Теория Янга – Миллса

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Задний план Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Струнная теория Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В математической физике, теории Янга-Миллса является калибровочной теории на основе специальной унитарной группы SU ( N ), или в более общем смысле любой компактной , восстановительным алгебры Ли . Теория Янга – Миллса стремится описать поведение элементарных частиц с помощью этих неабелевых групп Ли и лежит в основе объединения электромагнитной силы и слабых сил (т.е. U (1) × SU (2)), а также квантовых хромодинамика , теория сильного взаимодействия (на основе SU (3)). Таким образом, это составляет основу нашего понимания Стандартной модели. физики элементарных частиц.

История и теоретическое описание [ править ]

В частной переписке, Вольфганг Паули сформулировал в 1953 шестимерное теорию уравнений Эйнштейна в общей теории относительности , расширяя пятимерную теорию Калуцы, Клейн , Фока и других в многомерное внутреннее пространство. ^[1] Однако, нет никаких доказательств того, что Паули разработал лагранжиан из калибровочного поля или квантования него. Поскольку Паули обнаружил, что его теория «приводит к некоторым довольно нефизическим теневым частицам», он воздержался от официальной публикации своих результатов. ^[1] Хотя Паули не опубликовал свою шестимерную теорию, он сделал два доклада по этому поводу в Цюрихе.^[2] Недавние исследования показывают, что расширенная теория Калуцы – Клейна в общем случае не эквивалентна теории Янга – Миллса, поскольку первая содержит дополнительные члены. ^[3] Чен Нин Ян долго рассматривал идею неабелевых калибровочных теорий. После встречи с Робертом Миллсом он представил молодому ученому идею и выдвинул ключевую гипотезу о том, что Миллс поможет в создании новой теории. В конечном итоге это стало теорией Янга-Миллса, как обсуждал сам Миллс:

«В 1953-1954 учебном году Ян был посетителем Брукхейвенской национальной лаборатории ... Я тоже был в Брукхейвене ... и был назначен в тот же офис, что и Ян. Ян, который неоднократно демонстрировал свою щедрость физикам, начинающим свою карьеру, рассказал мне о своей идее обобщения калибровочной инвариантности, и мы довольно подробно ее обсудили ... Я смог внести свой вклад в дискуссии, особенно в отношении процедур квантования, и, в некоторой степени, в работе формализм, однако ключевые идеи принадлежали Яну ».

^[4] В начале 1954 года Янг и Миллс ^[5] распространили концепцию калибровочной теории для абелевых групп , например квантовой электродинамики , на неабелевы группы, чтобы объяснить сильные взаимодействия. Идея Янга – Миллса подверглась критике со стороны Паули ^[6], поскольку кванты поля Янга – Миллса должны быть безмассовыми, чтобы сохранять калибровочную инвариантность . Идея откладывалась до 1960 года, когда концепция частиц, приобретающих массу за счет нарушения симметрии в безмассовых теориях, была выдвинута первоначально Джеффри Голдстоуном , Йохиро Намбу и Джованни Йона-Лазинио .

Это вызвало значительный перезапуск исследований теории Янга – Миллса, которые оказались успешными в формулировке как электрослабого объединения, так и квантовой хромодинамики (КХД). Электрослабое взаимодействие описывается калибровочной группой SU (2) × U (1), а КХД является SU (3) теорией Янга – Миллса. Безмассовые калибровочные бозоны электрослабого SU (2) × U (1) смешиваются после спонтанного нарушения симметрии с образованием 3 массивных слабых бозонов (
W⁺
,
W^-
, а также
Z
), а также все еще безмассовое фотонное поле. Динамика фотонного поля и его взаимодействия с веществом, в свою очередь, регулируются калибровочной теорией квантовой электродинамики U (1). Стандартная модель сочетает в себе сильное взаимодействие с единой электрослабого взаимодействия (объединения слабое и электромагнитное взаимодействие ) через группы симметрии SU (3) × SU (2) × U (1). В текущей эпохе сильное взаимодействие не унифицировано с взаимодействием электрослабого, но из наблюдаемого хода из соединительных констант, как считаются ^{[ править ]} все они сходятся к одному значению при очень высоких энергиях.

Феноменология при более низких энергиях в квантовой хромодинамике до конца не изучена из-за трудностей управления такой теорией с сильной связью. Это может быть причиной того, что конфайнмент не был теоретически доказан, хотя это последовательное экспериментальное наблюдение. Это показывает, почему удержание КХД при низкой энергии является математической проблемой, имеющей большое значение, и почему проблема существования Янга – Миллса и проблема разрыва между массами является проблемой Премии тысячелетия .

Математический обзор [ править ]

Теории Янга – Миллса являются частными примерами калибровочных теорий с неабелевой группой симметрии, задаваемой лагранжианом

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {gf}} = - {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Tr} (F ^ {2}) = - {\ frac {1} {4}} F ^ {a \ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} ^ {a}}$

с генераторами в алгебре Ли , индексированных , соответствующих F -quantities (The кривизны или напряженности поля формы) , удовлетворяющих${\ Displaystyle Т ^ {а}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (T ^ {a} T ^ {b}) = {\ frac {1} {2}} \ delta ^ {ab}, \ quad [T ^ {a}, T ^ { b}] = если ^ {abc} T ^ {c}.}$

Здесь f ^abc - структурные константы алгебры Ли (полностью антисимметричны, если генераторы алгебры Ли нормированы так, что пропорциональны ), ковариантная производная определяется как${\ displaystyle Tr (T ^ {a} T ^ {b})}$${\ displaystyle \ delta ^ {ab}}$

${\ displaystyle D _ {\ mu} = I \ partial _ {\ mu} -igT ^ {a} A _ {\ mu} ^ {a},}$

I - единичная матрица (соответствующая размеру генераторов), - векторный потенциал, а g - константа связи . В четырех измерениях константа связи g является чистым числом, а для группы SU ( N ) она имеет${\ Displaystyle А _ {\ mu} ^ {а}}$${\ displaystyle a, b, c = 1 \ ldots N ^ {2} -1.}$

Соотношение

${\ Displaystyle F _ {\ mu \ nu} ^ {a} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} ^ {a} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} ^ {a} + gf ^ {abc} A _ {\ mu} ^ {b} A _ {\ nu} ^ {c}}$

можно получить коммутатором

${\ displaystyle [D _ {\ mu}, D _ {\ nu}] = - igT ^ {a} F _ {\ mu \ nu} ^ {a}.}$

Поле обладает свойством самовзаимодействия, и получаемые уравнения движения называются полулинейными, поскольку нелинейности бывают как с производными, так и без них. Это означает, что управлять этой теорией можно только теорией возмущений с малыми нелинейностями.

Следует отметить , что переход между «верхним» ( «контравариантным») и «нижним» ( «общековариантным») вектором или компонентами тензора тривиален через индексы (например ), тогда как для ц и ν это нетривиальное, что соответствует , например , к обычному Лоренцу подпись, .${\ displaystyle f ^ {abc} = f_ {abc}}$${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = {\ rm {diag}} (+ ---)}$

Из данного лагранжиана можно вывести уравнения движения:

${\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0.}$

Положив , их можно переписать как${\displaystyle F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle (D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.}$

Bianchi идентичность имеет

${\displaystyle (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{\kappa \mu })^{a}=0}$

что эквивалентно тождеству Якоби

${\displaystyle [D_{\mu },[D_{\nu },D_{\kappa }]]+[D_{\kappa },[D_{\mu },D_{\nu }]]+[D_{\nu },[D_{\kappa },D_{\mu }]]=0}$

с тех пор . Определите тензор двойной силы , тогда тождество Бианки можно переписать как${\displaystyle [D_{\mu },F_{\nu \kappa }^{a}]=D_{\mu }F_{\nu \kappa }^{a}}$${\displaystyle {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$

${\displaystyle D_{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0.}$

Источник входит в уравнения движения как${\displaystyle J_{\mu }^{a}}$

${\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{b\mu }F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}.}$

Обратите внимание, что токи должны правильно изменяться при преобразованиях калибровочной группы.

Дадим здесь несколько комментариев о физических размерах муфты. В размерах D поле масштабируется как ^{[ цитата ],} поэтому связь должна масштабироваться как . Это означает, что теория Янга – Миллса неперенормируема для размерностей больше четырех. Кроме того, при D = 4 связь безразмерна, и поле и квадрат связи имеют одинаковые размеры поля и связи безмассовой четвертой скалярной теории поля . Таким образом, эти теории разделяют масштабную инвариантность на классическом уровне.${\displaystyle [A]=[L^{\frac {2-D}{2}}]}$${\displaystyle [g^{2}]=[L^{D-4}]}$

Квантование [ править ]

Метод квантования теории Янга – Миллса - это функциональные методы, то есть интегралы по путям . Вводится производящий функционал для n- точечных функций как

${\displaystyle Z[j]=\int [dA]\exp \left[-{\frac {i}{2}}\int d^{4}x\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+i\int d^{4}x\,j_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)\right],}$

но этот интеграл не имеет смысла как таковой, потому что потенциальный вектор может быть выбран произвольно из-за калибровочной свободы . Эта проблема уже была известна в квантовой электродинамике, но здесь она становится более серьезной из-за неабелевых свойств калибровочной группы. Выход был предложен Людвигом Фаддеевым и Виктором Поповым с введением фантомного поля (см. Призрак Фаддеева – Попова ), которое обладает свойством нефизичности, поскольку, хотя и согласуется со статистикой Ферми – Дирака , это комплексное скалярное поле. , что нарушает теорему спиновой статистики . Итак, мы можем записать производящий функционал в виде

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\int [dA][d{\bar {c}}][dc]\exp \left\{iS_{F}[\partial A,A]+iS_{gf}[\partial A]+iS_{g}[\partial c,\partial {\bar {c}},c,{\bar {c}},A]\right\}\\&\exp \left\{i\int d^{4}xj_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int d^{4}x[{\bar {c}}^{a}(x)\varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)c^{a}(x)]\right\}\end{aligned}}}$

существование

${\displaystyle S_{F}=-{\frac {1}{2}}\int \operatorname {d} \!^{4}x\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })}$

для поля,

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}\int \operatorname {d} \!^{4}x(\partial \cdot A)^{2}}$

для крепления манометра и

${\displaystyle S_{g}=-\int \operatorname {d} \!^{4}x({\bar {c}}^{a}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g{\bar {c}}^{a}f^{abc}\partial _{\mu }A^{b\mu }c^{c})}$

для призрака. Это выражение обычно используется для вывода правил Фейнмана (см. Диаграмму Фейнмана ). Здесь мы имеем c ^a для фантомного поля, а ξ фиксирует выбор калибровки для квантования. Правила Фейнмана, полученные из этого функционала, следующие:

Эти правила для диаграмм Фейнмана могут быть получены, когда производящий функционал, приведенный выше, переписывается как

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-ig\int d^{4}x\,{\frac {\delta }{i\delta {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\delta }{\delta j_{\mu }^{b}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\\&\qquad \times \exp \left(-ig\int d^{4}xf^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\delta }{\delta j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j_{\mu }^{b}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j^{c\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(-i{\frac {g^{2}}{4}}\int d^{4}xf^{abc}f^{ars}{\frac {i\delta }{\delta j_{\mu }^{b}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j_{\nu }^{c}(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\delta }{\delta j^{s\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}}$

с участием

${\displaystyle Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int d^{4}xd^{4}y{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)C^{ab}(x-y)\varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\tfrac {1}{2}}\int d^{4}xd^{4}yj_{\mu }^{a}(x)D^{ab\mu \nu }(x-y)j_{\nu }^{b}(y)\right)}$

являясь производящим функционалом свободной теории. Раскладывая по g и вычисляя функциональные производные , мы можем получить все n- точечные функции с помощью теории возмущений. Используя формулу редукции LSZ, мы получаем из n -точечных функций соответствующие амплитуды, сечения и скорости затухания процессов . Теория перенормируема, и поправки конечны при любом порядке теории возмущений.

Для квантовой электродинамики фантомное поле разделяется, потому что калибровочная группа абелева. Это можно увидеть из связи между калибровочным полем и фантомным полем . В абелевом случае все структурные константы равны нулю, поэтому связи нет. В неабелевом случае фантомное поле оказывается полезным способом переписать квантовую теорию поля без физических последствий для наблюдаемых в теории, таких как поперечные сечения или скорости распада.${\displaystyle {\bar {c}}^{a}f^{abc}\partial _{\mu }A^{b\mu }c^{c}}$${\displaystyle f^{abc}}$

Одним из важнейших результатов теории Янга – Миллса является асимптотическая свобода . Этот результат может быть получен, если предположить, что константа связи g мала (настолько малая нелинейность), как для высоких энергий, и применить теорию возмущений . Актуальность этого результата обусловлена ​​тем фактом, что теория Янга – Миллса, описывающая сильное взаимодействие и асимптотическую свободу, позволяет надлежащим образом обрабатывать экспериментальные результаты, полученные в результате глубоко неупругого рассеяния .

Чтобы получить поведение теории Янга – Миллса при высоких энергиях и, таким образом, доказать асимптотическую свободу, применяется теория возмущений в предположении малой связи. Это подтверждается апостериори в ультрафиолетовом пределе . В противоположном пределе, инфракрасном пределе, ситуация противоположная, поскольку связь слишком велика, чтобы теория возмущений была надежной. Большинство трудностей, с которыми сталкиваются исследования, - это просто управление теорией при низких энергиях. Это интересный случай, присущий описанию адронной материи и, в более общем плане, всем наблюдаемым связанным состояниям глюонов и кварков и их ограничению (см. Адроны ). Наиболее часто используемый метод изучения теории в этом пределе - это попытаться решить ее на компьютерах (см.решеточная калибровочная теория ). В этом случае требуются большие вычислительные ресурсы, чтобы быть уверенным, что будет получен правильный предел бесконечного объема (меньший интервал решетки). Это предел, с которым нужно сравнивать результаты. Меньший интервал и большая связь не независимы друг от друга, и для каждого требуются большие вычислительные ресурсы. На сегодняшний день ситуация кажется несколько удовлетворительной для адронного спектра и расчета глюонных и фанатичных пропагаторов, но спектры глюболов и гибридов все еще остаются под вопросом в связи с экспериментальным наблюдением таких экзотических состояний. Действительно, σ-резонанс ^{[7] [8]}не наблюдается ни в одном из таких вычислений на решетке, и были выдвинуты противоположные интерпретации. Это горячо обсуждаемый вопрос.

Открытые проблемы [ править ]

Теории Янга – Миллса получили всеобщее признание в физическом сообществе после того , как в 1972 году Герард 'т Хоофт разработал их перенормировку, опираясь на формулировку проблемы, разработанную его советником Мартинусом Велтманом . ^[9] Перенормируемость достигается, даже если калибровочные бозоны, описываемые этой теорией, массивны, как в электрослабой теории, при условии, что масса только «приобретенная», порожденная механизмом Хиггса .

Математика теории Янга – Миллса - очень активная область исследований, в результате которой, например, в результате работы Саймона Дональдсона были получены инварианты дифференцируемых структур на четырехмерных многообразиях . Кроме того, область теорий Янга – Миллса была включена в список « Проблемы присуждений тысячелетия » Института математики Клэя . Здесь проблема приза состоит, в частности, в доказательстве гипотезы о том, что низшие возбуждения чистой теории Янга – Миллса (т.е. без полей материи) имеют конечную запрещенную массу по отношению к вакуумному состоянию. Другая открытая проблема, связанная с этой гипотезой, - это доказательство свойства удержания в присутствии дополнительных фермионных частиц.

В физике обзор теорий Янга – Миллса обычно начинается не с анализа возмущений или аналитических методов, а в последнее время с систематического применения численных методов к решеточным калибровочным теориям .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Книги

• Фрэмптон, П. (2008). Теории калибровочного поля (3-е изд.). Wiley-VCH . ISBN 978-3-527-40835-1.
• Cheng, T.-P .; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория физики элементарных частиц . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-851961-3.
• 'т Хоофт, Герард , изд. (2005). 50 лет теории Янга – Миллса . Сингапур: World Scientific . ISBN 981-238-934-2.

Статьи

• Светличный, Георгий (1999). «Подготовка к калибровочной теории». arXiv : math-ph / 9902027 .
• Гросс, Д. (1992). «Калибровочная теория - прошлое, настоящее и будущее» . Проверено 5 мая 2015 .

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: теорией Янга – Миллса.

• "Поле Янга-Миллса" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Теория Янга – Миллса на DispersiveWiki ^{[ мертвая ссылка ]}
• Институт математики Клэя
• Проблемы, связанные с Премией тысячелетия