В математике , то определитель представляет собой скалярное значение , что является функцией из записей в квадратной матрице . Это позволяет охарактеризовать некоторые свойства матрицы и линейной карты, представленной матрицей. В частности, определитель отличен от нуля тогда и только тогда, когда матрица обратима , а линейное отображение, представленное матрицей, является изоморфизмом . Определитель произведения матриц - это произведение их определителей (предыдущее свойство является следствием этого). Определитель матрицы A обозначается det ( A ) , detA , или | А | .
В случае матрицы 2 × 2 определитель можно определить как
Аналогично, для матрицы A 3 × 3 ее определитель равен
Каждый определитель 2 × 2 матрицы в этом уравнении называется минор матрицы A . Эту процедуру можно расширить, чтобы дать рекурсивное определение определителя матрицы размера n × n , известное как разложение Лапласа .
Детерминанты встречаются повсюду в математике. Например, матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений , а определители могут использоваться для решения этих уравнений ( правило Крамера ), хотя другие методы решения гораздо более эффективны в вычислительном отношении. Определители используются для определения характеристического полинома матрицы, корни которого являются собственными значениями . В геометрии , подписанный п - мерный объем из п - мерного параллелепипеда выражается определителем. Это используется в исчислении с внешними дифференциальными формами и определителем Якоби , в частности, для замен переменных в кратных интегралах .
2 × 2 матрицы
Определитель матрицы 2 × 2 определяется как
Определитель обозначается либо det, либо вертикальными полосами вокруг матрицы. Например,
Первые свойства
Определитель имеет несколько ключевых свойств, которые могут быть доказаны прямым вычислением определения для -матрицы, и это продолжает выполняться для определителей более крупных матриц. Они следующие: [1] сначала определитель единичной матрицы равно 1. Во-вторых, определитель равен нулю, если два столбца совпадают:
Это справедливо аналогично, если две строки совпадают. Более того,
Наконец, если какой-либо столбец умножить на какое-то число (т.е. все записи в этом столбце умножаются на это число), определитель также умножается на это число:
Геометрический смысл
Если матричные элементы являются действительными числами, то матрица может быть использовано для представления два линейных карт : один , который отображает стандартные базисные векторы в строки А , и один , который отображает их в столбцы A . В любом случае изображения базисных векторов образуют параллелограмм, который представляет изображение единичного квадрата под отображением. Параллелограмм определяется строками выше матрицы является одним с вершинами в точках (0, 0) , ( , б ) , ( + с , Ь + д ) , и ( с , d ) , как показано на прилагаемых диаграмма.
Абсолютное значение объявления - Ьс есть площадь параллелограмма, и , таким образом , представляет собой масштабный коэффициент , с помощью которого участки трансформированного A . (Параллелограмм, образованный столбцами A , в общем случае представляет собой другой параллелограмм, но поскольку определитель симметричен относительно строк и столбцов, площадь будет такой же.)
Абсолютное значение определителя вместе со знаком становится ориентированной областью параллелограмма. Ориентированная область такая же, как и обычная область , за исключением того, что она отрицательна, когда угол от первого ко второму вектору, определяющему параллелограмм, поворачивается по часовой стрелке (что противоположно направлению, которое можно получить для единичной матрицы ).
Чтобы показать, что ad - bc является областью со знаком, можно рассмотреть матрицу, содержащую два вектора u ≡ ( a , b ) и v ≡ ( c , d ), представляющие стороны параллелограмма. Подписанная область может быть выражена как | u | | v | sin θ для угла θ между векторами, который является просто основанием, умноженным на высоту, длину одного вектора, умноженную на перпендикулярный компонент другого. Из-за синуса это уже знаковая область, но ее можно выразить более удобно, используя косинус дополнительного угла к перпендикулярному вектору, например u ⊥ = (- b , a ) , так что | u ⊥ | | v | cos θ ′ , который может быть определен по образцу скалярного произведения равным ad - bc :
Таким образом , определитель дает коэффициент масштабирования и ориентацию , индуцированное отображение , представленному А . Когда определитель равен единице, линейное отображение, определяемое матрицей, является равноплощадным и сохраняет ориентацию.
С этими идеями связан объект, известный как бивектор . В 2D, это может быть интерпретировано как ориентированный сегмент плоскости , образованным представляя два вектора , каждые с началом (0, 0) , и координатами ( , б ) и ( гр , д ) . Величина бивектора (обозначается ( a , b ) ∧ ( c , d ) ) - это площадь со знаком , которая также является определителем ad - bc . [2]
Если вещественная матрица A размера n × n записана в терминах ее векторов-столбцов, тогда
Это значит, что отображает единичный n -куб в n -мерный параллелоэдр, определяемый векторами регион
Определитель дает подписанную п - мерный объем этого параллелепипеда,и , следовательно , в более общем случае описывает в п - мерный объемный коэффициент масштабирования от линейного преобразования создаваемого A . [3] (Знак показывает, сохраняет ли преобразование ориентацию или меняет ее на противоположное .) В частности, если определитель равен нулю, то этот параллелогран имеет нулевой объем и не является полностью n -мерным, что указывает на то, что размерность изображения A равна меньше чем n . Это означает , что производит линейное преобразование , которое не является ни на , ни один-к-одному , и поэтому не обратимы.
Определение
В дальнейшем A представляет собой квадратную матрицу с n строками и n столбцами, так что ее можно записать как
Записи и т.д. для многих целей являются действительными или комплексными числами. Как обсуждается ниже, определитель также определен для матриц, элементы которых являются элементами в более абстрактных алгебраических структурах, известных как коммутативные кольца .
Определитель A обозначается как det ( A ), или его можно обозначить непосредственно в терминах элементов матрицы, написав закрывающие черты вместо скобок:
Существуют различные эквивалентные способы определения определителя квадратной матрицы A , то есть с одинаковым количеством строк и столбцов: определитель может быть определен с помощью формулы Лейбница , явной формулы, включающей суммы произведений определенных элементов матрицы. Определитель также можно охарактеризовать как уникальную функцию, зависящую от элементов матрицы, удовлетворяющих определенным свойствам. Этот подход также можно использовать для вычисления определителей путем упрощения рассматриваемых матриц.
Формула Лейбница
Формула Лейбница для определителя матрицы 3 × 3 следующая:
Правило саррюса мнемонический для этой формулы: сумма произведений три диагональных северо-запада на юго-востоке линии матричных элементов, минус сумма произведений три диагональных юго-запада на северо-востоке линии элементов , когда рядом с ней написаны копии первых двух столбцов матрицы, как на рисунке:
Эта схема вычисления определителя матрицы 3 × 3 не переносится на более высокие измерения.
n × n матриц
Формула Лейбница для определителя -матрица - более сложное, но родственное выражение. Это выражение, включающее понятие перестановок и их сигнатуру . Перестановка множестваэто функция который переупорядочивает этот набор целых чисел. Значение в-я позиция после переупорядочивания обозначается . Множество всех таких перестановок, так называемая симметрическая группа , обозначается. Подпись определяется как всякий раз, когда переупорядочение, заданное параметром σ, может быть достигнуто путем последовательной замены двух записей четным числом раз, и всякий раз, когда это может быть достигнуто нечетным числом таких обменов. Учитывая матрицу и перестановка , продукт
также написано более кратко с использованием обозначения Пи как
- .
Используя эти понятия, определение определителя по формуле Лейбница тогда имеет вид
сумма, включающая все перестановки, где каждое слагаемое является произведением элементов матрицы, умноженных на знак в зависимости от перестановки.
Следующая таблица раскрывает эти термины в случае . В первом столбце перестановка указана в соответствии с ее значениями. Например, во второй строке перестановка удовлетворяет . Его можно получить из стандартного заказа (1, 2, 3) путем однократного обмена (обмена второй и третьей записи), так что его подпись.
Перестановка | ||
---|---|---|
1, 2, 3 | ||
1, 3, 2 | ||
3, 1, 2 | ||
3, 2, 1 | ||
2, 3, 1 | ||
2, 1, 3 |
Сумма шести членов в третьем столбце будет выглядеть так:
Это возвращает формулу для -матрицы выше. Для генерала-матрица, формула Лейбница включает ( n факториалов ) слагаемых, каждое из которых является произведением n элементов матрицы.
Формула Лейбница также может быть выражена с помощью суммирования, в котором не только перестановки, но и все последовательности индексы в диапазоне происходить. Для этого используется символ Леви-Чивита. вместо знака перестановки
Это возвращает формулу выше, поскольку символ Леви-Чивиты равен нулю, если индексы не образуют перестановки. [4] [5]
Свойства определителя
Характеристика определителя
Детерминант можно охарактеризовать следующими тремя ключевыми свойствами. Чтобы сформулировать это, удобно рассматривать-матрица A как состоящая из ее столбцы, поэтому обозначенные как
где вектор-столбец (для каждого i ) состоит из элементов матрицы в i -м столбце.
- , где является единичной матрицей .
- Определитель полилинейный : если j- й столбец матрицызаписывается как линейная комбинация двух векторов-столбцов v и w и числа r , то определитель A выражается аналогичной линейной комбинацией:
- Определитель является чередующимся : если два столбца матрицы идентичны, его определитель равен 0:
Если определитель определяется с использованием формулы Лейбница, как указано выше, эти три свойства могут быть доказаны прямым исследованием этой формулы. Некоторые авторы также подходят к определителю напрямую, используя эти три свойства: можно показать, что существует ровно одна функция, которая присваивает любую-матрица A - число, удовлетворяющее этим трем свойствам. [6] Это также показывает, что этот более абстрактный подход к определителю дает то же определение, что и тот, который использует формулу Лейбница.
Чтобы увидеть это, достаточно расширить определитель по полилинейности по столбцам до (огромной) линейной комбинации определителей матриц, в которой каждый столбец является стандартным базисным вектором. Эти детерминанты равны либо 0 (по свойству 9), либо ± 1 (по свойствам 1 и 12 ниже), поэтому линейная комбинация дает выражение выше в терминах символа Леви-Чивиты. Хотя эта характеристика менее техническая на вид, она не может полностью заменить формулу Лейбница при определении определителя, поскольку без нее существование соответствующей функции неясно. [ необходима цитата ]
Немедленные последствия
Эти правила имеют еще несколько последствий:
- Определитель является однородной функцией , т. Е.
- (для матрица ).
- При замене любой пары столбцов матрицы ее определитель умножается на -1. Это следует из того, что определитель является полилинейным и переменным (свойства 2 и 3 выше):
- Эта формула может применяться итеративно, когда несколько столбцов меняются местами. Например
- В более общем смысле, любая перестановка столбцов умножает определитель на знак перестановки.
- Если какой-то столбец может быть выражен как линейная комбинация других столбцов (т. Е. Столбцы матрицы образуют линейно зависимый набор), определитель равен 0. В качестве особого случая это включает: если какой-либо столбец таков, что все его записи равны нулю, то определитель этой матрицы равен 0.
- Добавление скалярного кратного одного столбца к другому столбцу не меняет значения определителя. Это является следствием полилинейности и является альтернативой: из-за полилинейности определитель изменяется на кратное определителю матрицы с двумя равными столбцами, определитель которого равен 0, поскольку определитель является чередующимся.
- Если является треугольной матрицей , т.е., в любое время или, альтернативно, когда , то его определитель равен произведению диагональных элементов:
- В самом деле, такую матрицу можно уменьшить, соответствующим образом добавив несколько столбцов с меньшим количеством ненулевых элементов к столбцам с большим количеством элементов в диагональную матрицу (без изменения определителя). Для такой матрицы использование линейности в каждом столбце сводится к единичной матрице, и в этом случае указанная формула выполняется с помощью самого первого характеристического свойства определителей. В качестве альтернативы эту формулу также можно вывести из формулы Лейбница, поскольку единственная перестановка что дает ненулевой вклад, является тождественной перестановкой.
Пример
Эти описывающие свойства и их последствия, перечисленные выше, являются теоретически значимыми, но также могут использоваться для вычисления детерминантов для конкретных матриц. Фактически, метод исключения Гаусса может применяться для приведения любой матрицы к верхнетреугольной форме, и шаги в этом алгоритме влияют на определитель контролируемым образом. Следующий конкретный пример иллюстрирует вычисление определителя матрицы используя этот метод:
Матрица |
|
|
| |
Получено | добавить второй столбец к первому | прибавить 3 раза третий столбик ко второму | поменять местами первые два столбца | Добавлять умножить второй столбец на первый |
Детерминант |
|
|
|
Объединение этих равенств дает
Транспонировать
Определитель транспонированной изравен определителю A :
- .
Это можно доказать, изучив формулу Лейбница. [7] Это означает, что во всех упомянутых выше свойствах слово «столбец» может быть заменено словом «строка». Например, если рассматривать матрицу размера n × n как состоящую из n строк, определитель является n- линейной функцией.
Мультипликативность и матричные группы
Таким образом, определитель является мультипликативным отображением , т. Е. Для квадратных матриц а также равного размера определитель матричного произведения равен произведению их определителей:
Этот ключевой факт можно доказать, заметив, что для фиксированной матрицы , обе части уравнения являются чередующимися и полилинейными как функция в зависимости от столбцов . Более того, они оба принимают значение когда - единичная матрица. Таким образом, упомянутая выше уникальная характеристика чередующихся полилинейных отображений подтверждает это утверждение. [8]
Матрица является обратимым точно , если ее определитель не равен нулю. Это следует из мультипликативностии формула для обратного, включающая вспомогательную матрицу, упомянутую ниже. В этом случае определитель обратной матрицы определяется выражением
- .
В частности, это свойство сохраняется у произведений и обратных матриц с ненулевым определителем (соответственно, определителем). Таким образом, набор таких матриц (фиксированного размера) образует группу, известную как общая линейная группа (соответственно подгруппа, называемая специальной линейной группой . В более общем смысле, слово «специальные» обозначает подгруппу другой группы матриц детерминантной группы. Примеры включают специальную ортогональную группу (которая, если n равно 2 или 3, состоит из всех матриц вращения ), и специальную унитарную группу .
Формула Коши – Бине является обобщением этой формулы произведения для прямоугольных матриц. Эта формула также может быть преобразована в мультипликативную формулу для составных матриц , элементы которых являются определителями всех квадратичных подматриц данной матрицы. [9] [10]
Разложение Лапласа
Разложение Лапласа выражает определитель матрицыв терминах определителей матриц меньшего размера, известных как ее миноры . Несовершеннолетний определяется как определитель -матрица, которая получается из удалив -й ряд и -й столбец. Выражениеизвестен как кофактор . Для каждого, выполняется равенство
которое называется разложением Лапласа по i- й строке . Например, разложение Лапласа по первой строке () дает следующую формулу:
Разворачивая детерминанты этих -матрицы возвращает формулу Лейбница, упомянутую выше. Аналогично разложение Лапласа по-й столбец равенство
Разложение Лапласа можно итеративно использовать для вычисления определителей, но этот подход неэффективен для больших матриц. Однако это полезно для вычисления определителей высокосимметричной матрицы, такой как матрица Вандермонда.
Этот определитель применялся, например, при доказательстве теоремы Бейкера в теории трансцендентных чисел .
Адъюгированная матрица
Матрица adjugate является транспонированной матрицей сомножителей, то есть
Для каждой матрицы имеется [11]
Таким образом, сопряженная матрица может быть использована для выражения инверсии невырожденной матрицы :
Блочные матрицы
Формула для определителя -матрица, приведенная выше, продолжает выполняться при соответствующих дополнительных предположениях для блочной матрицы , т. е. матрицы, состоящей из четырех подматриц измерения , , а также , соответственно. Самая простая такая формула, которую можно доказать с помощью формулы Лейбница или факторизации с использованием дополнения Шура , - это
Если является обратимым (и аналогично , еслиобратима [12] ), имеем
Если это -матрица, это упрощает .
Если блоки представляют собой квадратные матрицы одинакового размера, дальнейшие формулы остаются в силе. Например, если а также коммутируют (т. е.), то выполняется [13]
Эта формула была обобщена на матрицы, состоящие более чем из блоков, опять же при соответствующих условиях коммутативности между отдельными блоками. [14]
Для а также , имеет место следующая формула (даже если а также и B не ездят на работу) [ необходима ссылка ]
Теорема сильвестра о детерминанте
Теорема Сильвестра о детерминанте утверждает, что для A - матрицы m × n и B - матрицы n × m (так что A и B имеют размеры, позволяющие их умножать в любом порядке, образуя квадратную матрицу):
где I m и I n - единичные матрицы размера m × m и n × n соответственно.
Из этого общего результата следует несколько следствий.
- Для случая вектора-столбца c и вектора-строки r , каждый из которых имеет m компонентов, формула позволяет быстро вычислить определитель матрицы, которая отличается от единичной матрицы матрицей ранга 1:
- В более общем смысле, [15] для любой обратимой матрицы X размера m × m ,
- Для вектора столбца и строки, как указано выше:
- Для квадратных матриц а также одинакового размера, матрицы а также имеют одинаковые характеристические многочлены (следовательно, одинаковые собственные значения).
Сумма
Определитель суммы из двух квадратных матриц одного и того же размера в общем случае не выражается через определителей А и в B . Однако для положительно полуопределенных матриц , а также равного размера, , для со следствием [16] [17]
Свойства определителя по отношению к другим понятиям
Собственные значения и характеристический многочлен
Определитель тесно связан с двумя другими центральными понятиями линейной алгебры, собственными значениями и характеристическим многочленом матрицы. Позволять быть -матрица со сложными элементами с собственными значениями . (Здесь подразумевается, что собственное значение с алгебраической кратностью μ встречается в этом списке μ раз.) Тогда определитель A является произведением всех собственных значений,
Произведение всех ненулевых собственных значений называется псевдодетерминантом .
Характеристический полином определяется как [18]
Здесь, является неопределенным [ требуется устранение неоднозначности ] многочлена и - единичная матрица того же размера, что и . С помощью этого полинома определители можно использовать для нахождения собственных значений матрицы: они в точности корни этого многочлена, то есть те комплексные числа такой, что
Эрмитова матрица является положительно определенной , если все ее собственные значения положительны. Критерий Сильвестра утверждает, что это эквивалентно определителям подматриц
быть позитивным, для всех между а также . [19]
След
Следа Tr ( ), по определению , сумма диагональных элементов матрицы А , а также равна сумме собственных значений. Таким образом, для комплексных матриц A ,
или, для вещественных матриц A ,
Здесь ехр ( ) обозначает матрицу экспоненциальное из А , так как каждое собственное значение λ из A соответствует собственному значению ехр ( λ ) ехр ( ). В частности, с учетом любого логарифм от А , то есть, любая матрица Л , удовлетворяющая
определитель A определяется выражением
Например, для n = 2 , n = 3 и n = 4 , соответственно,
ср. Теорема Кэли-Гамильтона . Такие выражения выводятся из комбинаторных аргументов, тождеств Ньютона или алгоритма Фаддеева – Леверье . То есть для общего n , det A = (−1) n c 0, постоянный член со знаком характеристического многочлена , определяемый рекурсивно из
В общем случае это также можно получить из [20]
где сумма берется по множеству всех целых чисел k l ≥ 0, удовлетворяющих уравнению
Формулу можно выразить через полный экспоненциальный многочлен Белла от n аргументов s l = - ( l - 1)! tr ( A l ) как
Эта формула также может быть использована для нахождения определителя матрицы A I J с многомерными индексами I = (i 1 , i 2 , ..., i r ) и J = (j 1 , j 2 , ..., j г ) . Произведение и след таких матриц естественным образом определяются как
Важное тождество произвольной размерности n может быть получено из разложения логарифма в ряд Меркатора, когда разложение сходится. Если каждое собственное значение A меньше 1 по модулю,
где I - единичная матрица. В более общем смысле, если
раскладывается как формальный степенной ряд по s, тогда все коэффициенты s m для m > n равны нулю, а оставшийся многочлен равен det ( I + sA ) .
Верхняя и нижняя границы
Для положительно определенной матрицы A оператор следа дает следующие точные нижние и верхние границы на лог-детерминант
равенство тогда и только тогда , когда = I . Это соотношение может быть получено с помощью формулы KL-дивергенции между двумя многомерными нормальными распределениями.
Также,
Эти неравенства можно доказать, приведя матрицу A к диагональному виду. Таким образом, они представляют хорошо известный факт, что среднее гармоническое меньше среднего геометрического , которое меньше среднего арифметического , которое, в свою очередь, меньше среднего квадрата .
Производная
По формуле Лейбница показывает, что определитель действительных (или аналогично для комплексных) квадратных матриц является полиномиальной функцией от к . В частности, он всюду дифференцируем . Его производную можно выразить с помощью формулы Якоби : [21]
где обозначает adjugate из. В частности, если обратима, имеем
Выражается в виде записей , эти
Еще одна эквивалентная формулировка:
- ,
используя большое обозначение O . Частный случай, когда, единичная матрица, дает
Это тождество используется при описании алгебр Ли, связанных с некоторыми матричными группами Ли . Например, специальная линейная группа определяется уравнением . Приведенная выше формула показывает, что ее алгебра Ли является специальной линейной алгеброй Ли состоящий из матриц с нулевым следом.
Написание -матрица как где являются векторами-столбцами длиной 3, тогда градиент по одному из трех векторов может быть записан как перекрестное произведение двух других:
История
Исторически детерминанты использовались задолго до матриц: детерминант изначально определялся как свойство системы линейных уравнений . Определитель «определяет», есть ли у системы единственное решение (что происходит именно в том случае, если определитель не равен нулю). В этом смысле детерминанты были впервые использованы в китайском учебнике математики «Девять глав математического искусства» (九章 算術, китайские ученые, примерно в III веке до нашей эры). В Европе решения линейных систем двух уравнений были выражены Кардано в 1545 году с помощью сущности, подобной определителю. [22]
Собственно детерминанты возникли из работы Секи Такакадзу в 1683 году в Японии и параллельно с Лейбницем в 1693 году. [23] [24] [25] [26] Крамер (1750) без доказательства сформулировал правило Крамера. [27] И Крамер, и Безу (1779) пришли к определителям с помощью вопроса о плоских кривых, проходящих через данный набор точек. [28]
Вандермонд (1771) первым признал детерминанты независимыми функциями. [24] Лаплас (1772 г.) дал общий метод расширения определителя в терминах его дополнительных миноров : Вандермонд уже привел частный случай. [29] Сразу после этого Лагранж (1773) рассмотрел детерминанты второго и третьего порядка и применил его к вопросам теории исключения ; он доказал много частных случаев общих тождеств.
Гаусс (1801) сделал следующий шаг вперед. Как и Лагранж, он много использовал детерминанты в теории чисел . Он ввел слово «определитель» (Лаплас , используемый «полученный»), хотя и не в настоящее значения, а применительно к дискриминанту о наличии Quantic . [30] Гаусс также пришел к понятию взаимных (обратных) определителей и очень близко подошел к теореме умножения.
Следующим важным участником является Бине (1811, 1812), который формально сформулировал теорему, относящуюся к произведению двух матриц из m столбцов и n строк, которая для частного случая m = n сводится к теореме умножения. В тот же день (30 ноября 1812 г.), когда Бине представил свой доклад Академии, Коши также представил доклад на эту тему. (См. Формулу Коши – Бине .) Здесь он использовал слово «определитель» в его настоящем смысле, [31] [32] резюмировал и упростил то, что было тогда известно по этому вопросу, улучшил обозначения и дал теорему умножения с доказательство более удовлетворительное, чем у Бине. [24] [33] С него начинается теория в целом.
( Jacobi 1841 ) использовал функциональный определитель, который Сильвестр позже назвал якобианом . [34] В своих мемуарах в «Журнале Крелля» за 1841 год он специально рассматривает этот предмет, а также класс переменных функций, которые Сильвестр назвал альтернантами . Примерно во время последних мемуаров Якоби Сильвестр (1839) и Кэли начали свою работу. Кэли 1841 ввел современное обозначение определителя с помощью вертикальных черт. [35] [36]
Изучение частных форм детерминантов было естественным результатом завершения общей теории. Осесимметричные детерминанты изучались Лебегом , Гессе и Сильвестром; персимметричные детерминанты Сильвестра и Ханкеля ; циркулянты по каталонски , Spottiswoode , Glaisher и Скотта; косые детерминанты и пфаффианы в связи с теорией ортогональных преобразований Кэли; континуанты Сильвестра; Вронскианцы (так названы Мюиром ) Кристоффеля и Фробениуса ; составные детерминанты Сильвестра, Рейсса и Пике; Якобианы и гессианы Сильвестра; и симметричные гош-определители Труди . Первым из учебников по этому предмету был Споттисвуд. В Америке Ханус (1886 г.), Велд (1893 г.) и Мюир / Мецлер (1933 г.) опубликовали трактаты.
Приложения
Правило Крамера
Детерминанты можно использовать для описания решений линейной системы уравнений , записанных в матричной форме как. Это уравнение имеет единственное решение если и только если отличен от нуля. В этом случае решение дается правилом Крамера :
где матрица, образованная заменой -й столбец вектор-столбец . Это сразу следует за расширением столбца определителя, т. Е.
где векторы являются столбцы A . Правило также подразумевается тождеством
Правило Крамера может быть реализовано в время, которое сопоставимо с более распространенными методами решения систем линейных уравнений, такими как LU , QR или разложение по сингулярным числам . [37]
Линейная независимость
Детерминанты можно использовать для характеристики линейно зависимых векторов: равен нулю тогда и только тогда, когда векторы-столбцы (или, что то же самое, векторы-строки) матрицы линейно зависимы. [38] Например, для двух линейно независимых векторов, третий вектор лежит в плоскости, натянутой на первые два вектора, в точности, если определитель-матрица, состоящая из трех векторов, равна нулю. Та же идея используется и в теории дифференциальных уравнений : заданные функции (должно быть дифференцируемые раз ), вронскиан определяется как
Он не равен нулю (для некоторых ) в заданном интервале тогда и только тогда, когда заданные функции и все их производные до порядка линейно независимы. Если можно показать, что вронскиан равен нулю всюду на интервале, то в случае аналитических функций это означает, что данные функции линейно зависимы. См. Вронскиан и линейную независимость . Еще одно такое использование определителя - это результат , который дает критерий, когда два многочлена имеют общий корень . [39]
Ориентация основы
Определитель можно рассматривать как присвоение числа каждой последовательности из n векторов в R n , используя квадратную матрицу, столбцы которой являются заданными векторами. Например, ортогональная матрица с элементами в R n представляет собой ортонормированный базис в евклидовом пространстве . Определитель такой матрицы определяет, соответствует ли ориентация базиса ориентации стандартного базиса или противоположна ей . Если определитель равен +1, базис имеет ту же ориентацию. Если он равен −1, то базис имеет противоположную ориентацию.
В более общем смысле, если определитель A положителен, A представляет сохраняющее ориентацию линейное преобразование (если A - ортогональная матрица 2 × 2 или 3 × 3 , это поворот ), а если он отрицательный, A переключает ориентацию основания.
Объем и определитель якобиана
Как указывалось выше, абсолютное значение определителя действительных векторов равно объему параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Как следствие, если линейное отображение, полученное умножением на матрицу , а также - любое измеримое подмножество , то объем дан кем-то раз объем . [40] В более общем смысле, если линейная карта представлен -матрица , то - габаритный объем дан кем-то:
Вычислив объем тетраэдра, ограниченного четырьмя точками, их можно использовать для определения косых линий . Объем любого тетраэдра с учетом его вершин [ значения ] , , или любая другая комбинация пар вершин, образующих остовное дерево над вершинами.
Для общей дифференцируемой функции многое из сказанного выше сохраняется при рассмотрении матрицы Якоби функции f . Для
Матрица Якоби - это матрица размера n × n , элементы которой задаются частными производными
Его определитель, определитель Якоби , появляется в многомерной версии интегрирования путем подстановки : для подходящих функций f и открытого подмножества U в R n (область определения f ) интеграл по f ( U ) от некоторой другой функции φ : R n → R m задается формулой
Якобиан также встречается в теореме об обратной функции .
Абстрактные алгебраические аспекты
Определитель эндоморфизма
Приведенные выше тождества относительно определителя произведений и обратных матриц подразумевают, что аналогичные матрицы имеют один и тот же определитель: две матрицы A и B подобны, если существует обратимая матрица X такая, что A = X −1 BX . Действительно, многократное применение указанных выше тождеств дает
Поэтому определитель также называют инвариантом подобия . Определитель линейного преобразования
для некоторого конечномерны векторного пространства V определяются как определитель матрицы , описывающего его по отношению к произвольному выбору основы в V . К инвариантности подобия, этот определитель не зависит от выбора базиса для V и , следовательно , зависит только от эндоморфизма Т .
Квадратные матрицы над коммутативными кольцами
Приведенное выше определение определителя с использованием правила Лейбница работает в более общем плане, когда элементы матрицы являются элементами коммутативного кольца. , например, целые числа , в отличие от поля действительных или комплексных чисел. Более того, характеристика определителя как уникального переменного полилинейного отображения, удовлетворяющеговсе еще остается в силе, как и все свойства, проистекающие из этой характеристики. [41]
Матрица обратима (в том смысле, что существует обратная матрица, элементы которой лежат в ) тогда и только тогда, когда его определитель является обратимым элементом в. [42] Для, это означает, что определитель равен +1 или -1. Такая матрица называется унимодулярной .
Поскольку определитель мультипликативен, он определяет гомоморфизм группы
между общей линейной группой (группой обратимых-матрицы с записями в ) и мультипликативная группа единиц в. Поскольку оно учитывает умножение в обеих группах, это отображение является групповым гомоморфизмом .
Для гомоморфизма колец , есть карта дается путем замены всех записей в по их изображениям под . Определитель учитывает эти отображения, т. Е. Тождество
держит. Другими словами, отображаемая коммутативная диаграмма коммутирует.
Например, определитель комплексно сопряженной комплексной матрицы (который также является определителем ее сопряженного транспонирования) является комплексно сопряженным ее определителем, а для целочисленных матриц: редукцией по модулю определителя такой матрицы равен определителю матрицы, приведенной по модулю (последний определитель вычисляется с использованием модульной арифметики ). На языке теории категорий определитель - это естественное преобразование между двумя функторами а также . [43] Добавляя еще один уровень абстракции, это фиксируется утверждением, что определитель является морфизмом алгебраических групп , от общей линейной группы к мультипликативной группе ,
Внешняя алгебра
Определитель линейного преобразования из -мерное векторное пространство или, в более общем смысле, свободный модуль (конечного) ранга над коммутативным кольцом можно сформулировать безкоординатным образом, рассматривая -я внешняя мощность из . [44] Карта индуцирует линейное отображение
В виде одномерно, отображение дается умножением на некоторый скаляр, т. е. элемент в . Некоторые авторы, такие как ( Bourbaki 1998 ), используют этот факт для определения детерминанта как элемента в удовлетворяющее следующему тождеству (для всех ):
Это определение согласуется с более конкретным определением, зависящим от координат. Это можно показать, используя единственность полилинейной знакопеременной формы на-наборы векторов в . По этой причине максимальная ненулевая внешняя мощность (в отличие от детерминанта, связанного с эндоморфизмом) иногда также называют детерминантом и аналогично для более сложных объектов, таких как векторные пучки или цепные комплексы векторных пространств. Минорные части матрицы также могут быть отлиты в этой настройке, учитывая более низкие чередующиеся формы. с участием . [45]
Детерминанты, рассматриваемые выше, допускают несколько вариантов: перманент матрицы определяется как определитель, за исключением того, что факторывстречающиеся в правиле Лейбница, опускаются. Immanant обобщает и путем введения символа из симметрической группы в правлении Лейбница.
Определители конечномерных алгебр
Для любой ассоциативной алгебры которое конечномерно как векторное пространство над полем, существует детерминантное отображение [46]
Это определение продолжается путем установления характеристического многочлена независимо от определителя и определения определителя как члена самого низкого порядка этого многочлена. Это общее определение восстанавливает определитель матричной алгебры , но также включает несколько дополнительных случаев, включая определитель кватерниона ,
- ,
норма [ требуется неоднозначности ] о расширении поля , а также пфаффиане из кососимметрической матрицы и приведенной нормы в виде центральной простой алгебры , также возникают как частные случаи этой конструкции.
Бесконечные матрицы
Для матриц с бесконечным числом строк и столбцов приведенные выше определения определителя не переносятся напрямую. Например, в формуле Лейбница должна быть вычислена бесконечная сумма (все члены которой являются бесконечными произведениями). Функциональный анализ предоставляет различные расширения определителя для таких бесконечномерных ситуаций, которые, однако, работают только для определенных типов операторов.
Определитель Фредгольма определяет определитель для операторов , известных как операторы класса следа с помощью соответствующего обобщения формулы
Еще одно бесконечномерное понятие определителя - это функциональный определитель .
Операторы в алгебрах фон Неймана
Для операторов в конечном множителе можно определить положительный вещественный определитель, называемый определителем Фугледе-Кадисона, используя канонический след. Фактически, каждому следу на алгебре фон Неймана соответствует понятие определителя Фугледе-Кадисона.
Связанные понятия для некоммутативных колец
Для матриц над некоммутативными кольцами, полилинейностью и чередующимся свойством несовместимы для п ≥ 2 , [47] , так что нет хорошего определения детерминанта в этой установке.
Для квадратных матриц с элементами в некоммутативном кольце существуют различные трудности с определением определителей, аналогично определению для коммутативных колец. Смысл может быть придан формуле Лейбница при условии, что указан порядок продукта, и аналогично для других определений определителя, но некоммутативность тогда приводит к потере многих фундаментальных свойств определителя, таких как мультипликативное свойство или что определитель не изменяется при перестановке матрицы. Более некоммутативные колец, нет никакого разумного понятия полилинейной формы (наличия ненулевых билинейной формы [ уточнить ] с регулярным элементом из R в качестве значения по некоторым парам аргументов следует , что R является коммутативным). Тем не менее были сформулированы различные понятия некоммутативного определителя, которые сохраняют некоторые свойства определителей, в частности квазидетерминанты и определитель Дьедонне . Для некоторых классов матриц с некоммутативными элементами можно определить определитель и доказать теоремы линейной алгебры, которые очень похожи на их коммутативные аналоги. Примеры включают q- определитель на квантовых группах, определитель Капелли на матрицах Капелли и березиниан на суперматрицах (т. Е. Матрицы, элементы которых являются элементами- градуированные кольца ). [48] Матрицы Манина образуют класс, наиболее близкий к матрицам с коммутативными элементами.
Расчет
Детерминанты в основном используются как теоретический инструмент. Они редко вычисляются явно в числовой линейной алгебре , где для таких приложений, как проверка обратимости и поиск собственных значений, определитель в значительной степени заменен другими методами. [49] Однако вычислительная геометрия часто использует вычисления, связанные с определителями. [50]
Хотя определитель может быть вычислен непосредственно с использованием правила Лейбница, этот подход крайне неэффективен для больших матриц, поскольку эта формула требует вычисления ( факториал ) продукты для-матрица. Таким образом, количество требуемых операций очень быстро растет: это порядок . Расширение Лапласа также неэффективно. Поэтому для расчета детерминантов были разработаны более сложные методы.
Методы разложения
Некоторые методы вычисляют записывая матрицу в виде произведения матриц, определители которых легче вычислить. Такие методы называются методами декомпозиции. Примеры включают LU-разложение , QR-разложение или разложение Холецкого (для положительно определенных матриц ). Эти методы по порядку, что является значительным улучшением по сравнению с . [ необходима цитата ]
Например, разложение LU выражает как продукт
из матрицы перестановок (который имеет ровно один в каждом столбце, а в противном случае нули) нижнетреугольная матрица и верхнетреугольная матрица . Определители двух треугольных матриц а также можно быстро вычислить, поскольку они являются произведениями соответствующих диагональных записей. Определитель это просто знак соответствующей перестановки (которая есть для четного числа перестановок и является для нечетного числа перестановок). Как только такое LU-разложение известно для, определитель легко вычисляется как
Дальнейшие методы
Приказ достигнутая методами декомпозиции, была улучшена различными методами. Если две матрицы порядка можно умножить во времени , где для некоторых , то есть алгоритм, вычисляющий определитель по времени . [51] Это означает, например, чтосуществует алгоритм, основанный на алгоритме Копперсмита – Винограда . В 2016 году этот показатель был снижен до 2,373. [52]
Помимо сложности алгоритма, для сравнения алгоритмов можно использовать дополнительные критерии. Специально для приложений, касающихся матриц над кольцами, существуют алгоритмы, вычисляющие определитель без каких-либо делений. (В отличие от этого, исключение Гаусса требует делений.) Один такой алгоритм, имеющий сложностьоснована на следующей идее: заменяются перестановки (как в правиле Лейбница) так называемыми закрытыми упорядоченными обходами , в которых несколько элементов могут повторяться. Результирующая сумма содержит больше членов, чем в правиле Лейбница, но в процессе некоторые из этих продуктов могут быть повторно использованы, что делает ее более эффективной, чем наивное вычисление по правилу Лейбница. [53] Алгоритмы также можно оценивать в соответствии с их битовой сложностью , т. Е. Сколько битов точности необходимо для хранения промежуточных значений, встречающихся в вычислении. Например, метод исключения Гаусса (или разложения LU) имеет порядок, но длина в битах промежуточных значений может стать экспоненциально большой. [54] Для сравнения, алгоритм Барейсса представляет собой метод точного деления (поэтому он использует деление, но только в тех случаях, когда это деление может быть выполнено без остатка), имеет тот же порядок, но битовая сложность примерно равна битовой размер исходных записей в матрице раз. [55]
Если определитель A и обратный к A уже были вычислены, лемма о детерминанте матрицы позволяет быстро вычислить определитель A + uv T , где u и v - векторы-столбцы.
Чарльз Доджсон (то есть Льюис Кэрролл из «Приключений Алисы в стране чудес» ) изобрел метод вычисления детерминантов, названный конденсацией Доджсона . К сожалению, этот интересный метод не всегда работает в первозданном виде. [ необходима цитата ]
Смотрите также
- Определитель Коши
- Определитель Кэли-Менгера
- Определитель Дьедонне
- Определитель Слейтера
Заметки
- ^ Lang 1985 , §VII.1
- ^ Вильдбергер, Норман Дж. (2010). Эпизод 4 (видеолекция). WildLinAlg. Сидней, Австралия: Университет Нового Южного Уэльса - через YouTube.
- ^ «Детерминанты и объемы» . textbooks.math.gatech.edu . Проверено 16 марта 2018 .
- ^ МакКоннелл (1957). Приложения тензорного анализа . Dover Publications. С. 10–17 .
- ^ Харрис 2014 , §4.7
- ^ Серж Лэнг , Линейная алгебра , 2-е издание, Addison-Wesley, 1971, стр 173, 191.
- ^ Лэнг 1987 , §VI.7, теорема 7.5
- ^ Альтернативно, Бурбаки 1998 , §III.8, предложение 1 доказывает этот результат, используя функториальность внешней степени.
- ^ Horn & Johnson 2018 , §0.8.7
- Перейти ↑ Kung, Rota & Yan 2009 , p. 306
- ^ Horn & Johnson 2018 , §0.8.2.
- ^
- ^ Сильвестр, младший (2000). «Определители блочных матриц» (PDF) . Математика. Вестник . 84 (501): 460–467. DOI : 10.2307 / 3620776 . JSTOR 3620776 .
- ^ Сотанафан, Нат (январь 2017 г.). «Определители блочных матриц с некоммутирующими блоками». Линейная алгебра и ее приложения . 512 : 202–218. arXiv : 1805.06027 . DOI : 10.1016 / j.laa.2016.10.004 . S2CID 119272194 .
- ^ Доказательства можно найти на http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/proof003.html.
- ^ Линь, Минхуа; Шри, Суврит (2014). «Совершенно сильная супераддитивность обобщенных матричных функций». arXiv : 1410.1958 [ math.FA ].
- ^ Паксой; Туркменский; Чжан (2014). «Неравенства обобщенных матричных функций через тензорные произведения» . Электронный журнал линейной алгебры . 27 : 332–341. DOI : 10.13001 / 1081-3810.1622 .
- ^ Lang 1985 , §VIII.2, Horn & Johnson 2018 , Def. 1.2.3
- ^ Хорн и Джонсон 2018 , наблюдение 7.1.2, теорема 7.2.5
- ^ Доказательство можно найти в Приложении B к Кондратюк, Л.А.; Криворученко М.И. (1992). «Сверхпроводящее кварковое вещество в цветовой группе SU (2)». Zeitschrift für Physik . 344 (1): 99–115. Bibcode : 1992ZPhyA.344 ... 99K . DOI : 10.1007 / BF01291027 . S2CID 120467300 .
- ^ Horn & Johnson 2018 , § 0.8.10
- ^ Грэттэн-Гиннесс 2003 , §6.6
- ^ Каджори, Ф. История математики с. 80
- ^ a b c Кэмпбелл, H: «Линейная алгебра с приложениями», стр. 111–112. Appleton Century Crofts, 1971 год.
- ^ ЕВ 1990 , с. 405
- ^ Краткая история линейной алгебры и теории матриц по адресу: «Краткая история линейной алгебры и теории матриц» . Архивировано из оригинального 10 сентября 2012 года . Проверено 24 января 2012 года .
- Перейти ↑ Kleiner 2004 , p. 80
- ↑ Бурбаки (1994 , с. 59)
- ^ Мьюир, сэр Томас, Теория детерминант в историческом порядке развития [Лондон, Англия: Macmillan and Co., Ltd., 1906]. JFM 37.0181.02
- ^ Клейнер 2007 , §5.2
- ^ Первое использование слова «определитель» в современном смысле появилось в: Коши, Огюстен-Луи, «Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes contraires par suite des transpositions operées entre les variables qu'elles» renferment », которая была впервые прочитана в Институте Франции в Париже 30 ноября 1812 года и впоследствии опубликована в Journal de l'Ecole Polytechnique , Cahier 17, Tome 10, pages 29–112 (1815).
- ^ Происхождение математических терминов: http://jeff560.tripod.com/d.html
- ^ История матриц и определителей: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
- ^ ЕВ 1990 , с. 494
- ^ Cajori 1993 , Vol. II, стр. 92, нет. 462
- ^ История матричных обозначений: http://jeff560.tripod.com/matrices.html
- ^ Хабгуд и Арел 2012
- ^ Lang 1985 , §VII.3
- ^ Lang 2002 , §IV.8
- ^ Ланг 1985 , §VII.6, теорема 6.10
- ^ Даммит и Фут 2004 , §11.4
- ^ Даммит и Фут 2004 , §11.4, теорема 30
- ^ Маклейн 1998 , §I.4. См. Также Естественное преобразование § Определитель .
- ^ Бурбаки 1998 , §III.8
- ^ Lombardi & Quitte 2015 , §5.2, Бурбаки 1998 , §III.5
- ^ Гарибальди 2004
- ^ В некоммутативной установке левую линейность (совместимость с левым умножением на скаляры) следует отличать от правой линейности. Предполагая, что линейность в столбцах является леволинейной, для некоммутирующих скаляров a , b было бы :
- ^ Варадараджан, В. С (2004), Суперсимметрия для математиков: Введение , ISBN 978-0-8218-3574-6.
- ^ "... мы упоминаем, что определитель, хотя и удобное понятие в теории, редко находит полезную роль в численных алгоритмах.", см. Trefethen & Bau III 1997 , Lecture 1.
- ^ Fisikopoulos & Peñaranda 2016 , §1.1, §4.3
- ^ Банч и Хопкрофт 1974
- ^ Fisikopoulos & Peñaranda 2016 , §1.1
- ^ Rote 2001
- ^ Фанг, Синь Гуй; Хавас, Джордж (1997). «О наихудшей сложности целочисленного исключения Гаусса» (PDF) . Материалы международного симпозиума 1997 г. по символическим и алгебраическим вычислениям . ISSAC '97. Кихеи, Мауи, Гавайи, США: ACM. С. 28–31. DOI : 10.1145 / 258726.258740 . ISBN 0-89791-875-4. Архивировано из оригинального (PDF) 07 августа 2011 года . Проверено 22 января 2011 .
- ^ Fisikopoulos & Peñaranda 2016 , §1.1, Bareiss 1968
Рекомендации
- Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
- Акслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
- Bareiss, Эрвин (1968), "Идентичность Сильвестра и многоступенчатая Integer сохраняющих исключения Гаусса" (PDF) , Математика вычислениям , 22 (102): 565-578, DOI : 10,2307 / 2004533 , JSTOR 2004533
- де Бур, Карл (1990), "Пустое упражнение" (PDF) , ACM SIGNUM Newsletter , 25 (2): 3-7, DOI : 10,1145 / 122272,122273 , S2CID 62780452
- Бурбаки, Николас (1998), Алгебра I, главы 1-3 , Springer, ISBN 9783540642435
- Букет, младший; Хопкрофт, Дж. Э. (1974). «Треугольная факторизация и инверсия быстрым матричным умножением» . Математика вычислений . 28 (125): 231–236. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1974-0331751-8 .
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264
- Физикопулос, Виссарион; Пеньяранда, Луис (2016), «Более быстрые геометрические алгоритмы за счет вычисления динамических детерминантов», Вычислительная геометрия , 54 : 1–16, DOI : 10.1016 / j.comgeo.2015.12.001
- Гарибальди, Скип (2004), «Характеристический многочлен и определитель не являются специальными конструкциями», American Mathematical Monthly , 111 (9), arXiv : math / 0203276 , doi : 10.2307 / 4145188 , MR 2104048
- Хабгуд, Кен; Арел, Итамар (2012). «Основанное на конденсации применение правила Крамера для решения крупномасштабных линейных систем» (PDF) . Журнал дискретных алгоритмов . 10 : 98–109. DOI : 10.1016 / j.jda.2011.06.007 .
- Харрис, Фрэнк Э. (2014), Математика для физических наук и инженерии , Elsevier, ISBN 9780128010495
- Кляйнер, Израиль (2007), История абстрактной алгебры , Birkhäuser, DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4685-1 , ISBN 978-0-8176-4684-4, Руководство по ремонту 2347309
- Кунг, Джозеф PS; Рота, Джан-Карло; Ян, Кэтрин (2009), комбинаторика: путь Роты , Cambridge University Press, ISBN 9780521883894
- Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
- Ломбарди, Анри; Quitté, Клод (2015), Коммутативная алгебра: конструктивные методы , Springer, ISBN 9789401799447
- Mac Lane, Saunders (1998), Категории для работающих математиков , Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8
- Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивируются с оригинала на 2009-10-31
- Мьюир, Томас (1960) [1933], Трактат по теории детерминант , пересмотренный и дополненный Уильямом Х. Метцлером, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр.
- Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3
- Г. Бейли Прайс (1947) «Некоторые тождества в теории детерминантов», American Mathematical Monthly 54: 75–90 MR.0019078
- Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройал (2018) [1985]. Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-54823-6.
- Ланг, Серж (1985), Введение в линейную алгебру , Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Springer, ISBN 9780387962054
- Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Тексты для бакалавров по математике (3-е изд.), Springer, ISBN 9780387964126
- Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-95385-4.
- Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
- Роте, Гюнтер (2001), «Алгоритмы без деления для определителя и пфаффа: алгебраический и комбинаторный подходы», Вычислительная дискретная математика (PDF) , Конспекты лекций в Comput. Sci . , 2122 , Springer, стр 119-135,. DOI : 10.1007 / 3-540-45506-X , \ _9 , МР 1911585
- Trefethen, Ллойд; Бау III, Дэвид (1997), Числовая линейная алгебра (1-е изд.), Филадельфия: SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9
Исторические ссылки
- Бурбаки, Николас (1994), Элементы истории математики , переведенные Мелдрамом, Джоном, Спрингером, DOI : 10.1007 / 978-3-642-61693-8 , ISBN 3-540-19376-6
- Каджори, Флориан (1993), История математических обозначений: в том числе Vol. I. Обозначения в элементарной математике; Vol. II. Обозначения в основном в высшей математике, Перепечатка оригиналов 1928 и 1929 годов , Дувр, ISBN 0-486-67766-4, Руководство по ремонту 3363427
- Безу, Этьен (1779), Théorie générale des уравнений algébriques , Париж
- Кэли, Артур (1841), "Об одной теореме в геометрии положения", Cambridge Mathematical Journal , 2 : 267–271
- Крамер, Габриэль (1750), Введение в анализ альгебриков , Женева: Frères Cramer & Cl. Филибер, DOI : 10,3931 / е-Рар-4048
- Ив, Ховард (1990), Введение в историю математики (6 изд.), Saunders College Publishing, ISBN 0-03-029558-0, Руководство по ремонту 1104435
- Граттан-Гиннесс, И., изд. (2003), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , 1 , Johns Hopkins University Press , ISBN 9780801873966
- Якоби, Карл Густав Якоб (1841), «Determinantibusfunctionibus» , Journal für die reine und angewandte Mathematik : 320–359, doi : 10.1515 / crll.1841.22.319
- Лаплас, Пьер-Симон, де (1772 г.), "Recherches sur le Calcul intégral et sur le systéme du monde" , Histoire de l'Académie Royale des Sciences , Париж (вторая сторона): 267–376
Внешние ссылки
- Супруненко, Д.А. (2001) [1994], "Определитель" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вайсштейн, Эрик В. «Определитель» . MathWorld .
- О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Матрицы и детерминанты» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- Детерминантная интерактивная программа и учебное пособие
- Линейная алгебра: определители. Вычислите определители матриц до 6-го порядка с использованием выбранного вами расширения Лапласа.
- Матрицы и линейная алгебра на страницах самых ранних применений
- Детерминанты легко объяснены в 4-й главе как часть курса линейной алгебры.