Сферические мозаики ( n = 3..5) | ||
---|---|---|
* 332 | * 432 | * 532 |
Тайлинг евклидовой плоскости ( n = 6) | ||
* 632 | ||
Гиперболические плоские мозаики ( n = 7 ... ∞) | ||
* 732 | * 832 | ... * ∞32 |
В геометрии , A мутация симметрии является отображением основных областей между двумя группами симметрии. [1] Они компактно выражены в орбифолдной нотации . Эти мутации могут происходить от сферических мозаик к евклидовым мозаикам и гиперболическим мозаикам . Гиперболические мозаики также можно разделить на компактные, паракомпактные и дивергентные.
В равномерных тайлингах являются простейшими применения этих мутаций, хотя и более сложные модели могут быть выражены в фундаментальной области.
В этой статье выражены прогрессивные последовательности однородных мозаик внутри семейств симметрии.
Мутации орбифолдов
Орбифолды с одинаковой структурой могут изменяться между разными классами симметрии, в том числе в разных областях кривизны от сферической до евклидовой и гиперболической. В этой таблице показаны классы мутаций. [1] Эта таблица не является полной для возможных гиперболических орбифолдов.
Орбифолд | Сферический | Евклидово | Гиперболический |
---|---|---|---|
о | - | о | - |
pp | 22, 33 ... | ∞∞ | - |
* пп | * 22, * 33 ... | * ∞∞ | - |
п* | 2 *, 3 * ... | ∞ * | - |
p × | 2 ×, 3 × ... | ∞ × | |
** | - | ** | - |
* × | - | * × | - |
×× | - | ×× | - |
PPP | 222 | 333 | 444 ... |
pp * | - | 22 * | 33 * ... |
pp × | - | 22 × | 33 ×, 44 × ... |
pqq | 222, 322 ..., 233 | 244 | 255 ..., 433 ... |
pqr | 234, 235 | 236 | 237 ..., 245 ... |
pq * | - | - | 23 *, 24 * ... |
pq × | - | - | 23 ×, 24 × ... |
р * д | 2 * 2, 2 * 3 ... | 3 * 3, 4 * 2 | 5 * 2 5 * 3 ..., 4 * 3, 4 * 4 ..., 3 * 4, 3 * 5 ... |
*п* | - | - | * 2 * ... |
* p × | - | - | * 2 × ... |
pppp | - | 2222 | 3333 ... |
pppq | - | - | 2223 ... |
ppqq | - | - | 2233 |
пп * п | - | - | 22 * 2 ... |
p * qr | - | 2 * 22 | 3 * 22 ..., 2 * 32 ... |
* ppp | * 222 | * 333 | * 444 ... |
* pqq | * п22, * 233 | * 244 | * 255 ..., * 344 ... |
* pqr | * 234, * 235 | * 236 | * 237 ..., * 245 ..., * 345 ... |
p * ppp | - | - | 2 * 222 |
* pqrs | - | * 2222 | * 2223 ... |
* ppppp | - | - | * 22222 ... |
... |
* n 22 симметрия
Регулярные мозаики
Космос | Сферический | Евклидово | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Название плитки | (Моногональный) шестиугольный осоэдр | Дигональный осоэдр | (Треугольный) Тригональный осоэдр | (Тетрагональный) квадратный хозоэдр | Пятиугольный осоэдр | Шестиугольный осоэдр | Семиугольный хозоэдр | Восьмиугольный осоэдр | Эннеагональный хозоэдр | Десятиугольный осоэдр | Хендекагональный осоэдр | Додекагональный осоэдр | ... | Апейрогональный хозоэдр |
Мозаичное изображение | ... | |||||||||||||
Символ Шлефли | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | {2,9} | {2,10} | {2,11} | {2,12} | ... | {2, ∞} |
Диаграмма Кокстера | ... | |||||||||||||
Грани и края | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
Вершины | 2 | ... | 2 | |||||||||||
Конфигурация вершины. | 2 | 2.2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 | 2 7 | 2 8 | 2 9 | 2 10 | 2 11 | 2 12 | ... | 2 ∞ |
Космос | Сферический | Евклидово | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Название плитки | (Hengonal) Моногональный диэдр | Дигональный диэдр | (Треугольный) Тригональный диэдр | (Тетрагональный) Квадратный диэдр | Пятиугольный диэдр | Шестиугольный диэдр | ... | Апейрогональный диэдр |
Мозаичное изображение | ... | |||||||
Символ Шлефли | {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2} | ... | {∞, 2} |
Диаграмма Кокстера | ... | |||||||
Лица | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} | ... | 2 {∞} |
Ребра и вершины | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | ∞ |
Конфигурация вершины. | 1.1 | 2.2 | 3.3 | 4.4 | 5.5 | 6,6 | ... | ∞.∞ |
Призма мозаики
Космос | Сферический | Евклидово | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Черепица | |||||||||||
Конфиг. | 3.4.4 | 4.4.4 | 5.4.4 | 6.4.4 | 7.4.4 | 8.4.4 | 9.4.4 | 10.4.4 | 11.4.4 | 12.4.4 | ... ∞.4.4 |
Тайлинги с антипризмой
Космос | Сферический | Евклидово | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Черепица | ||||||||
Конфиг. | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | ... ∞.3.3.3 |
* n 32 симметрия
Регулярные мозаики
* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: {3, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферический | Евклид. | Компактный гипер. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: { n , 3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферический | Евклидово | Компактная гиперб. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | {12i, 3} | {9i, 3} | {6i, 3} | {3i, 3} |
Усеченные мозаики
* n 32 изменение симметрии усеченных мозаик: t { n , 3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 32 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гиперб. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | ||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | |
Усеченные фигуры | |||||||||||
Символ | т {2,3} | т {3,3} | т {4,3} | т {5,3} | т {6,3} | т {7,3} | т {8,3} | т {∞, 3} | т {12i, 3} | т {9i, 3} | т {6i, 3} |
Фигуры Триаки | |||||||||||
Конфиг. | V3.4.4 | V3.6.6 | V3.8.8 | V3.10.10 | V3.12.12 | V3.14.14 | V3.16.16 | V3.∞.∞ |
* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик : n .6.6 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сим. * n 42 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактный | Parac. | Некомпактный гиперболический | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
Усеченные фигуры | ||||||||||||
Конфиг. | 2.6.6 | 3.6.6 | 4.6.6 | 5.6.6 | 6.6.6 | 7.6.6 | 8.6.6 | ∞.6.6 | 12i.6.6 | 9i.6.6 | 6i.6.6 | |
цифры n-kis | ||||||||||||
Конфиг. | V2.6.6 | V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 | V8.6.6 | V∞.6.6 | V12i.6.6 | V9i.6.6 | V6i.6.6 |
Квазирегулярные мозаики
Квазирегулярные мозаики: (3.n) 2 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сим. * n32 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гиперб. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
* 332 [3,3] T d | * 432 [4,3] O ч | * 532 [5,3] I ч | * 632 [6,3] p6m | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | |||
Фигура | ||||||||||||
Фигура | ||||||||||||
Вершина | (3,3) 2 | (3,4) 2 | (3,5) 2 | (3,6) 2 | (3,7) 2 | (3.8) 2 | (3.∞) 2 | (3.12i) 2 | (3.9i) 2 | (3.6i) 2 | ||
Schläfli | г {3,3} | г {3,4} | г {3,5} | г {3,6} | г {3,7} | г {3,8} | г {3, ∞} | г {3,12i} | г {3,9i} | г {3,6i} | ||
Coxeter | ||||||||||||
Двойные форменные фигуры | ||||||||||||
Двойная конф. | В (3,3) 2 | В (3,4) 2 | В (3,5) 2 | В (3,6) 2 | В (3,7) 2 | V (3.8) 2 | V (3.∞) 2 |
Изменения симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V (3.n) 2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
* n32 | Сферический | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |||||
Черепица | |||||||||||
Конф. | В (3,3) 2 | В (3,4) 2 | В (3,5) 2 | В (3,6) 2 | В (3,7) 2 | V (3.8) 2 | V (3.∞) 2 |
Развернутые мозаики
* n 42 мутация симметрии расширенных мозаик: 3.4. п. 4 | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 32 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гиперб. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | ||
Фигура | ||||||||||||
Конфиг. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 | 3.4.12i.4 | 3.4.9i.4 | 3.4.6i.4 |
Симметрия * n 32 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гиперб. | Paraco. | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | |
Рисунок Config. | V3.4.2.4 | V3.4.3.4 | V3.4.4.4 | V3.4.5.4 | V3.4.6.4 | V3.4.7.4 | V3.4.8.4 | V3.4.∞.4 |
Омниусеченные мозаики
* n 32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик : 4.6.2n | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сим. * n 32 [ n , 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гиперб. | Paraco. | Некомпактный гиперболический | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Цифры | ||||||||||||
Конфиг. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duals | ||||||||||||
Конфиг. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
Курносые плитки
n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия n 32 | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||
232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
Курносые фигуры | ||||||||
Конфиг. | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
Гироскопические фигуры | ||||||||
Конфиг. | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
* n 42 симметрия
Регулярные мозаики
* n 42 изменение симметрии правильных мозаик: {4, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Паракомпакт | ||||||||
{4,3} | {4,4} | {4,5} | {4,6} | {4,7} | {4,8} ... | {4, ∞} |
* n 42 изменение симметрии правильных мозаик: { n , 4} | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферический | Евклидово | Гиперболические мозаики | |||||
2 4 | 3 4 | 4 4 | 5 4 | 6 4 | 7 4 | 8 4 | ... ∞ 4 |
Квазирегулярные мозаики
* n 42 изменения симметрии квазирегулярных мозаик: (4. n ) 2 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * 4 n 2 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Паракомпакт | Некомпактный | |||
* 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | [ n i, 4] | |
Цифры | ||||||||
Конфиг. | (4,3) 2 | (4,4) 2 | (4,5) 2 | (4,6) 2 | (4,7) 2 | (4,8) 2 | (4.∞) 2 | (4. n i) 2 |
* n 42 изменения симметрии квазирегулярных двойственных мозаик: V (4.n) 2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * 4n2 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Паракомпакт | Некомпактный | ||||||
* 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | [iπ / λ, 4] | ||||
Кафельная конф. | V4.3.4.3 | V4.4.4.4 | V4.5.4.5 | V4.6.4.6 | V4.7.4.7 | V4.8.4.8 | V4.∞.4.∞ | V4.∞.4.∞ |
Усеченные мозаики
* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4.2 n .2 n | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 42 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | |||||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | ||||
Усеченные фигуры | |||||||||||
Конфиг. | 4.4.4 | 4.6.6 | 4.8.8 | 4.10.10 | 4.12.12 | 4.14.14 | 4.16.16 | 4.∞.∞ | |||
цифры n-kis | |||||||||||
Конфиг. | V4.4.4 | V4.6.6 | V4.8.8 | V4.10.10 | V4.12.12 | V4.14.14 | V4.16.16 | V4.∞.∞ |
* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: n.8.8 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 42 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Паракомпакт | |||||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | ||||
Усеченные фигуры | |||||||||||
Конфиг. | 2.8.8 | 3.8.8 | 4.8.8 | 5.8.8 | 6.8.8 | 7.8.8 | 8.8.8 | ∞.8.8 | |||
цифры n-kis | |||||||||||
Конфиг. | V2.8.8 | V3.8.8 | V4.8.8 | V5.8.8 | V6.8.8 | V7.8.8 | V8.8.8 | V∞.8.8 |
Развернутые мозаики
* n 42 мутация симметрии расширенных мозаик : n .4.4.4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия [n, 4], (* n 42) | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | |||||||
* 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] | * ∞42 [∞, 4] | |||||
Расширенные цифры | |||||||||||
Конфиг. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Конфигурация ромбических фигур . | V3.4.4.4 | V4.4.4.4 | V5.4.4.4 | V6.4.4.4 | V7.4.4.4 | V8.4.4.4 | V∞.4.4.4 |
Омниусеченные мозаики
* n 42 мутация симметрии полностью усеченных плиток : 4.8.2n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия * n 42 [n, 4] | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | |
Омниусеченная фигура | 4.8.4 | 4.8.6 | 4.8.8 | 4.8.10 | 4.8.12 | 4.8.14 | 4.8.16 | 4.8.∞ |
Омнитусеченные двойники | V4.8.4 | V4.8.6 | V4.8.8 | V4.8.10 | V4.8.12 | V4.8.14 | V4.8.16 | V4.8.∞ |
Курносые плитки
4 n 2 мутации симметрии курносых мозаик : 3.3.4.3.n | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Симметрия 4 n 2 | Сферический | Евклидово | Компактный гиперболический | Paracomp. | ||||
242 | 342 | 442 | 542 | 642 | 742 | 842 | ∞42 | |
Курносые фигуры | ||||||||
Конфиг. | 3.3.4.3.2 | 3.3.4.3.3 | 3.3.4.3.4 | 3.3.4.3.5 | 3.3.4.3.6 | 3.3.4.3.7 | 3.3.4.3.8 | 3.3.4.3.∞ |
Гироскопические фигуры | ||||||||
Конфиг. | V3.3.4.3.2 | V3.3.4.3.3 | V3.3.4.3.4 | V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | V3.3.4.3.8 | V3.3.4.3.∞ |
* n 52 симметрия
Регулярные мозаики
Сфера | Гиперболическая плоскость | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
{5,3} | {5,4} | {5,5} | {5,6} | {5,7} | {5,8} | ... {5, ∞} |
* n 62 симметрия
Регулярные мозаики
* n 62 изменение симметрии правильных мозаик: {6, n } | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Сферический | Евклидово | Гиперболические мозаики | ||||||
{6,2} | {6,3} | {6,4} | {6,5} | {6,6} | {6,7} | {6,8} | ... | {6, ∞} |
* n 82 симметрия
Регулярные мозаики
Космос | Сферический | Компактный гиперболический | Паракомпакт | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Черепица | ||||||||
Конфиг. | 8,8 | 8 3 | 8 4 | 8 5 | 8 6 | 8 7 | 8 8 | ... 8 ∞ |
Рекомендации
- ^ a b Двумерные мутации симметрии Дэниела Хьюсона
Источники
- Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
- От гиперболического двумерного пространства к евклидовому трехмерному пространству: мозаики и паттерны через топологию Стивен Хайд