В математике , категорификация процесс замены теоретико-множественные теорем с категорией теоретико- аналогами. Категорификация, когда сделана успешно заменяет наборы с категориями , функции с функторами и уравнения с естественными изоморфизмами функторов , удовлетворяющих дополнительные свойствами. Термин был введен Луи Крейном .
Обратной категоризацией является процесс декатегоризации . Декатегоризация - это систематический процесс, с помощью которого изоморфные объекты в категории идентифицируются как равные . В то время как декатегоризация - это простой процесс, категоризация обычно намного менее прямолинейна. В теории представлений о алгебрах Ли , модули над конкретными алгебрами являются главными объектами исследования, и есть несколько рамок для какой категорификации такого модуля должно быть, например, так называемые (слабые) абелевых categorifications. [1]
Категоризация и декатегоризация - это не точные математические процедуры, а скорее класс возможных аналогов. Они используются аналогично таким словам, как « обобщение », а не « связки ». [2]
Примеры категоризации
Одна из форм категоризации берет структуру, описанную в терминах множеств, и интерпретирует множества как классы изоморфизма объектов в категории. Например, набор натуральных чисел можно рассматривать как набор мощностей конечных множеств (и любые два набора с одинаковой мощностью изоморфны). В этом случае операции на множестве натуральных чисел, такие как сложение и умножение, можно рассматривать как несущую информацию о продуктах и копроизведениях в категории конечных множеств . Менее абстрактно идея заключается в том, что сначала было манипулирование наборами реальных объектов и взятие сопродуктов (объединение двух наборов в объединение) или продуктов (построение массивов вещей для отслеживания большого их количества). Позже конкретная структура множеств была абстрагирована - доведена «только до изоморфизма», чтобы создать абстрактную теорию арифметики. Это «декатегоризация» - категоризация меняет этот шаг.
Другие примеры включают теории гомологии в топологии . Эмми Нётер дала современную формулировку гомологии как ранга определенных свободных абелевых групп , категоризируя понятие числа Бетти . [3] См также Хованова гомологии как узел инвариант в теории узлов .
Примером теории конечных групп является то, что кольцо симметрических функций категоризируется категорией представлений симметрической группы . Карта декатегоризации отправляет модуль Specht, проиндексированный по разделамк функции Шура индексируется в том же разделе,
по существу следуя отображению характеров от любимого базиса ассоциированной группы Гротендика к теоретико-репрезентативному излюбленному базису кольца симметрических функций . Эта карта отражает сходство структур; Например
имеют одинаковые числа разложения по их соответствующим базам, оба заданные коэффициентами Литтлвуда – Ричардсона .
Абелевы категоризации
Для категории , позволять быть группой Гротендик из.
Позволять быть кольцо , которое свободный как абелева группа , и пусть быть основой такой, что умножение положительно в , т.е.
- с участием
Позволять быть - модуль . Тогда (слабая) абелева категоризациясостоит из абелевой категории , изоморфизм , и точные эндофункторы такой, что
- функтор снимает действие на модуле , т.е. , а также
- есть изоморфизмы , т.е. состав разлагается как прямая сумма функторов так же, как продукт разлагается как линейная комбинация базисных элементов .
Смотрите также
- Комбинаторное доказательство , процесс замены теоретико-числовых теорем теоретико-множественными аналогами.
- Теория высших категорий
- Многомерная алгебра
- Категориальное кольцо
Рекомендации
- ^ Хованов, Михаил ; Мазорчук, Владимир; Строппель, Катарина (2009), «Краткий обзор абелевых категорий», Theory Appl. Категория , 22 (19): 479–508, arXiv : math.RT / 0702746
- ^ Алекс Хоффнунг (10 ноября 2009 г.). «Что такое« категоризация »?» .
- Перейти ↑ Baez 1998 .
- Баэз, Джон ; Долан, Джеймс (1998), «Категоризация», в Getzler, Ezra; Капранов, Михаил (ред.), Теория высших категорий , Contemp. Math., 230 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 1–36, arXiv : math.QA/9802029
- Крейн, Луи; Йеттер, Дэвид Н. (1998), «Примеры категоризации» , Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 39 (1): 3–25
- Мазорчук, Владимир (2010), Лекции по алгебраической категоризации , Серия мастер-классов QGM, Европейское математическое общество, arXiv : 1011.0144 , Bibcode : 2010arXiv1011.0144M
- Сэвидж, Алистер (2014), Введение в категоризацию , arXiv : 1401.6037 , Bibcode : 2014arXiv1401.6037S
- Хованов, Михаил ; Мазорчук, Владимир; Строппель, Катарина (2009), «Краткий обзор абелевых категорий», Theory Appl. Категория , 22 (19): 479–508, arXiv : math.RT / 0702746
дальнейшее чтение
- Сообщение в блоге одного из вышеперечисленных авторов (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html .