Ранг группы

О ранге без кручения см. Ранг абелевой группы ; о размерности подгруппы Картана см. Ранг группы Ли .

В математической теме теории групповой , то ранг группы G , обозначим ранг ( G ), может относиться к наименьшей мощности в виде порождающего множества для G , то есть

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (G) = \ min \ {| X |: X \ substeq G, \ langle X \ rangle = G \}.}$

Если G - конечно порожденная группа , то ранг G - неотрицательное целое число. Понятие ранга группы является теоретико-групповым аналогом понятия размерности векторного пространства . Действительно, для p -групп рангом группы P является размерность векторного пространства P / Φ ( P ), где Φ ( P ) - подгруппа Фраттини .

Ранг группы также часто определяется таким образом, чтобы гарантировать, что ранг подгрупп меньше или равен всей группе, что автоматически имеет место для размерностей векторных пространств, но не для таких групп, как аффинные группы . Чтобы различать эти различные определения, этот ранг иногда называют рангом подгруппы . Явно ранг подгруппы группы G равен максимуму рангов ее подгрупп:

${\ displaystyle \ operatorname {sr} (G) = \ max _ {H \ leq G} \ min \ {| X |: X \ substeq H, \ langle X \ rangle = H \}.}$

Иногда ранг подгруппы ограничивается абелевыми подгруппами.

Известные факты и примеры [ править ]

• Для нетривиальной группы G ранг ( G ) = 1 тогда и только тогда, когда G - циклическая группа . Тривиальная группа T имеет rank ( T ) = 0, поскольку минимальное порождающее множество T является пустым множеством .
• Для свободной абелевой группы имеем${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {п}}$${\ displaystyle {\ rm {rank}} (\ mathbb {Z} ^ {n}) = n.}$
• Если X - множество и G = F ( X ) - свободная группа со свободным базисом X, то rank ( G ) = | X |,
• Если группа H является гомоморфным образом (или фактор-группой ) группы G, то rank ( H ) ≤ rank ( G ).
• Если G конечная неабелева простая группа (например, G = A _n , знакопеременная группа , для n  > 4), то rank ( G ) = 2. Этот факт является следствием классификации конечных простых групп .
• Если G - конечно порожденная группа и Φ ( G ) ≤ G - подгруппа Фраттини группы G (которая всегда нормальна в G, так что фактор-группа G / Φ ( G ) определена), то rank ( G ) = rank ( G / Φ ( G )). ^[1]
• Если G является фундаментальной группой замкнутого (то есть компактный и без краев) , соединенных 3-многообразие М , то ранг ( G ) ≤ г ( М ), где г ( М ) является родом Хегор из М . ^[2]
• Если H , K ≤ F ( X ) - конечно порожденные подгруппы свободной группы F ( X ) такие, что пересечение нетривиально, то L конечно порождена и${\ Displaystyle L = H \ cap K}$

ранг ( L ) - 1 ≤ 2 (ранг ( K ) - 1) (ранг ( H ) - 1).

Этот результат принадлежит Ханне Нойманн . ^{[3] [4]} Гипотеза Ханны Нойман утверждает, что на самом деле каждый всегда имеет ранг ( L ) - 1 ≤ (ранг ( K ) - 1) (ранг ( H ) - 1). Гипотеза Ханны Нойман недавно была решена Игорем Минеевым ^[5] и независимо анонсирована Джоэлем Фридманом. ^[6]

• Согласно классической теореме Грушко ранг ведет себя аддитивно по отношению к взятию свободных произведений , то есть для любых групп A и B имеем

Оценка ( B ) = ранг ( ) + ранг ( Б ).${\ displaystyle \ ast}$

• Если это группа с одним соотношением, такая что r не является примитивным элементом в свободной группе F ( x ₁ , ..., x _n ), то есть r не принадлежит свободному базису F ( x ₁ ,. .., x _n ), то rank ( G ) =  n . ^{[7] [8]}${\ Displaystyle G = \ langle x_ {1}, \ dots, x_ {n} | r = 1 \ rangle}$

Проблема ранга [ править ]

В теории групп изучается алгоритмическая проблема , известная как проблема ранга . Задача спрашивает для конкретного класса конечно представленных групп, существует ли алгоритм, который, учитывая конечное представление группы из этого класса, вычисляет ранг этой группы. Проблема ранга - одна из наиболее сложных алгоритмических проблем, изучаемых в теории групп, и о ней известно относительно мало. Известные результаты включают:

• Проблема ранга алгоритмически неразрешима для класса всех конечно представленных групп . Действительно, согласно классическому результату Адьяна – Рабина , не существует алгоритма, позволяющего определить, является ли конечно представленная группа тривиальной, поэтому даже вопрос о том, является ли rank ( G ) = 0, неразрешим для конечно представленных групп. ^{[9] [10]}
• Проблема ранга разрешима для конечных групп и конечно порожденных абелевых групп .
• Проблема ранга разрешима для конечно порожденных нильпотентных групп . Причина заключается в том, что для такой группы G , то подгруппа Фраттини из G содержит коммутант из G и , следовательно , ранг G равен рангу абелианизации из G . ^[11]
• Проблема ранга неразрешима для словесных гиперболических групп . ^[12]
• Проблема ранга разрешима для клейновых групп без кручения . ^[13]
• Проблема ранга открыта для конечно порожденных виртуально абелевых групп (содержащих абелеву подгруппу конечного индекса ), для виртуально свободных групп и для групп трехмерных многообразий .

Обобщения и связанные с ними понятия [ править ]

Ранг конечно порожденной группы G может быть эквивалентным образом определяется как наименьшее мощности множества X , таких , что существует на гомоморфизм F ( X ) → G , где F ( X ) является свободной группой со свободным базисом X . Существует двойное понятие совместного ранга в виде конечно порожденной группы G , определенной как по величине мощности из X такой , что существует на гомоморфизм G → F ( X). В отличии от ранга, Коранг всегда алгоритмический вычислимый для конечно определенных групп , ^[14] с использованием алгоритма Маканина и Разборов для решения систем уравнений в свободных группах. ^{[15] [16]} Понятие коранга связано с понятием числа разреза для 3-многообразий . ^[17]

Если р является простым числом , то р - ранг из G является крупнейшим Рангом элементарной абелевой р - подгруппы. ^[18] сечения р - ранг является самым большим ранга элементарного абелевого р -сечения (фактор - подгруппы).

См. Также [ править ]

• Ранг абелевой группы
• Прюфер ранг
• Теорема Грушко
• Бесплатная группа
• Эквивалентность Нильсена

Заметки [ править ]