Обозначение Бра – Кет

Часть серии по
Квантовая механика
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Амплитуда вероятности Распределение вероятностей Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Фокское пространство
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Гипотеза термализации собственного состояния Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой механике , Бра и кет, или Дирака обозначения , повсеместно. В обозначениях используются угловые скобки « » и « » и вертикальная черта « » для создания «бюстгальтеров» / b r ɑː / и «кетов» / k ɛ t / .${\ displaystyle \ langle}$${\ displaystyle \ rangle}$${\ displaystyle |}$

А кет выглядит как « ». Математически это обозначает вектор , в абстрактном (комплексном) векторном пространстве , и физически он представляет собой состояние некоторой квантовой системы.${\ displaystyle | v \ rangle}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle V}$

Бюстгальтер выглядит как « »,${\displaystyle \langle f|}$ а математически это означает линейную форму , то есть линейное отображение , которая отображает каждый вектор в ряд в комплексной плоскости . Допустим, что линейный функционал действует на вектор , записывается как . ${\displaystyle f:V\rightarrow \mathbb {\mathbb {C} } }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } }$${\displaystyle \langle f|}$${\displaystyle |v\rangle }$${\displaystyle \langle f|v\rangle \in \mathbb {\mathbb {C} } }$

О Введет скалярное произведение с антилинейным первым аргументом, что делает в гильбертова пространстве . С помощью этого скалярного произведения каждого вектор может быть идентифицирован с помощью соответствующей линейной формы, помещая вектор в анти-линейного первого слоте внутреннего продукта: . Тогда соответствие между этими обозначениями . Линейная форма является ковектором к исходному векторному пространству , а набор всех ковекторов формирует двойственное векторное пространство . Назначение этой линейной формы теперь можно понять с точки зрения построения проекций на состояние${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\equiv |\phi \rangle }$${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},\cdot )\equiv \langle \phi |}$${\displaystyle ({\boldsymbol {\phi }},{\boldsymbol {\psi }})\equiv \langle \phi |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle V^{\vee }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}}$, чтобы узнать, насколько линейно зависимы два состояния и т. д.

В векторном пространстве кеты можно идентифицировать с векторами-столбцами, а бюстгальтеры - с векторами-строками. Комбинации бюстгальтеров, кетов и операторов интерпретируются с помощью матричного умножения . Если имеется стандартный эрмитовый внутренний продукт , под этим идентификатором идентификация кетов и бюстгальтеров, и наоборот, обеспечиваемая внутренним продуктом, принимает эрмитово сопряжение (обозначено ).${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$${\displaystyle ({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}})=v^{\dagger }w}$${\displaystyle \dagger }$

Обычно векторную или линейную форму из обозначения бюстгальтера удаляют и используют только метку внутри типографики для бюстгальтера или кетчика. Например, оператор спина на двумерном пространстве в спинорами , имеет собственные значения ½ с eigenspinors . В обозначениях скобок это обычно обозначается как , и . Как и выше, кеты и бюстгальтеры с одной и той же этикеткой интерпретируются как кеты и бюстгальтеры, соответствующие друг другу с использованием внутреннего продукта. В частности, когда они также идентифицированы векторами-строками и столбцами, кеты и бюстгальтеры с одной и той же меткой идентифицируются с эрмитово сопряженными векторами столбцов и строк. ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \pm }$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+},{\boldsymbol {\psi }}_{-}\in \Delta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{+}=|+\rangle }$${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}_{-}=|-\rangle }$

Нотация Брэке была эффективно введена в 1939 г. Полем Дираком ^{[1] [2]} и, таким образом, также известна как нотация Дирака. (Тем не менее, у обозначения бюстгальтера есть предшественник, когда Герман Грассман использовал обозначение для своих внутренних продуктов почти 100 лет назад. ^{[3] [4]} )${\displaystyle [\phi {\mid }\psi ]}$

Введение [ править ]

Обозначение Брэ – Кет - это обозначение линейной алгебры и линейных операторов в комплексных векторных пространствах вместе с их сопряженным пространством как в конечномерном, так и в бесконечномерном случае. Он специально разработан, чтобы упростить типы вычислений, которые часто возникают в квантовой механике . Его использование в квантовой механике довольно широко. Многие явления, которые объясняются с помощью квантовой механики, объясняются с помощью скобок.

Векторные пространства [ править ]

Векторы против кетов [ править ]

В математике термин «вектор» используется для элемента любого векторного пространства. В физике, однако, термин «вектор» гораздо более конкретен: «вектор» относится почти исключительно к таким величинам, как смещение или скорость , которые имеют компоненты, которые относятся непосредственно к трем измерениям пространства или, в релятивистском смысле, к четырем измерениям пространства-времени. . Такие векторы обычно обозначаются над стрелками ( ), жирным шрифтом ( ) или индексами ( ).${\displaystyle {\vec {r}}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle v^{\mu }}$

В квантовой механике квантовое состояние обычно представлено как элемент сложного гильбертова пространства, например, бесконечномерное векторное пространство всех возможных волновых функций (квадратично интегрируемые функции, отображающие каждую точку трехмерного пространства в комплексное число) или что-то еще. абстрактное гильбертово пространство, построенное более алгебраически. Поскольку термин «вектор» уже используется для чего-то еще (см. Предыдущий абзац), а физики склонны предпочитать обычные обозначения указанию того, каким пространством что-то является элементом, обычно и полезно обозначать элемент абстрактного сложного векторного пространства как кет, используя вертикальные полосы и угловые скобки, и называть их «кетами», а не векторами и произносить «кет- » или «ket-A "для${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \phi }$| ⟩ .

Символы, буквы, числа или даже слова - все, что служит удобной меткой - можно использовать в качестве метки внутри кет-кода, при этом четко указывается, что метка указывает вектор в векторном пространстве. Другими словами, символ « | ⟩ » имеет специфический и универсальный математический смысл, в то время как только « » само по себе не делает. Например, | 1⟩ + | 2⟩ не обязательно равно | 3⟩ . Тем не менее, для удобства, обычно за метками внутри кетов скрывается какая-то логическая схема, такая как обычная практика маркировки собственных энергетических сетей в квантовой механике посредством перечисления их квантовых чисел.${\displaystyle |\ \rangle }$. В простейшем случае , метка внутри кета является собственным значением физического оператора, таким как , , и т.д.${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$

Обозначения Брэке [ править ]

Поскольку кеты - это просто векторы в эрмитовом векторном пространстве, ими можно манипулировать, используя обычные правила линейной алгебры, например:

${\displaystyle {\begin{aligned}|A\rangle &=|B\rangle +|C\rangle \\|C\rangle &=(-1+2i)|D\rangle \\|D\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}|x\rangle \,\mathrm {d} x\,.\end{aligned}}}$

Обратите внимание на то, что последняя строка выше включает бесконечно много разных кетов, по одному на каждое действительное число x .

Если кет является элементом векторного пространства, бюстгальтер является элементом его двойственного пространства , то есть бюстгальтер - это линейный функционал, который является линейным отображением из векторного пространства в комплексные числа. Таким образом, полезно рассматривать кеты и бюстгальтеры как элементы разных векторных пространств (однако см. Ниже), причем оба являются разными полезными концепциями.${\displaystyle \langle A|}$

Бюстгальтер и кет (т.е. функционал и вектор) могут быть объединены в оператор ранга один с внешним произведением${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |:|\xi \rangle \mapsto |\psi \rangle \langle \phi |\xi \rangle ~.}$

Внутренний продукт и идентификация бюстгальтера на гильбертовом пространстве [ править ]

Обозначение бюстгальтера особенно полезно в гильбертовых пространствах, у которых есть внутреннее произведение ^[5], которое позволяет эрмитово сопряжение и отождествлять вектор с линейным функционалом, то есть кет с бюстгальтером, и наоборот (см. Теорему о представлении Рисса ). Скалярное произведение на гильбертовом пространстве (с первым аргументом против линейного в качестве предпочтительного физики) полностью эквивалентно (анти линейного) идентификации между пространством кетова и что бюстгальтеры в бюстгальтере кет обозначений: для вектора кет определить функциональную (то есть бюстгальтер) от${\displaystyle (\ ,\ )}$${\displaystyle \phi =|\phi \rangle }$${\displaystyle f_{\phi }=\langle \phi |}$

${\displaystyle (\phi ,\psi )=(|\phi \rangle ,|\psi \rangle ):=f_{\phi }(\psi )=\langle \phi |\,{\bigl (}|\psi \rangle {\bigr )}=\langle \phi {\mid }\psi \rangle }$

Бюстгальтеры и кеты как векторы строк и столбцов [ править ]

В простом случае, когда мы рассматриваем векторное пространство , кет может быть отождествлен с вектором-столбцом , а бюстгальтер - с вектором-строкой . Если , кроме того , мы используем стандартные эрмитово скалярное произведение на , бюстгальтер , соответствующий кет, в частности бюстгальтер ⟨ м | и кет | м ⟩ с одной и теми же этикетками являются сопряженным транспонированием . Более того, соглашения установлены таким образом, что написание бюстгальтеров, кетов и линейных операторов рядом друг с другом просто подразумевает матричное умножение . ^[6] В частности, внешний продукт${\displaystyle \mathbf {\mathbb {C} } ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {\mathbb {C} } ^{n}}$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$ столбца и вектора-строки ket и bra можно идентифицировать с помощью умножения матриц (вектор-столбец умножается на вектор-строку, равняется матрице).

Для конечномерного векторного пространства, используя фиксированный ортонормированный базис , внутреннее произведение может быть записано как матричное умножение вектора-строки на вектор-столбец:

${\displaystyle \langle A|B\rangle \doteq A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+\cdots +A_{N}^{*}B_{N}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}}$

Исходя из этого, бюстгальтеры и кеты можно определить как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A|&\doteq {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\\|B\rangle &\doteq {\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\\vdots \\B_{N}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

а потом понятно, что бюстгальтер рядом с кет подразумевает матричное умножение .

Сопряженное транспонирование (также называемое эрмитово сопряженным ) бюстгальтера является соответствующими кетами , и наоборот:

${\displaystyle \langle A|^{\dagger }=|A\rangle ,\quad |A\rangle ^{\dagger }=\langle A|}$

потому что если начать с бюстгальтера

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&\cdots &A_{N}^{*}\end{pmatrix}}\,,}$

затем выполняет комплексное сопряжение , а затем транспонирует матрицу , в итоге получается кет

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{N}\end{pmatrix}}}$

Запись элементов конечномерного (или mutatis mutandis счетно бесконечного) векторного пространства в виде вектора-столбца чисел требует выбора основы . Выбор основы не всегда полезно , потому что квантовая механика вычисления включают часто переключаясь между различными основаниями (например , положением основой, импульсом, энергией основой базисом), и можно написать что - то вроде « | м ⟩ » без привязки к какой - либо конкретной основе. В ситуациях с участием двух различных важных базисных векторов, базисные векторы могут быть приняты в обозначениях явно и здесь будет называться просто « | - ⟩ » и « | + ⟩ ».

Ненормализуемые состояния и негильбертовы пространства [ править ]

Обозначения Брэке можно использовать, даже если векторное пространство не является гильбертовым пространством .

В квантовой механике принято записывать кеты с бесконечной нормой , то есть ненормируемые волновые функции . Примеры включают состояния, волновые функции которых являются дельта-функциями Дирака или бесконечными плоскими волнами . Технически они не принадлежат самому гильбертову пространству . Однако определение «гильбертова пространства» может быть расширено, чтобы учесть эти состояния (см. Конструкцию Гельфанда – Наймарка – Сигала или оснащенные гильбертовы пространства ). Обозначение бюстгальтера продолжает работать аналогичным образом в этом более широком контексте.

Банаховы пространства - это другое обобщение гильбертовых пространств. В банаховом пространстве B векторы могут быть обозначены кетами, а непрерывные линейные функционалы - бюстгальтерами. В любом векторном пространстве без топологии мы также можем обозначить векторы kets и линейные функционалы bras. В этих более общих контекстах скобка не имеет значения внутреннего продукта, потому что теорема о представлении Рисса не применяется.

Использование в квантовой механике [ править ]

Математическая структура квантовой механики в значительной степени основана на линейной алгебре :

• Волновые функции и другие квантовые состояния могут быть представлены как векторы в комплексном гильбертовом пространстве . (Точная структура этого гильбертова пространства зависит от ситуации.) В обозначениях бра-кета, например, электрон может находиться в «состоянии» | г | ⟩ . (Технически, квантовые состояния лучей векторов в гильбертовом пространстве, а с | г | ⟩ соответствует одному и тому же состояние для любого ненулевого комплексного числа с .)
• Квантовые суперпозиции можно описать как векторные суммы составляющих состояний. Например, электрон в состоянии | 1⟩ + i | 2⟩ находится в квантовой суперпозиции состояний | 1⟩ и | 2⟩ .
• Измерения связаны с линейными операторами (называемыми наблюдаемыми ) в гильбертовом пространстве квантовых состояний.
• Динамика также описывается линейными операторами в гильбертовом пространстве. Например, в картине Шредингера есть линейный оператор эволюции во времени U, обладающий тем свойством, что если электрон находится в состоянии | г | ⟩ прямо сейчас, в более позднее время он будет находиться в состоянии U | г | ⟩ , то же U для всех возможных | г | ⟩ .
• Нормализация волновой функции - это масштабирование волновой функции так, чтобы ее норма была равна 1.

Поскольку практически каждое вычисление в квантовой механике включает в себя векторы и линейные операторы, оно может включать и часто включает в себя брэкет-нотацию. Вот несколько примеров:

Позиционно-космическая волновая функция без вращения [ править ]

Гильбертово пространство точечной частицы со спином -0 натянуто на «позиционный базис » { | г ⟩ } , где метка г распространяется на множество всех точек в пространстве позиций . Эта метка является собственным значением оператора положения, действующего на такое базовое состояние ,. Поскольку в базисе есть несчетное бесконечное число компонент вектора, это бесчисленное бесконечномерное гильбертово пространство. Размеры гильбертова пространства (обычно бесконечного) и позиционного пространства (обычно 1, 2 или 3) не следует объединять.${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle }$

Начиная с любого ket | Ψ⟩ в этом гильбертовом пространстве, можно определить комплексную скалярную функцию от r , известную как волновая функция ,

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,.}$

В левой части Ψ ( r ) - функция, отображающая любую точку в пространстве в комплексное число; в правой части | Ψ⟩ = ∫ d ³ r Ψ ( r ) | г ⟩ является кетами , состоящими из суперпозиции кетова с относительными коэффициентами , определенных этой функцией.

В таком случае принято определять линейные операторы, действующие на волновые функции, в терминах линейных операторов, действующих на кеты, как

${\displaystyle {\hat {A}}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {A}}|\Psi \rangle \,.}$

Например, оператор импульса имеет следующее координатное представление:${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}(\mathbf {r} )~\Psi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}|\Psi \rangle =-i\hbar \nabla \Psi (\mathbf {r} )\,.}$

Иногда даже встречается такое выражение, как

${\displaystyle \nabla |\Psi \rangle \,,}$

хотя это что-то вроде злоупотребления обозначениями . Дифференциальный оператор следует понимать как абстрактный оператор, действующий на кеты, который имеет эффект дифференцирования волновых функций после того, как выражение проецируется на базис положения, даже если в базисе импульса этот оператор сводится к простому оператору умножения ( пользователя iħ p ). То есть, чтобы сказать,${\displaystyle \nabla \langle \mathbf {r} |\Psi \rangle \,,}$

${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \langle \mathbf {r} |~,}$

или же

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=\int d^{3}\mathbf {r} ~|\mathbf {r} \rangle (-i\hbar \nabla )\langle \mathbf {r} |~.}$

Перекрытие состояний [ править ]

В квантовой механике выражение ⟨ ф | г | ⟩ , как правило , интерпретируется как амплитуда вероятности для состояния ф к коллапсу в государственный ф . Математически это означает коэффициент для проекции ψ на φ . Он также описывается как проекция состояния ψ на состояние φ .

Изменение основы для частицы со спином 1/2 [ править ]

Стационарная частица со спином 1/2 имеет двумерное гильбертово пространство. Один ортонормированный базис :

${\displaystyle |{\uparrow }_{z}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{z}\rangle }$

где | ↑ _г ⟩ это состояние с определенным значением спина оператора S г , равные + ½ и | ↓ _г ⟩ это состояние с определенным значением оператора спина S г , равных -½.

Поскольку они являются основой , любое квантовое состояние частицы может быть выражено как линейная комбинация (т. Е. Квантовая суперпозиция ) этих двух состояний:

${\displaystyle |\psi \rangle =a_{\psi }|{\uparrow }_{z}\rangle +b_{\psi }|{\downarrow }_{z}\rangle }$

где a _ψ и b _ψ - комплексные числа.

Другая основа для того же гильбертова пространства:

${\displaystyle |{\uparrow }_{x}\rangle \,,\;|{\downarrow }_{x}\rangle }$

определяется в терминах S _x, а не S _z .

Опять же, любое состояние частицы можно выразить как линейную комбинацию этих двух:

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\psi }|{\uparrow }_{x}\rangle +d_{\psi }|{\downarrow }_{x}\rangle }$

В векторной форме вы можете написать

${\displaystyle |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}a_{\psi }\\b_{\psi }\end{pmatrix}}\quad {\text{or}}\quad |\psi \rangle \doteq {\begin{pmatrix}c_{\psi }\\d_{\psi }\end{pmatrix}}}$

в зависимости от того, какую основу вы используете. Другими словами, «координаты» вектора зависят от используемого базиса.

Существует математическая связь между , , и ; см. изменение базы .${\displaystyle a_{\psi }}$${\displaystyle b_{\psi }}$${\displaystyle c_{\psi }}$${\displaystyle d_{\psi }}$

Подводные камни и неоднозначное использование [ править ]

Существуют некоторые условные обозначения и способы использования обозначений, которые могут сбивать с толку или двусмысленно для непосвященного или раннего ученика.

Разделение внутреннего продукта и векторов [ править ]

Причина путаницы заключается в том, что эта нотация не отделяет операцию внутреннего продукта от нотации вектора (бюстгальтера). Если бюстгальтер-вектор (двойное пространство) построен как линейная комбинация других бра-векторов (например, при его выражении в некотором базисе), запись создает некоторую двусмысленность и скрывает математические детали. Мы можем сравнить обозначение bra-ket с использованием полужирного шрифта для векторов, таких как , и для внутреннего продукта. Рассмотрим следующий двойственный пространственный бра-вектор в базисе :${\displaystyle {\boldsymbol {\psi }}}$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle \{|e_{n}\rangle \}}$

${\displaystyle \langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}}$

Должно быть определено по соглашению, находятся ли комплексные числа внутри или вне внутреннего продукта, и каждое соглашение дает разные результаты.${\displaystyle \{\psi _{n}\}}$

${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}}$

${\displaystyle \langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}}$

Повторное использование символов [ править ]

Обычно для меток и констант используется один и тот же символ . Например, где символ используется одновременно как имя оператора , его собственный вектор и соответствующее собственное значение . Иногда шляпу опускают и для операторов, и можно увидеть такие обозначения, как ^[7]${\displaystyle {\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle }$

Эрмитово сопряжение кетов [ править ]

Обычно можно увидеть использование , где кинжал ( ) соответствует эрмитовому конъюгату . Однако с технической точки зрения это неверно, поскольку кет представляет собой вектор в комплексном гильбертовом пространстве , а бюстгальтер является линейным функционалом от векторов в . Другими словами, это просто вектор, а это комбинация вектора и внутреннего продукта.${\displaystyle |\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |}$${\displaystyle \dagger }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$

Операции внутри бюстгальтеров и кетов [ править ]

Это сделано для быстрой записи векторов масштабирования. Например, если вектор масштабируется , он может быть обозначен . Это может быть неоднозначным, поскольку это просто метка для состояния, а не математический объект, над которым могут выполняться операции. Это использование более распространено при обозначении векторов как тензорных произведений, когда часть меток перемещается за пределы разработанного слота, например .${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle |\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}_{1}\rangle \otimes |\alpha /{\sqrt {2}}_{2}\rangle }$

Линейные операторы [ править ]

Линейные операторы, действующие на кетов [ править ]

Линейный оператор представляет собой карту , которая вводит кета и выводит кета. (Чтобы называться «линейным», необходимы определенные свойства .) Другими словами, если является линейным оператором и является кет-вектором, то является другим кет-вектором.${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

В -мерном гильбертовом пространстве мы можем наложить базис на пространство и представить его в терминах его координат как вектор-столбец . Используя ту же основу для , он представлен сложной матрицей. Кет-вектор теперь можно вычислить умножением матриц .${\displaystyle N}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle }$

Линейные операторы широко используются в теории квантовой механики. Например, наблюдаемые физические величины представлены самосопряженными операторами , такими как энергия или импульс , тогда как преобразующие процессы представлены унитарными линейными операторами, такими как вращение или прогрессия времени.

Линейные операторы, действующие на бюстгальтеры [ править ]

Операторы также могут рассматриваться как действующие на бюстгальтеры с правой стороны . В частности, если линейный оператор и ⟨ ф | это бюстгальтер, то ⟨ ф | А - еще один бюстгальтер, определяемый правилом

${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle {\bigr )}\,,}$

(другими словами, композиция функций ). Это выражение обычно записывается как (ср. Внутренний продукт энергии )

${\displaystyle \langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.}$

В одном из N - мерном гильбертовом пространстве, ⟨ ф | может быть записан как вектор-строка 1 × N , а A (как и в предыдущем разделе) является матрицей N × N. Тогда бюстгальтер ⟨ ф | A можно вычислить обычным умножением матриц .

Если один и тот же вектор состояния появляется и на бюстгальтере, и на кет-стороне,

${\displaystyle \langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,}$

то это выражение дает математическое ожидание или среднее или среднее значение наблюдаемой, представленной оператором A для физической системы в состоянии | г | ⟩ .

Внешние продукты [ править ]

Удобный способ для определения линейных операторов в гильбертовом пространстве Н дается внешним произведением : если ⟨ ф | бюстгальтер и | г | ⟩ является кет, внешний продукт

${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |}$

обозначает оператор ранга один с правилом

${\displaystyle {\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle }$.

Для конечномерного векторного пространства внешний продукт можно понимать как простое матричное умножение:

${\displaystyle |\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}$

Внешний продукт представляет собой матрицу N × N , как и ожидалось для линейного оператора.

Одно из применений внешнего продукта - создание операторов проекции . Учитывая кет | г | ⟩ нормы 1, ортогональная проекция на подпространство , натянутое на | г | ⟩ есть

${\displaystyle |\psi \rangle \,\langle \psi |\,.}$

Это идемпотент в алгебре наблюдаемых, действующий в гильбертовом пространстве.

Эрмитов сопряженный оператор [ править ]

Так же , как кеты и бюстгальтеры могут быть преобразованы друг в друг (изготовление | ф ⟩ в ⟨ ф | ), элемент из сопряженного пространства , соответствующий A | г | ⟩ есть ⟨ г | | ^† , где ^† обозначает эрмиты конъюгат (или сопряженный) оператор А . Другими словами,

${\displaystyle |\phi \rangle =A|\psi \rangle \quad {\text{if and only if}}\quad \langle \phi |=\langle \psi |A^{\dagger }\,.}$

Если A выражается в виде матрицы размера N × N , то A ^† является ее сопряженной транспонированной матрицей .

Самосопряженные операторы, где A = A ^† , играют важную роль в квантовой механике; например, наблюдаемое всегда описывается самосопряженным оператором. Если является самосопряженным оператором, то ⟨ г | | А | г | ⟩ всегда вещественное число (не сложно). Это означает, что ожидаемые значения наблюдаемых реальны.

Свойства [ править ]

Нотация Брэке была разработана для облегчения формального манипулирования линейно-алгебраическими выражениями. Некоторые из свойств, которые позволяют эту манипуляцию, перечислены здесь. В дальнейшем, с ₁ и гр ₂ обозначают произвольные комплексные числа , с * обозначает комплексное сопряжение из C , и B обозначают произвольные линейные операторы, и эти свойства провести при любом выборе бюстгальтеров и кетов.

Линейность [ править ]

• Поскольку бюстгальтеры являются линейными функционалами,

${\displaystyle \langle \phi |{\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle \,.}$

• По определению сложения и умножения линейных функционалов в сопряженном пространстве , ^[8]

${\displaystyle {\bigl (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigr )}|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle \,.}$

Ассоциативность [ править ]

Для любого выражения, содержащего комплексные числа, бюстгальтеры, кеты, внутренние продукты, внешние продукты и / или линейные операторы (но не сложения), записанные в форме скобок, группировки в скобках не имеют значения (т. Е. Сохраняется свойство ассоциативности ). Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\bigl (}A|\phi \rangle {\bigr )}={\bigl (}\langle \psi |A{\bigr )}|\phi \rangle \,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\langle \psi |A|\phi \rangle \\{\bigl (}A|\psi \rangle {\bigr )}\langle \phi |=A{\bigl (}|\psi \rangle \langle \phi |{\bigr )}\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,A|\psi \rangle \langle \phi |\end{aligned}}}$

и так далее. Выражения справа (без скобок) могут быть записаны однозначно из- за равенства слева. Обратите внимание, что свойство ассоциативности не выполняется для выражений, которые включают нелинейные операторы, такие как антилинейный оператор обращения времени в физике.

Эрмитово спряжение [ править ]

Обозначение Брэ-Кет позволяет особенно легко вычислить эрмитово сопряженное выражение (также называемое кинжалом и обозначаемое † ). Формальные правила таковы:

• Эрмитово сопряжение бюстгальтера - это соответствующий кет, и наоборот.
• Эрмитово сопряжение комплексного числа является его комплексно сопряженным.
• Эрмитово сопряжение эрмитово сопряженного чего-либо (линейных операторов, бюстгальтеров, кетов, чисел) есть само, т. Е.

${\displaystyle \left(x^{\dagger }\right)^{\dagger }=x\,.}$

• Для любой комбинации комплексных чисел, бюстгальтеров, кетов, внутренних произведений, внешних произведений и / или линейных операторов, записанных в обозначениях бра-кет, его эрмитово сопряжение можно вычислить, изменив порядок компонентов и взяв эрмитово сопряжение числа каждый.

Этих правил достаточно, чтобы формально написать эрмитово сопряжение любого такого выражения; вот некоторые примеры:

• Кеты:

${\displaystyle {\bigl (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigr )}^{\dagger }=c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{2}|\,.}$

• Внутренние продукты:

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |\phi \rangle \,.}$

Обратите внимание , что ⟨ ф | г | ⟩ является скаляром, так эрмитово сопряженная только комплексно сопряженное, т.е.

${\displaystyle {\bigl (}\langle \phi |\psi \rangle {\bigr )}^{\dagger }=\langle \phi |\psi \rangle ^{*}}$

• Матричные элементы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |A|\psi \rangle ^{*}&=\left\langle \psi \left|A^{\dagger }\right|\phi \right\rangle \\\left\langle \phi \left|A^{\dagger }B^{\dagger }\right|\psi \right\rangle ^{*}&=\langle \psi |BA|\phi \rangle \,.\end{aligned}}}$

• Внешние продукты:

${\displaystyle {\Big (}{\bigl (}c_{1}|\phi _{1}\rangle \langle \psi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}|\phi _{2}\rangle \langle \psi _{2}|{\bigr )}{\Big )}^{\dagger }={\bigl (}c_{1}^{*}|\psi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|{\bigr )}+{\bigl (}c_{2}^{*}|\psi _{2}\rangle \langle \phi _{2}|{\bigr )}\,.}$

Композитные бюстгальтеры и кеты [ править ]

Два гильбертовая V и W могут образовать третье пространство V ⊗ W с помощью тензорного произведения . В квантовой механике это используется для описания составных систем. Если система состоит из двух подсистем, описанных в V и W соответственно, то гильбертово пространство всей системы является тензорным произведением этих двух пространств. (Исключение составляют случаи, когда подсистемы на самом деле являются идентичными частицами . В этом случае ситуация немного сложнее.)

Если | г | ⟩ является кет в V и | ф ⟩ является кет в W , прямое произведение двух кетов является кет в V ⊗ W . Об этом написано в различных обозначениях:

${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle \,,\quad |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle \,,\quad |\psi \phi \rangle \,,\quad |\psi ,\phi \rangle \,.}$

См. Квантовую запутанность и парадокс ЭПР для приложений этого продукта.

Оператор подразделения [ править ]

Рассмотрим полную ортонормированную систему ( базис ),

${\displaystyle \{e_{i}\ |\ i\in \mathbb {N} \}\,,}$

для гильбертова пространства H относительно нормы из скалярного произведения ⟨·, · .

Из базового функционального анализа известно, что любой кет также может быть записан как${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in \mathbb {N} }\langle e_{i}|\psi \rangle |e_{i}\rangle ,}$

с ⟨· | ·⟩ - скалярным произведением в гильбертовом пространстве.

Из коммутативности кетов с (комплексными) скалярами следует, что

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|=\mathbb {1} }$

должен быть оператором идентичности , который отправляет каждый вектор самому себе.

Таким образом, это может быть вставлено в любое выражение, не влияя на его значение; Например

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v|w\rangle &=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }|e_{i}\rangle \langle e_{i}|\right)\left(\sum _{j\in \mathbb {N} }|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\right)|w\rangle \\&=\langle v|e_{i}\rangle \langle e_{i}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|w\rangle \,,\end{aligned}}}$

где в последней строке используется соглашение Эйнштейна о суммировании , чтобы избежать беспорядка.

В квантовой механике , часто случается так, что мало или нет информации о внутреннем продукте ⟨ г | | ф ⟩ два произвольных (государственный) кетов присутствует, в то время как еще можно сказать о коэффициентах разложения ⟨ ф | е _я ⟩ = ⟨ е _я | г | ⟩ * и ⟨ е _я | ф ⟩ из этих векторов по отношению к конкретному (ортонормированной) основе. В этом случае особенно полезно вставить оператор установки в кронштейн один или несколько раз.

Для получения дополнительной информации см. Разрешение удостоверения ,

•     1 = ∫ d x | х ⟩ ⟨ х | = ∫ d p | р ⟩ ⟨ р | , куда
•     | р ⟩ = ∫ д х е ^{IXP / ħ} | х ⟩ / √ 2 πħ .

Поскольку ⟨ х '| х ⟩ = δ ( х - х ') , плоские волны следует, ^[9]

•      ⟨ Х | р ⟩ = е ^{IXP / ħ} / √ 2 πħ .

Обычно, когда все матричные элементы оператора, например

${\displaystyle \langle x|A|y\rangle }$

доступны, это разрешение служит для восстановления полного оператора,

${\displaystyle \int dxdy~~|x\rangle \langle x|A|y\rangle \langle y|=A~.}$

Обозначения, используемые математиками [ править ]

Объектом, который физики рассматривают при использовании обозначений на скобках, является гильбертово пространство ( полное внутреннее пространство продукта ).

Пусть H гильбертово пространство и ч ∈ H вектор в Н . Что физики обозначили бы через | ч ⟩ является сам вектор. То есть,

${\displaystyle |h\rangle \in {\mathcal {H}}}$.

Пусть H * быть сопряженное из H . Это пространство линейных функционалов на Н . Изоморфизм Φ: H → H * определяется формулой Φ ( h ) = φ _h , где для каждого g ∈ H определим

${\displaystyle \phi _{h}(g)={\mbox{IP}}(h,g)=(h,g)=\langle h,g\rangle =\langle h|g\rangle }$,

где IP (·, ·) , (·, ·) , ⟨·, ·⟩ и ⟨· | ·⟩ - это просто разные обозначения для выражения внутреннего произведения между двумя элементами в гильбертовом пространстве (или для первых трех в любом внутреннее пространство продукта). Notational путаница возникает при определении ф _ч и г с ⟨ ч | и | г ⟩ соответственно. Это из-за буквальных символических замен. Пусть ф _ч = H = ⟨ ч | и пусть g = G = | г ⟩ . Это дает

${\displaystyle \phi _{h}(g)=H(g)=H(G)=\langle h|(G)=\langle h|{\bigl (}|g\rangle {\bigr )}\,.}$

Круглые скобки игнорируются, а двойные черты удаляются. Некоторые свойства этого обозначения удобны, поскольку мы имеем дело с линейными операторами, а композиция действует как умножение колец .

Более того, математики обычно пишут двойственную сущность не на первом месте, как это делают физики, а на втором, и они обычно используют не звездочку, а черточку (которую физики оставляют для средних и сопряженного спинора Дирака ) для обозначения комплексно-сопряженные числа; т.е. для скалярных произведений математики обычно пишут

${\displaystyle (\phi ,\psi )=\int \phi (x)\cdot {\overline {\psi (x)}}\,\mathrm {d} x\,,}$

тогда как физики писали бы для того же количества

${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\int dx~~\psi ^{*}(x)\cdot \phi (x)~.}$

См. Также [ править ]

• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• n -щелевое интерферометрическое уравнение
• Квантовое состояние
• Внутренний продукт

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дирак, РАМ (1939). «Новые обозначения для квантовой механики». Математические труды Кембриджского философского общества . 35 (3): 416–418. Bibcode : 1939PCPS ... 35..416D . DOI : 10.1017 / S0305004100021162 .. Также см. Его стандартный текст, Принципы квантовой механики , IV издание, Clarendon Press (1958), ISBN 978-0198520115 
• Грассманн, Х. (1862). Теория расширений . История источников математики. 2000 перевод Ллойда К. Канненберга. Американское математическое общество, Лондонское математическое общество.
• Каджори, Флориан (1929). История математических обозначений Том II . Издательство Open Court . п. 134 . ISBN 978-0-486-67766-8.
• Шанкар Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). ISBN 0-306-44790-8.
• Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Пески, Мэтью (1965). Лекции Фейнмана по физике . III . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02118-8.

Внешние ссылки [ править ]

• Ричард Фицпатрик, «Квантовая механика: курс для выпускников» , Техасский университет в Остине. Включает:
  • 1. Кетское пространство
  • 2. Пространство для бюстгальтера.
  • 3. Операторы
  • 4. Внешний продукт
  • 5. Собственные значения и собственные векторы.
• Роберт Литтлджон, Конспекты лекций «Математический формализм квантовой механики», включая обозначения на скобках. Калифорнийский университет в Беркли.
• Gieres, F. (2000). «Математические сюрпризы и формализм Дирака в квантовой механике». Rep. Prog. Phys . 63 (12): 1893–1931. arXiv : квант-ph / 9907069 . Bibcode : 2000RPPh ... 63.1893G . DOI : 10.1088 / 0034-4885 / 63/12/201 . S2CID  10854218 .