Правила трансформации |
---|
Исчисление высказываний |
Правила вывода |
Правила замены |
Логика предикатов |
В логике высказываний , двойное отрицание является теорема , которая гласит , что «Если утверждение верно, то это не так , что это утверждение не соответствует действительности.» Это выражается тем, что суждение является логически эквивалентно , чтобы не (не-А ), или с помощью формулы А ≡ ~ (~ А) , где знак ≡ выражает логическую эквивалентность и знак ~ выражает отрицание . [1]
Как и закон исключенного третьего , этот принцип считается законом мышления в классической логике , [2] , но он запрещен в интуиционистской логике . [3] Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний по Рассел и Уайтхед в Principia Mathematica как:
- [4]
- «Это принцип двойного отрицания, т. Е. Предложение эквивалентно ложности своего отрицания».
Устранение и введение [ править ]
Двойное устранение отрицания и двойное введение отрицания две действительные правила замены . Они являются умозаключения , что если верно, то не не-А истинно и его обратное , что, если не не-А истинно, то верно. Правило позволяет вводить или исключать отрицание из формального доказательства . Правило основано на эквивалентности, например, ложно, что не идет дождь. и идет дождь.
Двойное введение отрицания правило:
- P P
и правило исключения двойного отрицания :
- P P
Где " " - металогический символ, представляющий "может быть заменен в доказательстве на".
В логике, имеющей оба правила, отрицание - это инволюция .
Формальные обозначения [ править ]
Введение двойного отрицания правило может быть записано в секвенции записи:
Устранение двойного отрицания правило можно записать в виде:
В форме правила :
и
или как тавтология (простое предложение исчисления высказываний):
и
Их можно объединить в одну двусмысленную формулу:
- .
Поскольку бикондиционность является отношением эквивалентности , любой экземпля𠬬 A в правильно сформированной формуле может быть заменен на A , оставляя неизменным значение истинности правильно сформированной формулы.
Двойное отрицательное исключение - это теорема классической логики , но не более слабых логик, таких как интуиционистская логика и минимальная логика . Введение двойного отрицания - это теорема как интуиционистской логики, так и минимальной логики как есть .
Из-за своего конструктивного характера утверждение типа « Дело не в том, что идет дождь» слабее, чем «Идет дождь». Последнее требует доказательства дождя, тогда как первое требует просто доказательства того, что дождь не будет противоречить. Это различие также возникает в естественном языке в виде литот .
Доказательства [ править ]
В классической системе исчисления высказываний [ править ]
В дедуктивных системах Гильберта для логики высказываний двойное отрицание не всегда принимается как аксиома (см. Список систем Гильберта ), а скорее является теоремой. Опишем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенной Яном Лукасевичем :
- А1.
- A2.
- A3.
Мы используем доказанную здесь лемму , которую мы называем (L1), и используем следующую дополнительную лемму, доказанную здесь :
- (L2)
Сначала докажем . Для краткости обозначим φ 0 . Мы также неоднократно используем метод гипотетической метатеоремы силлогизма как сокращение для нескольких шагов доказательства.
- (1) (пример (A1))
- (2) (пример (A3))
- (3) (пример (A3))
- (4) (из (2) и (3) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)
- (5) (пример (A1))
- (6) (из (4) и (5) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)
- (7) (экземпляр (L2))
- (8) (из (1) и (7) по modus ponens)
- (9) (из (6) и (8) с помощью гипотетической метатеоремы силлогизма)
Теперь докажем .
- (1) (пример первой части только что доказанной теоремы)
- (2) (пример (A3))
- (3) (из (1) и (2) по modus ponens)
И доказательство закончено.
См. Также [ править ]
- Негативный перевод Гёделя – Гентцена
Ссылки [ править ]
- ^ Или альтернативный символизм, такой как A ¬ (¬A) или * 49 o : A ¬¬A Клини (Kleene 1952: 119; в оригинале Клини использует удлиненную тильду ∾ для логической эквивалентности, которая здесь аппроксимируется «ленивым S». ".)
- ^ Гамильтон обсуждает Гегеля следующим образом: «В более поздних философских системах универсальность и необходимость аксиомы разума вместе с другими логическими законами оспаривалась и отвергалась спекулянтами по поводу абсолюта. [ О принципе двойного отрицания в качестве еще одного закона Мысли см. Fries, Logik , §41, p. 190; Calker, Denkiehre odor Logic und Dialecktik , §165, p. 453; Beneke, Lehrbuch der Logic , §64, p. 41.] "(Гамильтон 1860: 68)
- ^ О из Клини формулы * 49 O указывает «демонстрация не является действительным для обеих систем [классической системы и интуиционистской системы]», Клини 1952: 101.
- ^ PM 1952 переиздание 2-го издания 1927 года, страницы 101-102, страницы 117.
Библиография [ править ]
- Уильям Гамильтон , 1860, Лекции по метафизике и логике, Vol. II. Логика; Под редакцией Генри Мансела и Джона Вейтча , Бостон, Гулд и Линкольн.
- Кристоф Сигварт , 1895, Логика: суждение, концепция и вывод; Второе издание, перевод Хелен Денди , Macmillan & Co., Нью-Йорк.
- Стивен К. Клини , 1952 г., Введение в метаматематику , 6-е переиздание с исправлениями 1971 г., издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN 0-7204-2103-9 .
- Стивен К. Клини , 1967, математическая логика , издание Dover 2002, Dover Publications, Inc, Mineola NY ISBN 0-486-42533-9
- Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica to * 56 , 2-е издание 1927 г., перепечатка 1962 г., Кембридж в University Press.