р-адическое число
В математике р - адическая система счисления для любого простого числа р расширяет обычную арифметику рациональных чисел иначе , чем расширение рациональной системы счисления на действительные и комплексные системы счисления. Расширение достигается за счет альтернативной интерпретации понятия «близость» или абсолютное значение . В частности, два p -адических числа считаются близкими, если их разность делится на большую степень p .: чем выше мощность, тем они ближе. Это свойство позволяет p -адическим числам кодировать информацию о конгруэнтности таким образом, который, как оказывается, имеет мощные приложения в теории чисел , включая, например, знаменитое доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлса . [1]
Эти числа были впервые описаны Куртом Хенселем в 1897 году [2] , хотя, если оглянуться назад, некоторые из более ранних работ Эрнста Куммера можно интерпретировать как неявно использующие p - адические числа. [примечание 1] p - адические числа были мотивированы прежде всего попыткой принести идеи и методы методов степенных рядов в теорию чисел. Сейчас их влияние выходит далеко за рамки этого. Например, область р - адического анализа по существу предоставляет альтернативную форму исчисления .
Более формально, для данного простого p поле Q p p -адических чисел является пополнением рациональных чисел . Поле Q p также имеет топологию , полученную из метрики , которая сама выводится из p -адического порядка , альтернативной оценки рациональных чисел. Это метрическое пространство полно в том смысле, что каждая последовательность Коши сходится к точке в Q p . Именно это позволяет развивать исчисление на Q p , и именно взаимодействие этой аналитической и алгебраической структур придает p -адическим системам счисления их силу и полезность.
Р в « р - адических» является переменной и может быть заменена простым числом (получая, например, «2-адические числа») или другим выражением , представляющим простое число. «Адический» в « р -адическом » происходит от окончания таких слов, как диадический или триадический .
Десятичное разложение положительного рационального числа - это его представление в виде ряда
где - целое число, и каждый также является целым числом , таким что Это расширение может быть вычислено путем деления числителя на знаменатель в длину, что само по себе основано на следующей теореме: если - рациональное число такое, что существует такое целое число , что и с Десятичное разложение получается повторным применением этого результата к остатку , который в итерации принимает на себя роль исходного рационального числа .
