В теории категорий , разделе математики , топология Гротендика представляет собой структуру категории C , которая заставляет объекты C вести себя как открытые множества топологического пространства . Категория вместе с выбором топологии Гротендика называется сайтом .
Топологии Гротендика аксиоматизируют понятие открытого покрытия . Используя понятие покрытия, обеспечиваемое топологией Гротендика, становится возможным определить пучки на категории и их когомологии . Впервые это было сделано в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел Александром Гротендиком для определения этальных когомологий схемы . С тех пор он использовался для определения других теорий когомологий, таких как ℓ-адические когомологии , плоские когомологии и кристаллические когомологии.. Хотя топологии Гротендика чаще всего используются для определения теорий когомологий, они нашли и другие приложения, например, в теории жесткой аналитической геометрии Джона Тейта .
Существует естественный способ связать сайт с обычным топологическим пространством , и теория Гротендика в общих чертах рассматривается как обобщение классической топологии. При скудных точечных гипотезах, а именно о трезвости , это совершенно точно — можно восстановить трезвое пространство из связанного с ним места. Однако простые примеры, такие как недискретное топологическое пространство , показывают, что не все топологические пространства можно выразить с помощью топологий Гротендика. И наоборот, есть топологии Гротендика, которые не происходят из топологических пространств.
Изменился смысл термина «топология Гротендика». В Artin (1962) это означало то, что сейчас называется претопологией Гротендика, и некоторые авторы до сих пор используют это старое значение. Жиро (1964) изменил определение, включив в него сита , а не крышки. В большинстве случаев это не имеет большого значения, поскольку каждая претопология Гротендика определяет уникальную топологию Гротендика, хотя совершенно разные претопологии могут давать одну и ту же топологию.
Знаменитые гипотезы Вейля Андре Вейля предполагали, что некоторые свойства уравнений с целыми коэффициентами следует понимать как геометрические свойства определяемого ими алгебраического многообразия . Его гипотезы постулировали, что должна существовать когомологическая теория алгебраических многообразий, которая дает теоретико-числовую информацию об их определяющих уравнениях. Эта теория когомологий была известна как «когомологии Вейля», но, используя имеющиеся у него инструменты, Вейль не смог ее построить.
В начале 1960-х Александр Гротендик ввел этальные отображения в алгебраическую геометрию как алгебраические аналоги локальных аналитических изоморфизмов в аналитической геометрии . Он использовал этальные покрытия для определения алгебраического аналога фундаментальной группы топологического пространства. Вскоре Жан-Пьер Серр заметил, что некоторые свойства этальных накрытий имитируют свойства открытых погружений и, следовательно, можно построить конструкции, имитирующие когомологический функтор H 1. Гротендик увидел, что можно использовать идею Серра для определения теории когомологий, которая, как он подозревал, будет когомологией Вейля. Чтобы определить эту теорию когомологий, Гротендику нужно было заменить обычное топологическое понятие открытого покрытия на такое, которое вместо этого использовало бы этальные покрытия. Гротендик также увидел, как абстрактно сформулировать определение покрытия; отсюда происходит определение топологии Гротендика.