Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
---|
В абстрактной алгебре , то поле частных в качестве интегральной области является наименьшим поле , в котором он может быть встроен .
Элементами поля дробей области целостности являются классы эквивалентности (см. Конструкцию ниже), записанные как
с
- а в и .
Поле дробей иногда обозначают или .
Математики называют эту конструкцию полем дробей, полем дробей , полем частных или полем частных . Все четыре используются часто. Выражение «поле частного» иногда может быть перепутано с коэффициентом кольца по идеалу, что является совершенно другим понятием.
Примеры [ править ]
- Поле частных кольца целых чисел является полем рациональных чисел , .
- Позвольте быть кольцо гауссовских целых чисел . Затем поле гауссовских рациональных чисел .
- Поле дробей поля канонически изоморфно самому полю.
- Для данного поля поле дробей кольца многочленов с одним неопределенным (которое является областью целостности) называется полем рациональных функций или полем рациональных дробей [1] [2] [3] и обозначается .
Строительство [ править ]
Позвольте быть любой области целостности .
Для с ,
фракция
обозначает класс эквивалентности пар
- ,
где эквивалентно тогда и только тогда, когда .
(Определение эквивалентности смоделировано на свойстве рациональных чисел, что если и только если .)
Поле фракций определяется как множество всех таких фракций .
Сумма и определяется как
- ,
а произведение и определяется как
(проверяется, правильно ли они определены).
Вложение in отображает каждое в дробь для любого ненулевого (класс эквивалентности не зависит от выбора ). Это по образцу личности .
Поле дробей характеризуется следующим универсальным свойством :
- если - инъективный гомоморфизм колец из в поле ,
- тогда существует единственный продолжающийся гомоморфизм колец .
Есть категорическая трактовка этой конструкции. Позвольте быть категорией областей целостности и инъективных отображений колец. Функтор из к категории полей , которые принимают каждую интегральную домен его поле и любой гомоморфизм индуцированного отображения на полях (которая существует по универсальному свойству) является сопряженным слева от включения функтора из категории полей в . Таким образом, категория полей (которая является полной подкатегорией) является отражающей подкатегорией из .
Мультипликативная идентичность не требуется для роли интегральной области; эта конструкция может быть применена к любой ненулевой коммутативной шкале, не имеющей ненулевых делителей нуля . Вложение дается для любого ненулевого значения . [4]
Обобщения [ править ]
Локализация [ править ]
Для любого коммутативного кольца и любого мультипликативного множества в ,
локализации является коммутативное кольцо , состоящее из фракций
с
- и ,
где now эквивалентно тогда и только тогда, когда существует такое, что .
Следует отметить два особых случая этого:
- Если - дополнение простого идеала , то также обозначается .
- Когда - область целостности, а - нулевой идеал, - поле долей .
- Если - множество ненулевых делителей в , то называется полным факторкольцом .
- Общий фактор - кольцо из области целостности является полем частных , но полное кольцо частного определяются для любого коммутативного кольца .
Обратите внимание, что разрешено для содержать 0, но в этом случае будет тривиальное кольцо .
Полутело дробей [ править ]
Полуполь фракций одного коммутативным полукольца с не делителями нуля является самым маленьким Полуполевым , в котором он может быть встроен .
Элементами полуполя дробей коммутативного полукольца являются классы эквивалентности, записываемые как
с
- и в .
См. Также [ править ]
- Состояние руды ; это условие, которое необходимо учитывать в некоммутативном случае.
- Проективная прямая над кольцом ; альтернативная структура, не ограниченная целостными областями.
Ссылки [ править ]
- ^ Эрнест Борисович Винберг (2003). Курс алгебры . п. 131.
- ^ Стефан Фолдс (1994). Фундаментальные структуры алгебры и дискретной математики . Джон Вили и сыновья. п. 128 .
- ^ Пьер Антуан Грийе (2007). Абстрактная алгебра . п. 124.
- ^ Хангерфорд, Томас В. (1980). Алгебра (переработанное 3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 142–144. ISBN 3540905189.