Период (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии , А период является число , которое может быть выражено в виде интеграла из алгебраической функции над алгебраической области. Суммы и произведения периодов остаются периодами, поэтому периоды образуют кольцо .

Максим Концевич и Дон Загир  ( 2001 ) провели обзор периодов и высказали некоторые предположения о них.

Определение [ править ]

Действительное число называется периодом, если это разность объемов областей евклидова пространства, заданная полиномиальными неравенствами с рациональными коэффициентами. ^{[ требуется пояснение ] В} более общем смысле комплексное число называется периодом, если его действительная и мнимая части являются периодами.

Периоды - это числа, которые возникают как интегралы от алгебраических функций по областям, которые описываются алгебраическими уравнениями или неравенствами с рациональными коэффициентами ( Weisstein 2019 ). Периоды могут быть определены как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются значениями абсолютно сходящихся интегралов рациональных функций с рациональными коэффициентами в областях, заданных полиномиальными неравенствами с рациональными коэффициентами ( Концевич и Загьер 2001 , стр. 3). Коэффициенты рациональных функций и полиномов могут быть обобщены на алгебраические числа, поскольку интегралы и иррациональные алгебраические числа выражаются через площади подходящих областей.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Примеры [ править ]

Помимо алгебраических чисел, периодами известны следующие числа:

• Натуральный логарифм любого положительного алгебраического числа а , что${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x}$
• π${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x}$
• Эллиптические интегралы с рациональными аргументами
• Все дзета-константы ( дзета-функция Римана целого числа) и несколько дзета-значений
• Специальные значения гипергеометрических функций при алгебраических аргументах
• Γ ( p / q ) ^q для натуральных чисел p и q .

Пример действительного числа, не являющегося периодом, дает постоянная Чейтина Ω . Любое другое невычислимое число также дает пример действительного числа, которое не является точкой. В настоящее время нет естественных примеров вычислимых чисел , которые, как было доказано, не были периодами, однако можно построить искусственные примеры ( Yoshinaga 2008 ). Правдоподобные кандидаты для чисел, которые не являются периодами, включают e , 1 / π и постоянную Эйлера – Маскерони γ .

Свойства и мотивация [ править ]

Точки предназначены для преодоления разрыва между алгебраическими числами и трансцендентными числами . Класс алгебраических чисел слишком узок, чтобы включать в себя множество общих математических констант , в то время как набор трансцендентных чисел не исчисляем , а его члены, как правило, не вычислимы .

Набор всех периодов является исчисляемым , и все периоды вычислимы ( Tent 2010 ) и, в частности, могут быть определены .

Домыслы [ править ]

Многие из постоянных, известных как периоды, также задаются интегралами от трансцендентных функций . Концевич и Загьер отмечают, что «не существует универсального правила, объясняющего, почему определенные бесконечные суммы или интегралы трансцендентных функций являются периодами».

Концевич и Загьер предположили, что если период задается двумя разными интегралами, то каждый интеграл можно преобразовать в другой, используя только линейность интегралов, замену переменных и формулу Ньютона – Лейбница.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}$

(или, в более общем смысле, формула Стокса ).

Полезное свойство алгебраических чисел состоит в том, что равенство между двумя алгебраическими выражениями может быть определено алгоритмически. Из гипотезы Концевича и Загьера следует, что равенство периодов также разрешимо: неравенство вычислимых вещественных чисел известно рекурсивно перечислимым ; и наоборот, если два интеграла согласуются, то алгоритм может подтвердить это, испробовав все возможные способы преобразования одного из них в другой.

Не следует ожидать, что число Эйлера e и постоянная Эйлера – Маскерони γ являются периодами. Периоды могут быть расширены до экспоненциальных периодов , допуская произведение алгебраической функции и экспоненциальной функции алгебраической функции в качестве подынтегрального выражения. Это расширение включает все алгебраические степени е , гамма-функцию рациональных аргументов и значения функций Бесселя . Если дополнительно добавить постоянную Эйлера γ как новый период, то, согласно Концевичу и Загьеру, «все классические постоянные являются периодами в соответствующем смысле».

См. Также [ править ]

• Якобиева многообразие
• Связь Гаусса – Манина
• Смешанные мотивы (математика)
• Таннакианский формализм

Ссылки [ править ]

• Белкале, Пракаш; Броснан, Патрик (2003), "Периоды и функции местного дзета Иегузой", Международная Mathematics исследований Извещения , 2003 (49): 2655-2670, DOI : 10,1155 / S107379280313142X , ISSN  1073-7928 , MR  2012522
• Концевич, Максим; Загир, Дон (2001), «Периоды» (PDF) , в Engquist, Björn; Шмид, Вильфрид (ред.), Mathematics unlimited - 2001 и далее , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 771–808, ISBN 978-3-540-66913-5, MR  1852188
• Вальдшмидт, Мишель (2006), «Превосходство периодов: современное состояние» (PDF) , Pure and Applied Mathematics Quarterly , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN  1558-8599 , MR  2251476
• Палатка, Катрин ; Зиглер, Мартин (2010), «Вычислимые функции вещественных чисел» (PDF) , Münster Journal of Mathematics , 3 : 43–66
• Вайсштейн, Эрик В. «Периоды» . mathworld.wolfram.com . Проверено 19 июня 2019 .
• Ёсинага, Масахико (2008-05-03). «Периоды и элементарные действительные числа». arXiv : 0805.0349 [ math.AG ].CS1 maint: ref=harv (link)

Внешние ссылки [ править ]

• PlanetMath: Период