В математике , то гипотеза Гильберта-Полна утверждает , что нетривиальные нули о дзета - функции Римана соответствуют к собственным значениям одного самосопряженного оператора . Это возможный подход к гипотезе Римана с помощью спектральной теории .
История
В письме к Эндрю Одлызко от 3 января 1982 года Джордж Полиа сказал, что, когда он был в Геттингене примерно с 1912 по 1914 год, Эдмунд Ландау спросил его по физической причине, что гипотеза Римана должна быть верной, и предположил, что это будет случай, если мнимые части t нулей
о дзета - функции Римана соответствуют собственным значениям одного самосопряженного оператора . [1] Самое раннее опубликованное утверждение гипотезы, по-видимому, было у Монтгомери (1973) . [1] [2]
Дэвид Гильберт не работал в основных областях аналитической теории чисел , но его имя стало известно благодаря гипотезе Гильберта – Полиа по анекдотическим причинам. [ требуется дальнейшее объяснение ]
1950-е годы и формула следа Сельберга
Во время разговора Поли с Ландау оснований для таких предположений было мало. Однако Сельберг в начале 1950 - х годов доказал двойственность между длиной спектра в виде римановой поверхности и собственные его лапласиана . Эта так называемая формула следа Сельберга поразительно напоминала явные формулы , которые подтверждали гипотезу Гильберта – Полиа.
1970-е и случайные матрицы
Хью Монтгомери исследовал и обнаружил, что статистическое распределение нулей на критической линии имеет определенное свойство, которое теперь называется гипотезой парной корреляции Монтгомери . Нули имеют тенденцию не группироваться слишком близко друг к другу, а отталкиваться. [2] Посетив Институт перспективных исследований в 1972 году, он показал этот результат Фримену Дайсону , одному из основоположников теории случайных матриц .
Дайсон увидел, что статистическое распределение, найденное Монтгомери, оказалось таким же, как распределение парных корреляций для собственных значений случайной эрмитовой матрицы . Эти распределения имеют важное значение в физике - на собственных состояниях одного гамильтониана , например, энергетические уровни на качестве атомного ядра , удовлетворяет такие статистические данные. Последующая работа убедительно подтвердила связь между распределением нулей дзета-функции Римана и собственными значениями случайной эрмитовой матрицы, взятой из гауссовского унитарного ансамбля , и теперь считается, что оба они подчиняются одной и той же статистике. Таким образом, гипотеза Гильберта – Полиа теперь имеет более прочную основу, хотя еще не привела к доказательству гипотезы Римана. [3]
Более поздние разработки
В 1998 году Ален Конн сформулировал формулу следа, которая фактически эквивалентна гипотезе Римана . Это усилило аналогию с формулой следа Сельберга до такой степени, что она дает точные утверждения. Он дает геометрическую интерпретацию явной формулы теории чисел в формуле следов на некоммутативную геометрию из Adele классов. [4]
Возможная связь с квантовой механикой
Возможная связь оператора Гильберта – Полиа с квантовой механикой была дана Полиа. Оператор гипотезы Гильберта – Полиа имеет вид где является гамильтониан частицы массы движется под воздействием потенциального . Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что гамильтониан эрмитов , или, что то же самое, что это реально.
Используя теорию возмущений первого порядка, энергия n- го собственного состояния связана с математическим ожиданием потенциала:
где а также являются собственными значениями и собственными состояниями гамильтониана свободной частицы. Это уравнение можно рассматривать как интегральное уравнение Фредгольма первого рода с энергиями. Такие интегральные уравнения могут быть решены с помощью резольвентного ядра , так что потенциал можно записать как
где - резольвентное ядро, это реальная константа и
где - дельта-функция Дирака , а являются "нетривиальными" корнями дзета-функции .
Майкл Берри и Джонатан Китинг предположили, что гамильтониан H на самом деле является неким квантованием классического гамильтониана xp , где p - канонический импульс, связанный с x [5] . Простейший эрмитов оператор, соответствующий xp, имеет вид
Это уточнение гипотезы Гильберта – Полиа известно как гипотеза Берри (или гипотеза Берри – Китинга ). По состоянию на 2008 год, это все еще довольно далеко от конкретности, поскольку неясно, в каком пространстве этот оператор должен действовать, чтобы получить правильную динамику, или как его регуляризировать, чтобы получить ожидаемые логарифмические поправки. Берри и Китинг предположили, что, поскольку этот оператор инвариантен относительно растяжений, возможно, граничное условие f ( nx ) = f ( x ) для целого n может помочь получить правильные асимптотические результаты, действительные для больших n.
- [6]
Документ был опубликован в марте 2017 года, написанный Карлом М. Бендер , Дордж С. Броуди , и Маркус П. Мюллер , [7] , который основан на подходе Берри к проблеме. Там оператор
было введено, которое, как они утверждают, удовлетворяет некоторым модифицированным версиям условий гипотезы Гильберта – Полиа. Жан Беллисар раскритиковал эту статью [8], и авторы ответили пояснениями. [9] Более того, Фредерик Моксли подошел к проблеме с уравнением Шредингера . [10]
Рекомендации
- ^ a b Одлызко, Эндрю , Переписка об истоках гипотезы Гильберта – Поля.
- ^ а б Монтгомери, Хью Л. (1973), "Парная корреляция нулей дзета-функции", Аналитическая теория чисел , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXIV , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 181–193, MR 0337821.
- ^ Рудник, Зеев; Сарнак, Питер (1996), "Нули Принципиальных L-функции и теория случайных матриц" , Duke Journal математики , 81 (2): 269-322, DOI : 10,1215 / s0012-7094-96-08115-6.
- ^ Конн, Ален (1999). «Формула следов в некоммутативной геометрии и нули дзета-функции Римана». Selecta Mathematica . 5 . arXiv : математика / 9811068 . DOI : 10.1007 / s000290050042 ..
- ^ Берри, Майкл В .; Китинг, Джонатан П. (1999a), «H = xp и нули Римана», у Китинга, Джонатана П.; Хмельницкий, Давид Э .; Лернер, Игорь В. (ред.), Суперсимметрия и формулы следов: хаос и беспорядок (PDF) , Нью-Йорк: Пленум, стр. 355–367, ISBN 978-0-306-45933-7.
- ^ Берри, Майкл В .; Keating, Jonathan P. (1999b), "Римана нули и собственные значения асимптотики" (PDF) , SIAM Review , 41 (2): 236-266, Bibcode : 1999SIAMR..41..236B , DOI : 10,1137 / s0036144598347497.
- ^ Бендер, Карл М .; Brody, Dorje C .; Мюллер, Маркус П. (2017), «Гамильтониан нулей дзета-функции Римана», Physical Review Letters , 118 (13): 130201, arXiv : 1608.03679 , Bibcode : 2017PhRvL.118m0201B , doi : 10.1103 / PhysRevLett.118.130201 , PMID 28409977.
- ^ Белиссар, Жан (2017), «Комментарий к« Гамильтониану нулей дзета-функции Римана » », arXiv : 1704.02644 [ Quant -ph ]
- ^ Бендер, Карл М .; Броди, Дордже К .; Мюллер, Маркус П. (2017), "Комментарий к 'Комментарий к" Гамильтониан нулей дзета-функции Римана " ' ", arXiv : 1705.06767 [ Quant -ph ].
- ^ Моксли, Фредерик (2017). «Уравнение Шредингера для решения гипотезы Бендера-Броди-Мюллера». Материалы конференции AIP. 1905 : 030024. Bibcode : 2017AIPC.1905c0024M . DOI : 10.1063 / 1.5012170 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )
дальнейшее чтение
- Анева Б. (1999), «Симметрия оператора Римана» (PDF) , Physics Letters B , 450 (4): 388–396, arXiv : 0804.1618 , Bibcode : 1999PhLB..450..388A , doi : 10.1016 / s0370-2693 (99) 00172-0.
- Элизальде, Эмилио (1994), методы регуляризации Зетов с приложениями , World Scientific, ISBN 978-981-02-1441-8. Здесь автор объясняет, в каком смысле проблема Гильберта – Пойа связана с проблемой формулы следа Гуцвиллера и каким будет значение суммы взяты над мнимыми частями нулей.