Неравенство Буля

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по статистике
Теория вероятности
Вероятность Аксиомы вероятности Детерминизм Индетерминизм Случайность
Вероятностное пространство Образец пространства Мероприятие Коллективно исчерпывающие события Элементарное мероприятие Взаимная эксклюзивность Исход Синглтон Эксперимент Бернулли суд Распределение вероятностей Распределение Бернулли Биномиальное распределение Нормальное распределение Вероятностная мера Случайная переменная Процесс Бернулли Непрерывный или дискретный Ожидаемое значение Цепь Маркова Наблюдаемое значение Случайная прогулка Стохастический процесс
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма
v т е

В теории вероятностей , неравенство Буля , также известное как союз связан , говорит , что для любых конечномерного или счетного множества из событий , вероятность того, что по крайней мере один из событий происходят не больше , чем сумма вероятностей отдельных событий. Неравенство Буля названо в честь Джорджа Буля . ^[1]

Формально для счетного множества событий A ₁ , A ₂ , A ₃ , ... имеем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

В мере теоретико термины, неравенство Буля вытекает из того факта , что мера (и , конечно , любая вероятностная мера ) является σ - полуаддитивно .

Доказательство [ править ]

Доказательство с помощью индукции [ править ]

Неравенство Буля может быть доказано для конечных наборов событий методом индукции.

Для случая следует, что${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).}$

Для этого случая мы имеем${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

Поскольку и поскольку операция объединения ассоциативна , мы имеем${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),}$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}$

С

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,}$

по первой аксиоме вероятности имеем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}$

и поэтому

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Доказательство без использования индукции [ править ]

Для любых событий в нашем вероятностном пространстве мы имеем${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Одна из аксиом вероятностного пространства состоит в том, что если являются непересекающимися подмножествами вероятностного пространства, то${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots }$

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i});}$

это называется счетной аддитивностью.

Если тогда${\displaystyle B\subset A,}$${\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A).}$

Действительно, из аксиом вероятностного распределения

${\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (A-B).}$

Обратите внимание, что оба условия справа неотрицательны.

Теперь нам нужно изменить наборы , чтобы они не пересекались.${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}.}$

Итак, если , то мы знаем${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$

Следовательно, мы можем вывести следующее уравнение

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

Неравенства Бонферрони [ править ]

Неравенство Буля можно обобщить, чтобы найти верхнюю и нижнюю границы вероятности конечных объединений событий. ^[2] Эти оценки известны как неравенства Бонферрони в честь Карло Эмилио Бонферрони ; см. Bonferroni (1936) .

Определять

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),}$

а также

${\displaystyle S_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i}\cap A_{j}),}$

также как и

${\displaystyle S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}$

для всех целых k из {3, ..., n }.

Тогда для нечетного k из {1, ..., n },

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j},}$

и для четного k из {2, ..., n },

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum _{j=1}^{k}(-1)^{j-1}S_{j}.}$

Неравенство Буля является исходным случаем, k = 1. Когда k = n , то равенство выполняется, и результирующее тождество является принципом включения-исключения .

См. Также [ править ]

• Разбавленный принцип включения-исключения
• Формула Шуэтта – Несбитта
• Неравенства Буля – Фреше.
• Вероятность объединения попарно независимых событий

Ссылки [ править ]

• Бонферрони, Карло Э. (1936), "Теория статистики делле класса и вычислений вероятности", Pubbl. d. R. Ist. Супер. di Sci. Эконом. e Commerciali di Firenze (на итальянском языке), 8 : 1–62, Zbl  0016.41103
• Домен, Клаус (2003), Улучшенные неравенства Бонферрони с помощью абстрактных трубок. Неравенства и идентичности типа включения-исключения , конспект лекций по математике, 1826 , Берлин: Springer-Verlag , стр. Viii + 113, ISBN 3-540-20025-8, MR  2019293 , Zbl  1026.05009
• Галамбос, Янош ; Симонелли, Итало (1996), Неравенства типа Бонферрони с приложениями , вероятностью и их приложениями, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. X + 269, ISBN 0-387-94776-0, Руководство по ремонту  1402242 , Zbl  0869.60014
• Галамбос, Янош (1977), "Бонферроните неравенство" , Анналы вероятностей , 5 (4): 577-581, DOI : 10,1214 / AOP / 1176995765 , JSTOR  2243081 , МР  0448478 , Zbl  +0369,60018
• Галамбос, Янош (2001) [1994], "Неравенства Бонферрони" , Энциклопедия математики , EMS Press

Эта статья включает материал из неравенств Бонферрони на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .