В геометрии , A отрезок является частью линии , ограниченная два различных конечных точек , и содержит каждую точку на линии , которая находится между его концами. Замкнутый отрезок включает в себя как конечные точки, в то время как сегмент открытой линии исключает оба конечных точки; полуоткрытый отрезок включает в себя ровно один из концов. В геометрии сегмент линии часто обозначается с помощью линии над символами двух конечных точек (например,). [1] [2]
Примеры сегментов линии включают стороны треугольника или квадрата. В более общем смысле, когда обе конечные точки сегмента являются вершинами многоугольника или многогранника , линейный сегмент является либо ребром (этого многоугольника или многогранника), если они являются смежными вершинами, либо диагональю . Когда обе конечные точки лежат на кривой (например, окружности ), отрезок линии называется хордой (этой кривой).
В реальных или сложных векторных пространствах
Если V - векторное пространство над или же И L представляет собой подмножество из V , то L представляет собой отрезок линии , если L может быть параметрироваться
для некоторых векторов . В этом случае, векторы U и U + V называются конечные точки L .
Иногда нужно различать «открытые» и «закрытые» отрезки линии. В этом случае можно определить замкнутый линейный сегмент, как указано выше, и открытый линейный сегмент как подмножество L, которое можно параметризовать как
для некоторых векторов .
Эквивалентно отрезок прямой - это выпуклая оболочка двух точек. Таким образом, отрезок линии можно выразить как выпуклую комбинацию двух конечных точек отрезка.
В геометрии можно определить точку B как находящуюся между двумя другими точками A и C , если расстояние AB, добавленное к расстоянию BC , равно расстоянию AC . Таким образом, в, отрезок с концами A = ( a x , a y ) и C = ( c x , c y ) представляет собой следующий набор точек:
Характеристики
- Сегмент линии представляет собой связное , непустое множество .
- Если V является топологическим векторным пространством , то замкнутый отрезок является замкнутым множеством в V . Тем не менее, сегмент открытой линии представляет собой открытое множество в V тогда и только тогда , когда V является одномерным .
- В более общем плане, чем указано выше, понятие линейного сегмента может быть определено в упорядоченной геометрии .
- Пара отрезков может быть любым из следующих: пересекающимся , параллельным , наклонным или ни одним из них. Последняя возможность - это то, чем отрезки прямых отличаются от прямых: если две непараллельные прямые находятся в одной евклидовой плоскости, то они должны пересекать друг друга, но это не обязательно верно для отрезков.
В доказательствах
В аксиоматической трактовке геометрии понятие промежуточности либо предполагается, что удовлетворяет определенному количеству аксиом, либо определяется в терминах изометрии линии (используемой в качестве системы координат).
Сегменты играют важную роль в других теориях. Например, набор является выпуклым, если сегмент, соединяющий любые две точки набора, содержится в наборе. Это важно, поскольку при этом часть анализа выпуклых множеств преобразуется в анализ отрезка прямой. Добавление сегмента постулат может быть использован для добавления конгруэнтного сегмента или сегментов с одинаковыми длинами, и , следовательно , заменить другие сегменты в другое заявление , чтобы сделать сегменты конгруэнтны.
Как вырожденный эллипс
Сегмент линии можно рассматривать как вырожденный случай из с эллипсом , в котором малая полуось стремится к нулю, в фокусах Перейти к конечным точкам, а эксцентриситет идет к одному. Стандартное определение эллипса - это набор точек, для которых сумма расстояний от точки до двух фокусов является постоянной; если эта константа равна расстоянию между фокусами, результатом будет отрезок линии. Полная орбита этого эллипса дважды пересекает отрезок прямой. Как вырожденная орбита, это радиальная эллиптическая траектория .
В других геометрических формах
В дополнении к появлению в качестве ребер и диагоналей из многоугольников и многогранников , линейные сегменты также появляются в многочисленных других местах , по сравнению с другими геометрическими формами .
Треугольники
Некоторые очень часто рассматриваемые сегменты в треугольнике включают в себя три высоты (каждая перпендикулярно соединяет сторону или ее продолжение с противоположной вершиной ), три медианы (каждая соединяет среднюю точку стороны с противоположной вершиной), серединные перпендикуляры сторон ( перпендикулярно соединяющей середину стороны с одной из других сторон), и биссектрисы внутреннего угла (каждая соединяет вершину с противоположной стороной). В каждом случае существуют различные равенства, связывающие длины этих сегментов с другими (обсуждаемые в статьях о различных типах сегментов), а также различные неравенства .
Другие представляющие интерес сегменты в треугольнике включают те, которые соединяют различные центры треугольников друг с другом, в первую очередь центр , центр описанной окружности , центр с девятью точками , центроид и ортоцентр .
Четырехугольники
Помимо сторон и диагоналей четырехугольника , важными сегментами являются два бимедиана (соединяющие середины противоположных сторон) и четыре солодки (каждый перпендикулярно соединяет одну сторону с серединой противоположной стороны).
Круги и эллипсы
Любой отрезок прямой, соединяющий две точки на окружности или эллипсе , называется хордой . Любая хорда в окружности, которая больше не имеет хорды, называется диаметром , а любой сегмент, соединяющий центр окружности (середину диаметра) с точкой на окружности, называется радиусом .
В эллипсе самая длинная хорда, которая также является самым длинным диаметром , называется большой осью , а отрезок от средней точки большой оси (центр эллипса) до любой конечной точки большой оси называется большой полуосью. . Точно так же наименьший диаметр эллипса называется малой осью , а отрезок от его средней точки (центра эллипса) до любой из его конечных точек называется малой полуосью . Хорды эллипса, которые перпендикулярны большой оси и проходят через один из его фокусов , называются боковой прямой частью эллипса. Interfocal сегмент соединяет два фокусы.
Направленный линейный сегмент
Когда линейному сегменту задается ориентация (направление), он называется направленным линейным сегментом . Он предполагает перевод или смещение (возможно, вызванное силой ). Величина и направление указывают на возможное изменение. Полубесконечное удлинение направленного отрезка прямой создает луч, а бесконечное увеличение в обоих направлениях дает направленную линию . Это предположение вошло в математическую физику благодаря концепции евклидова вектора . [3] [4] Совокупность всех ориентированных отрезков прямой обычно сокращается, делая «эквивалентными» любую пару, имеющую одинаковую длину и ориентацию. [5] Это применение отношения эквивалентности восходит к введению Джусто Беллавитиса концепции равноправия направленных отрезков в 1835 году.
Обобщения
Аналогично сегментам прямых линий выше, можно также определить дуги как сегменты кривой .
Смотрите также
- Ломаная линия
- Интервал (математика)
- Линия (геометрия) и Луч (геометрия)
- Пересечение отрезков прямых, алгоритмическая задача поиска пересекающихся пар в наборе отрезков прямых
- Спирангл
- Постулат сложения сегментов
Заметки
- ^ «Список символов геометрии и тригонометрии» . Математическое хранилище . 2020-04-17 . Проверено 1 сентября 2020 .
- ^ «Определение отрезка линии - открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 сентября 2020 .
- ^ Гарри Ф. Дэвис и Артур Дэвид Снайдер (1988) Введение в векторный анализ , 5-е издание, стр. 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5
- ^ Матиер Рахман и Исаак Mulolani (2001) Applied векторного анализа , стр 9 и 10, CRC PressISBN 0-8493-1088-1
- ^ Eutiquio C. Young (1978) Векторный и тензорный анализ , страницы 2 и 3, Марсель ДеккерISBN 0-8247-6671-7
Рекомендации
- Дэвид Гильберт Основы геометрии . Издательство «Открытый суд» 1950, стр. 4
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Линейный сегмент» . MathWorld .
- Отрезок линии в PlanetMath
- Копирование отрезка линии с помощью циркуля и линейки
- Разделение отрезка на N равных частей с помощью циркуля и линейки Анимированная демонстрация
Эта статья включает материал из сегмента Line на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .