрения систем и их подсистем. Предположим, у нас есть две квантовые системы, описываемые гильбертовыми пространствами и . Тогда составная система является тензорным произведением двух гильбертовых пространств. Предположим теперь, что составная система находится в чистом состоянии . Если случайно имеет особую форму , то можно с полным основанием сказать, что состояние первой подсистемы равно . В этом случае мы говорим, что две системы не переплетены. В общем, однако, не разлагается как единое тензорное произведение векторов в и . Если${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi =\psi _{1}\otimes \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \psi }$не могут быть разложены как единое тензорное произведение состояний в компонентных системах, мы говорим, что эти две системы запутаны. В этом случае нет разумного способа связать чистое состояние с состоянием . ^[1]${\displaystyle \psi _{1}\in {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$

Если, например, у нас есть волновая функция, описывающая состояние двух частиц, нет естественного способа построить волновую функцию (т. Е. Чистое состояние), которая описывает состояния первой частицы, - если только она не является продуктом функция и функция .${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle \psi _{1}(x_{1})}$${\displaystyle \psi _{2}(x_{2})}$

Результатом предыдущего обсуждения является то, что даже если вся система находится в чистом состоянии, различные подсистемы, составляющие ее, обычно будут в смешанном состоянии. Таким образом, использование матриц плотности неизбежно.

С другой стороны, независимо от того, находится ли составная система в чистом или смешанном состоянии, мы можем прекрасно построить матрицу плотности, описывающую состояние . Обозначим матрицу плотности составной системы двух систем через . Тогда состояние, скажем, описывается оператором приведенной плотности , заданным путем взятия «частичного следа» сверх . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$

Если состояние является матрицей плотности специального вида, где и - матрицы плотности на и , то частичный след по отношению к равен . Однако типичный вариант не имеет такой формы.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$${\displaystyle \rho _{1}}$${\displaystyle \rho }$

Уравнение фон Неймана для эволюции во времени [ править ]

Так же, как уравнение Шредингера описывает эволюцию чистых состояний во времени, уравнение фон Неймана (также известное как уравнение Лиувилля – фон Неймана ) описывает эволюцию оператора плотности во времени (на самом деле, эти два уравнения эквивалентны в том смысле, что любой может быть получен из другого.) Уравнение фон Неймана диктует, что ^{[16] [17]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=[H,\rho ]~,}$

где скобки обозначают коммутатор .

Обратите внимание, что это уравнение справедливо только в том случае, если оператор плотности взят из картины Шредингера , хотя на первый взгляд кажется, что это уравнение имитирует уравнение движения Гейзенберга из картины Гейзенберга с решающей разницей знаков:

${\displaystyle i\hbar {\frac {dA^{(H)}}{dt}}=-\left[H,A^{(H)}\right]~,}$

где - некоторый оператор изображения Гейзенберга ; но на этом изображении матрица плотности не зависит от времени , а относительный знак гарантирует, что производная по времени от ожидаемого значения будет такой же, как на изображении Шредингера . ^[1]${\displaystyle A^{(H)}(t)}$${\displaystyle \langle A\rangle }$

Если гамильтониан не зависит от времени, уравнение фон Неймана можно легко решить и получить

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

Для более общего гамильтониана, если - пропагатор волновой функции на некотором интервале, то временная эволюция матрицы плотности на том же интервале определяется выражением${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

«Квантовый Лиувилль», уравнение Мойала [ править ]

Оператор матрицы плотности также может быть реализован в фазовом пространстве . При отображении Вигнера матрица плотности преобразуется в эквивалентную функцию Вигнера :

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

Уравнение для временной эволюции функции Вигнера тогда является преобразованием Вигнера вышеуказанного уравнения фон Неймана,

${\displaystyle {\frac {\partial W(q,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(q,p,t),H(q,p)\}\},}$

где - гамильтониан, - скобка Мойала , преобразование квантового коммутатора .${\displaystyle H(q,p)}$${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

Уравнение эволюции для функции Вигнера затем аналогично его классического предела уравнения Лиувилля в классической физике . В пределе исчезающей постоянная Планка , сводится к классической функции плотности вероятности Лиувилля в фазовом пространстве .${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle W(q,p,t)}$

Классическое уравнение Лиувилля может быть решено с использованием метода характеристик для уравнений в частных производных, причем характеристические уравнения являются уравнениями Гамильтона . Уравнение Мойала в квантовой механике аналогично допускает формальные решения в терминах квантовых характеристик , основанных на ∗ - произведении фазового пространства, хотя на практике поиск решения осуществляется разными методами.

Примеры приложений [ править ]

Матрицы плотности являются основным инструментом квантовой механики и появляются, по крайней мере, изредка, почти в любом типе квантово-механических расчетов. Вот некоторые конкретные примеры, когда матрицы плотности особенно полезны и распространены:

• Теория квантовой декогеренции обычно включает неизолированные квантовые системы, развивающие сцепление с другими системами, включая измерительные устройства. Матрицы плотности значительно упрощают описание процесса и расчет его последствий. Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния, демонстрирующего суперпозиции, в смешанное состояние, некогерентное сочетание классических альтернатив. Этот переход принципиально обратим, поскольку объединенное состояние системы и окружающей среды все еще остается чистым, но для всех практических целей необратимым, поскольку окружающая среда является очень большой и сложной квантовой системой, и обратить их взаимодействие невозможно. Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического пределаквантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы все еще присутствуют в смешанном состоянии, а коллапс волновой функции выбирает только одну из них. ^[18]
• Точно так же в квантовых вычислениях , квантовой теории информации и других областях, где подготовка состояний зашумлена и может происходить декогеренция, часто используются матрицы плотности. Квантовая томография - это процесс, с помощью которого по заданному набору данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется матрица плотности, соответствующая этим результатам измерений. ^{[19] [20]}
• При анализе системы с большим количеством электронов, такой как атом или молекула , несовершенное, но полезное первое приближение состоит в том, чтобы рассматривать электроны как некоррелированные или каждый из которых имеет независимую одночастичную волновую функцию. Это обычная отправная точка при построении определителя Слейтера в методе Хартри – Фока . Если есть электроны, заполняющие одночастичные волновые функции , то совокупность электронов вместе может быть охарактеризована матрицей плотности .${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

C * -алгебраическая формулировка состояний [ править ]

Сейчас общепринято, что описание квантовой механики, в котором все самосопряженные операторы представляют наблюдаемые, несостоятельно. ^{[21] [22]} По этой причине, наблюдаемые идентифицируется с элементами абстрактного C * -алгебра (то есть один без представления отмеченного как алгебры операторов) и состояния являются положительными линейными функционалами на А . Однако, используя конструкцию GNS , мы можем восстановить гильбертовы пространства, которые реализуют A как подалгебру операторов.

Геометрический чистое состояние на C * -алгебра A является состоянием , которое является крайней точкой множества всех состояний на A . По свойствам конструкции ГНС эти состояния соответствуют неприводимым представлениям о А .

Состояния C * -алгебры компактных операторов K ( H ) в точности соответствуют операторам плотности, и поэтому чистые состояния K ( H ) являются в точности чистыми состояниями в смысле квантовой механики.

Можно увидеть, что C * -алгебраическая формулировка включает как классические, так и квантовые системы. Когда система является классической, алгебра наблюдаемых становится абелевой C * -алгеброй. В этом случае состояния становятся вероятностными мерами, как отмечалось во введении.

См. Также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]