Математика (от греческого: μάθημα , máthēma , «знание, изучение, обучение») — область знаний, включающая изучение таких тем, как числа ( арифметика и теория чисел ), [1] формулы и связанные с ними структуры ( алгебра ), [2] формы и пространства, в которых они содержатся ( геометрия ), [1] и величины и их изменения ( исчисление и анализ ). [3] [4] [5] Нет единого мнения о его точном объеме или эпистемологическом статусе . [6] [7]
Большая часть математической деятельности состоит в открытии и доказательстве (путем чистого рассуждения) свойств абстрактных объектов . Эти объекты являются либо абстракциями от природы (например, натуральными числами или линиями ), либо (в современной математике) абстрактными сущностями, для которых предусмотрены определенные свойства, называемые аксиомами . Доказательство состоит из последовательности применений некоторых дедуктивных правил к уже известным результатам, включая ранее доказанные теоремы , аксиомы и (в случае отвлечения от природы) некоторые основные свойства, рассматриваемые как истинные исходные положения рассматриваемой теории. Результат доказательства называетсятеорема .
Математика широко используется в науке для моделирования явлений. Это позволяет извлекать количественные предсказания из экспериментальных законов. Например, движение планет можно предсказать с высокой точностью, используя закон всемирного тяготения Ньютона в сочетании с математическими вычислениями. Независимость математической истины от каких-либо экспериментов подразумевает, что точность таких предсказаний зависит только от адекватности модели для описания реальности. Поэтому, когда появляются какие-то неточные прогнозы, это означает, что модель должна быть улучшена или изменена, а не то, что математика неверна. Например, прецессия перигелия Меркурия не может быть объяснена законом тяготения Ньютона, но точно объясняетсяОбщая теория относительности Эйнштейна . Это экспериментальное подтверждение теории Эйнштейна показывает, что закон тяготения Ньютона является лишь приближением (которое все еще очень точно в повседневной жизни).
Математика необходима во многих областях, включая естественные науки , инженерию , медицину , финансы , информатику и социальные науки . Некоторые области математики, такие как статистика и теория игр , развиваются в прямой зависимости от их приложений и часто группируются под названием прикладной математики . Другие области математики разрабатываются независимо от любого приложения (и поэтому называются чистой математикой ), но практические приложения часто обнаруживаются позже. [8] [9] Подходящим примером является проблемацелочисленная факторизация , восходящая к Евклиду , но не имевшая практического применения до использования в криптосистеме RSA (для безопасности компьютерных сетей ).
Математика была человеческой деятельностью с тех пор, как существуют письменные источники . Однако понятие «доказательство» и связанная с ним « математическая строгость » впервые появились в греческой математике , особенно в « Началах » Евклида . [10] Математика развивалась относительно медленными темпами до эпохи Возрождения , когда к арифметике и геометрии в качестве основных областей математики были добавлены алгебра и исчисление бесконечно малых . С тех пор взаимодействие между математическими инновациями и научными открытиями привело к быстрому увеличению скорости математических открытий. В конце 19 в.фундаментальный кризис математики привел к систематизации аксиоматического метода . Это, в свою очередь, привело к резкому увеличению числа областей математики и областей их приложений; свидетелем этого является Предметная классификация математики , в которой перечислены более шестидесяти областей математики первого уровня.
До эпохи Возрождения математика была разделена на две основные области: арифметику , посвященную манипулированию числами , и геометрию , посвященную изучению форм. Существовали также некоторые лженауки , такие как нумерология и астрология , которые не были четко отделены от математики.