Усеченная восьмиугольная мозаика порядка 4 | |
---|---|
Пуанкаре диск модель в гиперболической плоскости | |
Тип | Гиперболическая равномерная мозаика |
Конфигурация вершины | 4.16.16 |
Символ Шлефли | t {8,4} tr {8,8} или |
Символ Wythoff | 2 8 | 8 2 8 8 | |
Диаграмма Кокстера | или же |
Группа симметрии | [8,4], (* 842) [8,8], (* 882) |
Двойной | Квадратная плитка из тетракиса Order-8 |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
В геометрии , то усекается порядок-4 восьмиугольных плиточный является равномерным разбиением гиперболической плоскости . Он имеет символ Шлефли t 0,1 {8,4}. Вторичная конструкция t 0,1,2 {8,8} называется усеченной восьмиугольной мозаикой из шестиугольников двух цветов .
Конструкции
Есть две одинаковые конструкции этой мозаики, первая с помощью калейдоскопа [8,4] , а вторая путем удаления последнего зеркала, [8,4,1 + ], дает [8,8], (* 882).
Имя | Тетраоктагональный | Усеченный восьмиугольник |
---|---|---|
Изображение | ||
Симметрия | [8,4] (* 842) | [8,8] = [8,4,1 + ] (* 882) знак равно |
Символ | т {8,4} | tr {8,8} |
Диаграмма Кокстера |
Двойная черепица
Двойная мозаика, тетракис квадратная мозаика Порядка-8, имеет конфигурацию граней V4.16.16 и представляет фундаментальные области группы симметрии [8,8]. |
Симметрия
Двойник мозаики представляет фундаментальные области (* 882) орбифолдной симметрии. Из симметрии [8,8] существует 15 подгрупп малых индексов с помощью операторов удаления зеркала и чередования . Зеркала могут быть удалены, если все заказы его филиалов равны, что сокращает заказы соседних филиалов вдвое. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются снятые зеркала. На этих изображениях уникальные зеркала окрашены в красный, зеленый и синий цвета, а треугольники с чередованием цветов показывают расположение точек вращения. Подгруппа [8 + , 8 + ], (44 ×) имеет узкие линии, представляющие отражения скольжения. Группа подгруппы индекса -8, [1 + , 8,1 + , 8,1 + ] (4444) является коммутаторной подгруппой группы [8,8].
Одна большая подгруппа строится как [8,8 *], удаляя точки вращения (8 * 4), индекс 16 становится (* 44444444), а его прямая подгруппа [8,8 *] + , индекс 32, (44444444) .
[8,8] -симметрия может быть удвоена зеркалом, разделяющим фундаментальную область пополам и создающим симметрию * 884 .
Индекс | 1 | 2 | 4 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Диаграмма | ||||||
Coxeter | [8,8] | [1 + , 8,8] знак равно | [8,8,1 + ] знак равно | [8,1 + , 8] знак равно | [1 + , 8,8,1 + ] знак равно | [8 + , 8 + ] |
Орбифолд | * 882 | * 884 | * 4242 | * 4444 | 44 × | |
Полупрямые подгруппы | ||||||
Диаграмма | ||||||
Coxeter | [8,8 + ] | [8 + , 8] | [(8,8,2 + )] | [8,1 + , 8,1 + ] знак равно знак равно знак равно знак равно | [1 + , 8,1 + , 8] знак равно знак равно знак равно знак равно | |
Орбифолд | 8 * 4 | 2 * 44 | 4 * 44 | |||
Прямые подгруппы | ||||||
Индекс | 2 | 4 | 8 | |||
Диаграмма | ||||||
Coxeter | [8,8] + | [8,8 + ] + знак равно | [8 + , 8] + знак равно | [8,1 + , 8] + знак равно | [8 + , 8 + ] + = [1 + , 8,1 + , 8,1 + ] знак равно знак равно знак равно | |
Орбифолд | 882 | 884 | 4242 | 4444 | ||
Радикальные подгруппы | ||||||
Индекс | 16 | 32 | ||||
Диаграмма | ||||||
Coxeter | [8,8 *] | [8 *, 8] | [8,8 *] + | [8 *, 8] + | ||
Орбифолд | * 44444444 | 44444444 |
Связанные многогранники и мозаика
* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4.2 n .2 n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 42 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | |||||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | ||||
Усеченные фигуры | |||||||||||
Конфиг. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
цифры n-kis | |||||||||||
Конфиг. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
Равномерная восьмиугольная / квадратная мозаика | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[8,4], (* 842) (с [8,8] (* 882), [(4,4,4)] (* 444), [∞, 4, ∞] (* 4222) подсимметриями индекса 2 ) (И [(∞, 4, ∞, 4)] (* 4242) подсимметрия индекса 4) | |||||||||||
знак равно знак равно знак равно | знак равно | знак равно знак равно знак равно | знак равно | знак равно знак равно | знак равно | ||||||
{8,4} | т {8,4} | г {8,4} | 2t {8,4} = t {4,8} | 2r {8,4} = {4,8} | рр {8,4} | tr {8,4} | |||||
Униформа двойников | |||||||||||
V8 4 | V4.16.16 | В (4,8) 2 | V8.8.8 | V4 8 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
Чередования | |||||||||||
[1 + , 8,4] (* 444) | [8 + , 4] (8 * 2) | [8,1 + , 4] (* 4222) | [8,4 + ] (4 * 4) | [8,4,1 + ] (* 882) | [(8,4,2 + )] (2 * 42) | [8,4] + (842) | |||||
знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | знак равно | ||||||
ч {8,4} | с {8,4} | ч. {8,4} | с {4,8} | ч {4,8} | чрр {8,4} | sr {8,4} | |||||
Двойное чередование | |||||||||||
В (4,4) 4 | V3. (3.8) 2 | V (4.4.4) 2 | В (3,4) 3 | V8 8 | V4.4 4 | V3.3.4.3.8 |
Равномерные восьмиугольные мозаики | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия: [8,8], (* 882) | |||||||||||
знак равно знак равно | знак равно знак равно | знак равно знак равно | знак равно знак равно | знак равно знак равно | знак равно знак равно | знак равно знак равно | |||||
{8,8} | т {8,8} | г {8,8} | 2t {8,8} = t {8,8} | 2r {8,8} = {8,8} | рр {8,8} | tr {8,8} | |||||
Униформа двойников | |||||||||||
V8 8 | V8.16.16 | V8.8.8.8 | V8.16.16 | V8 8 | V4.8.4.8 | V4.16.16 | |||||
Чередования | |||||||||||
[1 + , 8,8] (* 884) | [8 + , 8] (8 * 4) | [8,1 + , 8] (* 4242) | [8,8 + ] (8 * 4) | [8,8,1 + ] (* 884) | [(8,8,2 + )] (2 * 44) | [8,8] + (882) | |||||
знак равно | знак равно | знак равно | знак равно знак равно | знак равно знак равно | |||||||
ч {8,8} | с {8,8} | ч. {8,8} | с {8,8} | ч {8,8} | чрр {8,8} | sr {8,8} | |||||
Двойное чередование | |||||||||||
В (4,8) 8 | V3.4.3.8.3.8 | В (4,4) 4 | V3.4.3.8.3.8 | В (4,8) 8 | V4 6 | V3.3.8.3.8 |
Рекомендации
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
- «Глава 10: Обычные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать очерков . Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678 .
Смотрите также
- Квадратная плитка
- Замощения правильных многоугольников
- Список однородных плоских мозаик
- Список правильных многогранников
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик У. "Гиперболический замощение" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре» . MathWorld .
- Галерея гиперболических и сферических плиток
- KaleidoTile 3: обучающая программа для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик.
- Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч