В математике , А метрика или функция расстояния является функцией , которая дает расстояние между каждой парой точечных элементов набора . Множество с метрикой называется метрическим пространством . [1] Метрика индуцирует топологию на множестве, но не все топологии могут быть порождены метрикой. Топологическое пространство , топология может быть описана метрикой называется метризуемым .
Одним из важных источников метрик в дифференциальной геометрии являются метрическими тензорами , билинейные формами , которые могут быть определены из касательных векторов одного дифференцируемого многообразия на скаляр. Метрический тензор позволяет определять расстояния вдоль кривых посредством интегрирования и, таким образом, определяет метрику.
Определение
Метрика на множестве X - это функция (называемая функцией расстояния или просто расстоянием )
- ,
где это набор неотрицательных действительных чисел и для всех, выполняются следующие три аксиомы:
Метрика (как определено) - это неотрицательная функция с действительными значениями. Это вместе с аксиомой 1 обеспечивает условие разделения , при котором различные или отдельные точки - это как раз те, которые имеют положительное расстояние между ними.
Требование, чтобы иметь ряд является уточняющим (но ненужным) ограничением в определении, поскольку если бы у нас была какая-либо функция который удовлетворяет тем же трем аксиомам, можно доказать, что функция по-прежнему неотрицательна следующим образом (используя аксиомы 1, 3 и 2 в указанном порядке):
что подразумевает .
Метрика называется ультраметрикой, если она удовлетворяет следующей более сильной версии неравенства треугольника, когда точки никогда не могут попадать «между» другими точками:
для всех
Метрика d на Х называется внутренней , если любые две точки х и у в X могут быть соединены кривой с длиной сколь угодно близким к д ( х , у ) .
Метрика d на группе G (записанная мультипликативно) называется левоинвариантной (соответственно правоинвариантной ), если мы имеем
- [соотв. ]
для всех х , у и г в G .
Метрика на коммутативной аддитивной группе называется трансляционно-инвариантным, если для всех или, что то же самое, если для всех Каждое векторное пространство также является коммутативной аддитивной группой, а метрика на вещественном или комплексном векторном пространстве, индуцированная нормой , всегда инвариантна относительно сдвига. Метрика в реальном или сложном векторном пространстве индуцируется нормой тогда и только тогда, когда она трансляционно-инвариантна и абсолютно однородна , причем последнее означает, что для всех скаляров и все в этом случае функция определяет норму и каноническая метрика, индуцированная равно
Заметки
Эти условия выражают интуитивные представления о концепции расстояния . Например, расстояние между отдельными точками положительно, а расстояние от x до y совпадает с расстоянием от y до x . Неравенство треугольника означает, что расстояние от x до z через y не меньше, чем от x до z напрямую. Евклид в своей работе утверждал, что кратчайшее расстояние между двумя точками - это линия; это было неравенство треугольника для его геометрии.
Примеры
- Дискретной метрики : если х = у , то d ( х , у ) = 0. В противном случае, д ( х , у ) = 1.
- Евклидова метрика является перевод и вращение инвариантом.
- Таксомотора метрика является перевод инвариантом.
- Вообще говоря, любая метрика, индуцированная нормой, инвариантна относительно сдвига.
- Если представляет собой последовательность из полунормов определения ( локально выпуклые ) топологические векторного пространство Е , то
- метрика, определяющая ту же топологию . (Можно заменить любой суммируемой последовательностьюстрого положительных чисел .)
- Нормированное пространство является банаховым пространством, где абсолютное значение является нормой на действительной прямойкоторый индуцирует обычную евклидову топологию на Определите метрику на от для всех Как «S индуцированная метрика, метрикатакже индуцирует обычное евклидово топологию на ℝ . Тем не мение, не является полной метрикой, потому что последовательность определяется это -Cauchy последовательность , но не сходится ни к какой точке ℝ . Как следствие несовпадения, это-Последовательность Коши не может быть последовательностью Коши в (т.е. это не последовательность Коши относительно нормы ) потому что если бы это было -Коши, тогда то, чтоявляется банаховым пространством, значит, оно сходится (противоречие). [2]
- Метрика графа, метрика , определяемая в терминах расстояний в определенном графе.
- Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
- Риманова метрика - тип метрической функции, которую можно наложить на любое дифференцируемое многообразие . Для любого такого многообразия выбирается в каждой точке симметричная положительно определенная билинейная форма L: T p × T p → ℝ на касательном пространстве T p в точке p, делая это гладким образом. Эта форма определяет длину любого касательного вектора v на многообразии через определение. Тогда для любого дифференцируемого пути на многообразии его длина определяется как интеграл длины касательного вектора к пути в любой точке, где интегрирование выполняется по параметру пути. Наконец, чтобы получить метрику, заданную на любой паре {x, y} точек многообразия, берется точная нижняя грань по всем путям от x до y набора длин путей. Гладкое многообразие, снабженное римановой метрикой, называется римановым многообразием .
- Метрика Фубини-исследование на комплексном проективном пространстве . Это пример римановой метрики.
- Строковые метрики , такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования строки , определяют метрику над строками .
- Расстояние редактирования графика определяет функцию расстояния между графиками .
- Вассерстин метрика является функцией расстояния между двумя определяется вероятностных распределений .
- Финслерово метрика является непрерывная неотрицательная функция Р: ТМ → [0, + ∞) , определенный на касательном расслоении.
Эквивалентность показателей
Для данного множества X две метрики d 1 и d 2 называются топологически эквивалентными ( равномерно эквивалентными ), если тождественное отображение
- идентификатор: ( X , d 1 ) → ( X , d 2 )
является гомеоморфизмом ( равномерным изоморфизмом ).
Например, если метрика, то а также метрики эквивалентны
См. Также понятия эквивалентности метрических пространств .
Метрика, индуцированная нормой
Нормы на векторных пространствах эквивалентны определенным метрикам, а именно однородным, трансляционно-инвариантным. Другими словами, каждая норма определяет метрику, а некоторые метрики определяют норму.
Учитывая нормированное векторное пространство мы можем определить метрику на называется метрикой, индуцированнойили просто метрика , индуцированная нормой ,
Метрика называется индуцированной нормой
Наоборот [3], если метрикав векторном пространстве удовлетворяет свойствам
- Инвариантность перевода: ;
- Абсолютная однородность :;
тогда норма на может быть определено
где метрика, индуцированная этой нормой, является исходной данной метрикой
Точно так же полунорма индуцирует псевдометрику (см. Ниже), а однородная псевдометрика, инвариантная относительно сдвигов, индуцирует полунорму.
Метрики на мультимножествах
Мы можем обобщить понятие метрики от расстояния между двумя элементами до расстояния между двумя непустыми конечными мультимножествами элементов. Мультимножество представляет собой обобщение понятия множества таким образом, что элемент может происходить больше одного раз. Определять если мультимножество, состоящее из элементов мультимножеств а также , то есть если происходит один раз в и однажды в затем это происходит дважды в . Функция расстоянияна множестве непустых конечных мультимножеств является метрикой [4], если
- если все элементы равны и в противном случае ( положительная определенность ), то есть ( неотрицательность плюс тождество неразличимых )
- инвариантен относительно всех перестановок ( симметрия )
- ( неравенство треугольника )
Обратите внимание, что знакомая метрика между двумя элементами получается, если мультимножество имеет два элемента в 1 и 2, а мультимножества иметь по одному элементу в 3. Например, если состоит из двух вхождений , тогда согласно 1.
Простым примером является множество всех непустых конечных мультимножеств целых чисел с . Более сложные примеры - информационное расстояние в мультимножествах; [4] и нормализованное расстояние сжатия (NCD) в мультимножествах. [5]
Обобщенные метрики
Существует множество способов ослабить аксиомы метрики, что приведет к появлению различных понятий обобщенных метрических пространств. Эти обобщения также можно комбинировать. Терминология, используемая для их описания, не полностью стандартизирована. В частности, в функциональном анализе псевдометрика часто происходит от полунорм на векторных пространствах, поэтому их естественно называть «полуметриками». Это противоречит использованию этого термина в топологии .
Расширенные метрики
Некоторые авторы позволяют функции расстояния d достигать значения ∞, то есть расстояния - это неотрицательные числа на расширенной действительной числовой прямой . Такая функция называется расширенной метрикой или «∞-метрикой». Каждую расширенную метрику можно преобразовать в конечную метрику, так что метрические пространства эквивалентны в том, что касается понятий топологии (таких как непрерывность или сходимость ). Это можно сделать с помощью субаддитивной монотонно возрастающей ограниченной функции, которая равна нулю в нуле, например, d ′ ( x , y ) = d ( x , y ) / (1 + d ( x , y )) или d ′ ′ ( x , y ) = min (1, d ( x , y )).
Требование, чтобы метрика принимала значения в [0, ∞), можно даже ослабить, чтобы рассматривать метрики со значениями в других направленных наборах . Переформулировка аксиом в этом случае приводит к построению однородных пространств : топологических пространств с абстрактной структурой, позволяющих сравнивать локальные топологии разных точек.
Псевдометрика
Псевдометрика на X является функцией д : Х × Х → R , которая удовлетворяет аксиомам метрики, за исключением того, что вместо второго (тождество неразличимых) только d ( х , х ) = 0 для всех х требуется. Другими словами, аксиомы псевдометрии таковы:
- д ( х , у ) ≥ 0
- d ( x , x ) = 0 (но, возможно, d ( x , y ) = 0 для некоторых различных значений x ≠ y .)
- д ( х , у ) = д ( у , х )
- d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).
В некоторых контекстах псевдометрики называют полуметриками из-за их связи с полунормами .
Квазиметрики
Иногда квазиметрика определяется как функция, которая удовлетворяет всем аксиомам для метрики, за возможным исключением симметрии :. [6] [7] Название этого обобщения не полностью стандартизировано. [8]
- d ( x , y ) ≥ 0 ( положительность )
- d ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когда x = y ( положительная определенность )
д ( х , у ) = д ( у , х )( симметрия , отброшена)- d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( неравенство треугольника )
Квазиметрия - обычное дело в реальной жизни. Например, учитывая набор X горных деревень, типичное время ходьбы между элементами X формирует квазиметрическое значение, потому что путешествие вверх по холму занимает больше времени, чем путешествие вниз с холма. Другой примером является таксомотор геометрии топологии , имеющая одну стороны улицы, где путь от точки А до точки Б содержит различный набор улиц , чем путь от B к A .
Квазиметрику вещественных чисел можно определить, задав
- d ( x , y ) = x - y, если x ≥ y , и
- d ( x , y ) = 1 в противном случае. 1 можно заменить на бесконечность или на .
Топологическое пространство, лежащее в основе этого квазиметрического пространства, - это линия Зоргенфрея . Это место описывает процесс опиливания металлической палочки: ее легко уменьшить, но сложно или невозможно вырастить.
Если d - квазиметрика на X , метрика d ' на X может быть образована, взяв
- d ' ( x , y ) = 1 ⁄ 2 ( d ( x , y ) + d ( y , x )).
Метаметрики
В метаметрике выполняются все аксиомы метрики, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомы метаметрики:
- д ( х , у ) ≥ 0
- d ( x , y ) = 0 означает x = y (но не наоборот).
- д ( х , у ) = д ( у , х )
- d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).
Метаметрики возникают при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальное metametric на такое пространстве удовлетворяет условию d ( х , х ) = 0 для точек х на границе, но в противном случае d ( х , х ) составляет приблизительно расстояние от й до границы. Метаметрики впервые были определены Юсси Вяйсяля. [9]
Полиметрика
Полуметрика на X является функцией д : Х × Х → R , который удовлетворяет первые три аксиомы, но не обязательно неравенство треугольника:
- д ( х , у ) ≥ 0
- d ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когда x = y
- д ( х , у ) = д ( у , х )
Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, например:
- d ( x , z ) ≤ ρ ( d ( x , y ) + d ( y , z )) (ρ-релаксирующее неравенство треугольника)
- d ( x , z ) ≤ ρ max ( d ( x , y ), d ( y , z )) (ρ-инфраметрическое неравенство).
Из ρ-инфраметрического неравенства следует ρ-релаксированное неравенство треугольника (в предположении первой аксиомы), а из ρ-релаксированного неравенства треугольника следует 2ρ-инфраметрическое неравенство. Полиметрики, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, иногда называются «квазиметриками» [10], «околометриками» [11] или инфраметриками . [12]
Ρ-Инфраметрические неравенства были введены для моделирования времени задержки приема-передачи в Интернете . [12] Неравенство треугольника влечет 2-инфраметрическое неравенство, а ультраметрическое неравенство - это в точности 1-инфраметрическое неравенство.
Преметрики
Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрики , то есть функции, удовлетворяющей следующим условиям:
- д ( х , у ) ≥ 0
- d ( х , х ) = 0
- д ( х , у ) = д ( у , х )
Это нестандартный термин. Иногда он используется для обозначения других обобщений показателей, таких как псевдосемиметрика [13] или псевдометрика; [14] в переводах русских книг иногда встречается как «праметрический». [15] Это также называется расстоянием. [16]
Любая преметрика порождает следующую топологию. Для положительного реального г , то г -шар с центром в точке р определяется как
- B r ( p ) = { x | d ( x , p )
}.>
Множество называется открытым, если для любой точки p в множестве существует r- шар с центром в p, который содержится в множестве. Каждое преметрическое пространство является топологическим пространством и фактически секвенциальным пространством . Вообще говоря, сами r- шары не обязательно должны быть открытыми множествами по отношению к этой топологии. Что касается показателей, расстояние между двумя наборами A и B определяется как
- d ( A , B ) = inf x ∊ A , y ∊ B d ( x , y ).
Это определяет преметрику на множестве степеней преметрического пространства. Если мы начнем с (псевдополеметрического) пространства, мы получим псевдосемиметрику, то есть симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к следующему оператору предварительного закрытия cl :
- cl ( A ) = { x | d ( x , A ) = 0}.
Псевдоквазиметрия
Префиксы псевдо- , квази- и полу- также можно комбинировать, например, псевдоквазиметрический (иногда называемый гемиметрическим ) ослабляет аксиому неразличимости и аксиому симметрии и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r- шары составляют основу открытых множеств. Самый простой пример псевдоквазиметрического пространства - это множество {0,1} с преметрикой, заданной формулами d (0,1) = 1 и d (1,0) = 0. Соответствующее топологическое пространство - это пространство Серпинского .
Множества, снабженные расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщенные метрические пространства». [17] [18] С категориальной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства, вместе с соответствующими им нерасширяющими отображениями, являются лучшими из категорий метрических пространств. Можно брать произвольные продукты и сопродукты и формировать частные объекты в рамках данной категории. Если отказаться от «расширенного», можно будет брать только конечные продукты и сопродукции. Если отбросить «псевдо», нельзя брать частные. Пространства подхода - это обобщение метрических пространств, которое поддерживает эти хорошие категориальные свойства.
Лукашик-Кармовски расстояние
Расстояние Лукашика-Кармовского - это функция, определяющая расстояние между двумя случайными величинами или двумя случайными векторами . Аксиомы этой функции:
- д ( х , у )> 0
- д ( х , у ) = д ( у , х )
- d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ).
Эта функция расстояния удовлетворяет тождественному условию неразличимости тогда и только тогда, когда оба аргумента описываются идеализированными функциями распределения вероятности дельта- плотности Дирака .
Важные случаи обобщенных показателей
В дифференциальной геометрии рассматривается метрический тензор , который можно рассматривать как «бесконечно малую» квадратичную метрическую функцию. Это определяется как невырожденная симметрической билинейной форма на касательном пространстве в виде коллектора с соответствующей дифференцируемостью требованием. Хотя это не метрические функции, как определено в этой статье, они индуцируют то, что называется псевдополиметрической функцией, путем интегрирования ее квадратного корня по пути через многообразие. Если на метрический тензор накладывается требование положительной определенности скалярного произведения , это ограничивается случаем риманова многообразия , и интегрирование по путям дает метрику.
В общей теории относительности соответствующее понятие - это метрический тензор (общая теория относительности), который выражает структуру псевдориманова многообразия . Хотя используется термин «метрика», основная идея отличается, потому что в касательном пространстве этих многообразий есть ненулевые нулевые векторы , и векторы могут иметь отрицательные квадраты нормы. Этот обобщенный взгляд на «метрики», в котором нулевое расстояние не подразумевает идентичности, проник и в некоторые математические сочинения: [19] [20]
Смотрите также
- Акустическая метрика
- Полная метрика
- Мера сходства
- Знаковая функция расстояния
Заметки
- ^ Чех, Эдуард (1969). Наборы точек . Нью-Йорк: Academic Press. п. 42.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 47-51.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 47-66.
- ^ а б Витани, Пол МБ (2011). «Информационное расстояние в кратных величинах». IEEE Transactions по теории информации . 57 (4): 2451–2456. arXiv : 0905.3347 . DOI : 10.1109 / TIT.2011.2110130 . S2CID 6302496 .
- ^ Коэн, Эндрю Р .; Витани, Пол МБ (2012). «Нормализованное расстояние сжатия мультимножеств с приложениями» . IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу . 37 (8): 1602–1614. arXiv : 1212.5711 . DOI : 10.1109 / TPAMI.2014.2375175 . PMC 4566858 . PMID 26352998 .
- ^ Например, Steen & Seebach (1995).
- ^ Смит, М. (1987). M.Main; А.Мелтон; M.Mislove; Д. Шмидт (ред.). Квазиравномерности: согласование областей с метрическими пространствами . 3-я конференция «Математические основы семантики языков программирования». Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 298. pp. 236–253. DOI : 10.1007 / 3-540-19020-1_12 .
- ^ Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы , Springer , ISBN 90-277-2186-6, OCLC 13064804В этой книге они называются «полуметрики». Этот же термин также часто используется для двух других обобщений показателей.
- ^ Вайсалы, Юсси (2005), "Громова гиперболических пространств" (PDF) , Expositiones Mathematicae , 23 (3): 187-231, DOI : 10.1016 / j.exmath.2005.01.010 , МР 2164775
- ^ Ся, К. (2009), «Геодезическая проблема в квазиметрических пространствах», Журнал геометрического анализа , 19 (2): 452–479, arXiv : 0807.3377 , doi : 10.1007 / s12220-008-9065-4 , S2CID 17475581
- ^ Цинлан Ся (2008), «Геодезическая проблема в околометрических пространствах», Журнал геометрического анализа , 19 (2): 452–479, arXiv : 0807.3377 , Bibcode : 2008arXiv0807.3377X .
- ^ а б * Fraigniaud, P .; Lebhar, E .; Виеннот, Л. (2008). «Инфраметрическая модель Интернета». 2008 IEEE INFOCOM - 27-я конференция по компьютерным коммуникациям . IEEE INFOCOM 2008. 27-я конференция по компьютерным коммуникациям . С. 1085–1093. CiteSeerX 10.1.1.113.6748 . DOI : 10.1109 / INFOCOM.2008.163 . ISBN 978-1-4244-2026-1. S2CID 5733968 ..
- ^ Булдыгин, В.В.; Козаченко, IUV (2000), Метрическая характеристика случайных величин и случайных процессов , ISBN 9780821897911.
- ^ Хелемский (2006), Лекции и упражнения по функциональному анализу.
- ↑ Архангельский и Понтрягин (1990). Aldrovandi, R .; Перейра, Дж. Г. (1995), Введение в геометрическую физику.
- ^ Деза, ММ; Лоран, М. (1997), Геометрия разрезов и метрики.
- ^ Ловер, FW (2002) [1973], Метрические пространства, обобщенная логика и закрытые категории (PDF) , Перепечатки в теории и приложениях категорий, 1 , стр. 1–37.
- ^ Викерс, Стивен (2005), "Локальное пополнение обобщенных метрических пространств I" , Теория и приложения категорий , 14 : 328–356
- ^ С. Парротт (1987) Релятивистская электродинамика и дифференциальная геометрия , страница 4, Springer-Verlag ISBN 0-387-96435-5 : «Эта билинейная форма по-разному называется метрикой Лоренца , или метрикой Минковского, или метрическим тензором ».
- ^ Томас Э. Сесил (1992) геометрия сферы Ли , страница 9, Springer-Verlag ISBN 0-387-97747-3 : «Мы называем это скалярное произведение метрикой Лоренца »
Рекомендации
- Архангельский, А В; Понтрягин, LS (1990), Общая топология I: Основные понятия и конструкции Теория размерностей , Энциклопедия математических наук, Springer , ISBN 3-540-18178-4
- Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии , Дувр , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446 , OCLC 32311847
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Внешние ссылки
- «Квазиметрическое пространство» . PlanetMath .
- «Полиметрический» . PlanetMath .