В математике положительная (или знаковая ) мера μ, определенная на σ- алгебре Σ подмножеств множества X , называется конечной мерой, если μ ( X ) - конечное действительное число (а не ∞), и множество A в Σ имеет конечную меру, если μ ( A ) <∞ . Мера μ называется σ-конечной, если X - счетное объединение измеримых множеств с конечной мерой. Говорят, что множество в пространстве с мерой имеет σ-конечная мера, если это счетное объединение измеримых множеств с конечной мерой. Σ-конечность меры является более слабым условием, чем конечность, т. Е. Все конечные меры являются σ-конечными, но есть (много) σ-конечных мер, которые не являются конечными.
Другое, но родственное понятие, которое не следует путать с сигма-конечностью, - это s-конечность .
Определение
Позволять быть измеримым пространством иизмерения на нем.
Мера называется σ-конечной мерой, если она удовлетворяет одному из четырех следующих эквивалентных критериев:
- набор покрывается не более чем счетным числом измеримых множеств с конечной мерой. Это означает, что есть наборы с участием для всех это удовлетворяет . [1]
- набор покрывается не более чем счетным числом измеримых непересекающихся множеств с конечной мерой. Это означает, что есть наборы с участием для всех а также для это удовлетворяет .
- набор покрывается монотонной последовательностью измеримых множеств с конечной мерой. Это означает, что есть наборы с участием а также для всех это удовлетворяет .
- существует строго положительная измеримая функция интеграл которой конечен. [2] Это означает, что для всех а также .
Если это -конечная мера, пространство меры называется -пространство конечной меры . [3]
Примеры
Мера Лебега
Например, мера Лебега на действительных числах не конечна, но σ-конечна. Действительно, рассмотрим интервалы [ k , k + 1) для всех целых k ; таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение - это целая вещественная линия.
Счетная мера
В качестве альтернативы рассмотрите действительные числа с помощью счетной меры ; мера любого конечного множества - это количество элементов в множестве, а мера любого бесконечного множества - бесконечность. Эта мера не является σ -конечной, потому что каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребовалось бы несчетное количество таких множеств, чтобы покрыть всю действительную прямую. Но набор натуральных чиселс мерой счета является σ -конечной.
Локально компактные группы
Локально компактные группы , которые являются σ-компактно в σ-конечные под мерой Хаара . Например, все связные локально компактные группы G σ-компактны. Чтобы убедиться в этом, пусть V - относительно компактная, симметричная (то есть V = V −1 ) открытая окрестность единицы. потом
открытая подгруппа группы G . Следовательно, H также замкнуто, поскольку его дополнение является объединением открытых множеств и в силу связности G должно быть самой G. Таким образом, все связные группы Ли σ-конечны относительно меры Хаара.
Отрицательные примеры
Любая нетривиальная мера, принимающая только два значения 0 и очевидно, не σ-конечно. Один пример в это: для всех , тогда и только тогда, когда A не пусто; другой: для всех, тогда и только тогда, когда A несчетно, 0 в противном случае. Между прочим, оба они трансляционно-инвариантны.
Характеристики
Класс σ-конечных мер обладает некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить с отделимостью топологических пространств. Некоторые теоремы анализа требуют в качестве гипотезы σ-конечности. Обычно, как теорема Радона-Никодима и Фубини теоремы формулируются в предположении о сг-конечностью о мерах , участвующих. Однако, как показано в статье Сигала «Эквивалентность пространств с мерой» ( Am. J. Math. 73, 275 (1953)), они требуют только более слабого условия, а именно локализуемости .
Хотя меры, которые не являются σ -конечными, иногда рассматриваются как патологические, на самом деле они возникают вполне естественно. Например, если Х представляет собой метрическое пространство из Хаусдорфа размерности г , то все меньшей размерности меры хаусдорфовы не являются σ-конечной , если рассматривать в качестве мер по X .
Эквивалентность вероятностной мере
Любая σ-конечная мера μ на пространстве X является эквивалентом к вероятностной меры на X : пусть V п , п ∈ N , быть покрытие X с помощью попарно непересекающихся измеримых множеств конечной μ - мера, и пусть ш п , п ∈ N , - последовательность положительных чисел (весов) такая, что
Мера ν, определяемая формулой
тогда является вероятностной мерой на X с точно такими же нулевыми множествами, что и μ .
Связанные понятия
Умеренные меры
Мера Борель (в смысле локально конечной меры на Борели-алгебра [4] )называется умеренной мерой, если существует не более чем счетное число открытых множеств с участием для всех а также . [5]
Каждая умеренная мера - это -конечная мера, обратное неверно.
Разложимые меры
Мера называется разложимой мерой, существуют непересекающиеся измеримые множества с участием для всех а также . Обратите внимание, что для разложимых мер нет ограничения на количество измеримых множеств с конечной мерой.
Каждый -конечная мера - разложимая мера, обратное неверно.
s-конечные меры
Мера называется s-конечной мерой, если она является суммой не более чем счетного числа конечных мер . [2]
Каждая σ-конечная мера s-конечна, обратное неверно. Для доказательства и контрпримера см. S-конечная мера # Связь с σ-конечными мерами .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 12 . DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ а б Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Шпрингер. п. 21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
- ^ Аносов, Д.В. (2001) [1994], "Мера пространства" , Математическая энциклопедия , EMS Press
- ^ Эльстродт, Юрген (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 313. DOI : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9.
- ^ Эльстродт, Юрген (2009). Maß- und Integrationstheorie [ Теория меры и интегрирования ] (на немецком языке). Берлин: Springer Verlag. п. 318. DOI : 10.1007 / 978-3-540-89728-6 . ISBN 978-3-540-89727-9.