Диаграммы углового момента (квантовая механика)

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой механике и ее приложениях к квантовым системам многих частиц , особенно в квантовой химии , диаграммы углового момента или, точнее, с математической точки зрения, графики углового момента представляют собой схематический метод представления квантовых состояний углового момента квантовой системы, позволяющий выполнять вычисления. сделано символически. Более конкретно, стрелки кодируют состояния углового момента в обозначениях скобками и включают абстрактную природу состояния, такую ​​как тензорные произведения и правила преобразования.

Обозначения соответствуют идее графических обозначений Пенроуза и диаграмм Фейнмана . Диаграммы состоят из стрелок и вершин с квантовыми числами в качестве меток, отсюда и альтернативный термин « графы ». Смысл каждой стрелки связан с эрмитовым сопряжением , которое примерно соответствует обращению времени состояний углового момента (см. Уравнение Шредингера ). Обозначения на диаграммах - это довольно большая тема, обладающая целым рядом специальных функций - эта статья знакомит с самыми основами.

Они были разработаны в основном Адольфасом Джусисом (иногда переводимым как Юцис) в двадцатом веке.

Эквивалентность нотации Дирака и диаграмм Жусиса [ править ]

Состояния углового момента [ править ]

Квантового состояния вектор одной частицы с полным угловым моментом квантового числа J и общего магнитного квантового числа т = J , J - 1, ..., - J + 1, - J , обозначается как кет | J , м ⟩ . В виде диаграммы это односторонняя стрелка.

Симметрично, соответствующий бюстгальтер ⟨ J , м | . В виде диаграммы это двойная двунаправленная стрелка, указывая в направлении , противоположном к кетам.

В каждом случае;

• квантовые числа j , m часто помечаются рядом со стрелками для обозначения определенного состояния углового момента,
• наконечники стрел почти всегда располагаются посередине линии, а не на конце,
• знаки равенства «=» помещаются между эквивалентными диаграммами, как и для нескольких равных друг другу алгебраических выражений.

Самые простые схемы для кетов и бюстгальтеров:

Стрелки направлены к вершинам или от вершин, состояние изменяется в соответствии с:

• стандартное представление обозначается ориентированной линии , оставляя вершину,
• представление contrastandard изображается в виде линии , входящей в вершину.

Как правило, стрелки следуют друг за другом в одном и том же смысле. В contrastandard представления инверсии времени оператор, обозначенный здесь Т , используются. Он унитарен, что означает, что эрмитово сопряженное T ^† равно обратному оператору T ⁻¹ , то есть T ^† = T ⁻¹ . Его действие на оператор позиции оставляет его неизменным:

${\ Displaystyle T {\ шляпа {\ mathbf {x}}} T ^ {\ dagger} = {\ шляпа {\ mathbf {x}}}}$

но оператор линейного импульса становится отрицательным:

${\ Displaystyle T {\ шляпа {\ mathbf {p}}} T ^ {\ dagger} = - {\ hat {\ mathbf {p}}}}$

и оператор спина становится отрицательным:

${\ Displaystyle T {\ шляпа {\ mathbf {S}}} T ^ {\ dagger} = - {\ hat {\ mathbf {S}}}}$

Поскольку оператор орбитального углового момента равен L = x × p , он также должен стать отрицательным:

${\ displaystyle T {\ шляпа {\ mathbf {L}}} T ^ {\ dagger} = - {\ hat {\ mathbf {L}}}}$

и поэтому оператор полного углового момента J = L + S становится отрицательным:

${\ Displaystyle T {\ шляпа {\ mathbf {J}}} T ^ {\ dagger} = - {\ hat {\ mathbf {J}}}}$

Действуя на собственное состояние углового момента | J , м ⟩ , можно показать , что: ^[1]

${\displaystyle T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle }$

Диаграммы с обращением времени для кетов и бюстгальтеров:

Важно правильно расположить вершину, так как операторы прямого и обратного времени могут смешаться.

Внутренний продукт [ править ]

Внутренний продукт двух состояний | J ₁ , м ₁ ⟩ и | J ₂ , м ₂ ⟩ является:

${\displaystyle \langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}}$

и диаграммы:

Для суммирования по внутреннему произведению, также известному в этом контексте как сжатие (ср. Тензорное сжатие ):

${\displaystyle \sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1}$

принято обозначать результат в виде замкнутого круга, помеченного только j , а не m :

Сокращение внутреннего продукта.

Внешние продукты [ править ]

Внешний продукт двух состояний | J ₁ , м ₁ ⟩ и | J ₂ , м ₂ ⟩ является оператором:

${\displaystyle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|}$

и диаграммы:

Для суммирования по внешнему произведению, также известного в этом контексте как сжатие (ср. Тензорное сжатие ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}}$

где результат для T | J , м ⟩ был использован, а также тот факт , что т принимает множество значений , приведенных выше. Нет никакой разницы между состояниями прямого и обратного времени для сжатия внешнего продукта, поэтому здесь они имеют одну и ту же диаграмму, представленную в виде одной линии без направления, снова обозначенной только j, а не m :

Тензорные продукты [ править ]

Тензорное произведение ⊗ n состояний | J ₁ , м ₁ ⟩ , | J ₂ , м ₂ ⟩ , ... | J _п , т _п ⟩ написано

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}}$

а в форме диаграммы каждое отдельное состояние выходит из общей вершины или входит в нее, создавая «веер» стрелок - n линий, прикрепленных к одной вершине.

Вершины в тензорных произведениях имеют знаки (иногда называемые "знаками узлов"), чтобы указать порядок состояний, умноженных на тензор:

• минус знак (-) указывает на то, упорядоченность по часовой стрелке , и${\displaystyle \circlearrowright }$
• плюс знак (+) для против часовой стрелки , .${\displaystyle \circlearrowleft }$

Знаки, конечно, не требуются только для одного состояния, схематично - одна стрелка в вершине. Иногда включаются изогнутые стрелки со знаками, чтобы явно показать смысл умножения тензора, но обычно отображается только знак с опущенными стрелками.

Для внутреннего произведения двух состояний тензорного произведения:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}}$

есть п множество внутренних стрел продукта:

Примеры и приложения [ править ]

• Диаграммы хорошо подходят для коэффициентов Клебша – Гордана .
• Расчеты с реальными квантовыми системами, такими как многоэлектронные атомы и молекулярные системы.

Диаграмма для символа 6-J , .${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

Диаграмма для символа 9-J , .${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}}$

См. Также [ править ]

• Векторная модель атома
• Оператор лестницы
• Пространство фока
• Диаграммы Фейнмана

Ссылки [ править ]

• Юцис, Адольфас П .; Левинсон, И.Б .; Ванагас, В.В. (1962). Математический аппарат теории углового момента . Перевод А. Сена; Сенатор Р.Н. Израильская программа научных переводов.
• Вормер и Палдус (2006) ^[1] предоставляют подробное руководство по диаграммам углового момента.
• И. Линдгрен; Дж. Моррисон (1986). Атомная теория многих тел . Химическая физика. 13 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-16649-8.

Дальнейшее чтение [ править ]

• GWF Дрейк (2006). Справочник Спрингера по атомной, молекулярной и оптической физике (2-е изд.). спрингер. п. 60. ISBN 978-0-387-26308-3.
• У. Калдор; С. Уилсон (2003). Теоретическая химия и физика тяжелых и сверхтяжелых элементов . Успехи теоретической химии и физики. 11 . спрингер. п. 183. ISBN. 978-1-4020-1371-3.
• EJ Brändas; ПО Лёвдин; Э. Брандас; Е.С. Крячко (2004). Фундаментальный мир квантовой химии: дань памяти Пер-Олову Лёвдину . 3 . Springer. п. 385. ISBN 978-1-4020-2583-9.
• П. Швердтфегер (2004). Теория релятивистской электронной структуры: Часть 2. Приложения . Теоретическая и вычислительная химия. 14 . Эльзевир. п. 97. ISBN 978-0-08-054047-4.
• М. Барыш; Ю. Исикава (2010). Релятивистские методы для химиков . Проблемы и достижения вычислительной химии и физики. 10 . Springer. п. 311. ISBN. 978-1-4020-9975-5.

• ГХФ Дирксен; С. Уилсон (1983). Методы вычислительной молекулярной физики . Научная серия НАТО C. 113 . Springer. ISBN 978-90-277-1638-5.
• Зенонас Рудзикас (2007). «8» . Теоретическая атомная спектроскопия . Кембриджские монографии по атомной, молекулярной и химической физике. 7 . Чикагский университет: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-02622-2.
• Lietuvos Fizikų draugija (2004). Lietuvos fizikos žurnalas . 44 . Чикагский университет: Draugija.
• ПЭТ Йоргенсен (1987). Операторы и теория представлений: канонические модели алгебр операторов, возникающие в квантовой механике . Чикагский университет: Эльзевир. ISBN 978-0-08-087258-2.
• П. Цвитанович (2008). Теория групп - птичьи следы, ложь и исключительные группы . Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Нажмите. ISBN 978-0-691-11836-9.

Примечания [ править ]