Теорема Эренфеста

Квантовая механика
Часть серии по
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \| \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} \| \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Амплитуда вероятности Распределение вероятностей Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Фокское пространство
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Гипотеза термализации собственного состояния Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Теорема Эренфеста , названная в честь Пауля Эренфеста , австрийского физика-теоретика из Лейденского университета , связывает производную по времени математических ожиданий операторов положения и импульса x и p с математическим ожиданием силы, действующей на массивную частицу, движущуюся в скалярном потенциале. , ^[1] ${\ Displaystyle F = -V '(х)}$ ${\ Displaystyle V (х)}$

${\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle, \; \; {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = - \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle ~.}$

Хотя на первый взгляд может показаться, что теорема Эренфеста утверждает, что квантово-механические математические ожидания подчиняются классическим уравнениям движения Ньютона, на самом деле это не так. ^[2] Если бы пара удовлетворяла второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения должна была бы быть ${\ displaystyle (\ langle x \ rangle, \ langle p \ rangle)}$

{\ displaystyle -V '\ left (\ left \ langle x \ right \ rangle \ right),}

что обычно не то же самое, что

{\ displaystyle - \ left \ langle V '(x) \ right \ rangle.}

Если, например, потенциал кубический (т.е. пропорционален ), то он квадратичный (пропорционален ). Это означает, что в случае второго закона Ньютона правая часть была бы в форме , а в теореме Эренфеста она была бы в форме . Разница между этими двумя величинами является квадратом неопределенности и поэтому не равна нулю. ${\ Displaystyle V (х)}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$ ${\ displaystyle V '}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ langle х \ rangle ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ langle х ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle x}$

Исключение составляет случай, когда классические уравнения движения являются линейными, то есть квадратичными и линейными. В том частном случае и все-таки согласен. Таким образом, в случае квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют классическим траекториям. $V$ $V'$ $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(x)\right\rangle$

Для общих систем, если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки , то и будет почти одинаковым, поскольку оба будут примерно равны . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут приблизительно следовать классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается локализованной в положении. ^[3] $x_{0}$ $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ $\left\langle V'(x)\right\rangle$ $V'(x_{0})$

Теорема Эренфеста является частным случаем более общей связи между математическим ожиданием любого квантовомеханического оператора и математическим ожиданием коммутатора этого оператора с гамильтонианом системы ^[4]^[5]

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,$

где некоторый квантово - механический и оператор $⟨$ $⟩$ является его ожиданием значения . Эта более общая теорема фактически не была выведена Эренфестом (она принадлежит Вернеру Гейзенбергу ). ^[^{необходима цитата}^]

Это наиболее очевидно в гейзенберговской картине квантовой механики, где это просто математическое ожидание уравнения движения Гейзенберга. Он обеспечивает математическое обоснование принципа соответствия .

Причина в том, что теорема Эренфеста тесно связана с теоремой Лиувилля о гамильтоновой механике , которая использует скобку Пуассона вместо коммутатора. Эмпирическое правило Дирака предполагает, что утверждения квантовой механики, которые содержат коммутатор, соответствуют утверждениям классической механики, где коммутатор $заменяется$ скобкой Пуассона, умноженной на $iħ$ . Это заставляет математические ожидания подчиняться соответствующим классическим уравнениям движения при условии, что гамильтониан не более чем квадратичен по координатам и импульсам. В противном случае уравнения эволюции могут сохраняться приблизительно при условии, что флуктуации малы.

Вывод в картине Шредингера [ править ]

Предположим, что некоторая система в настоящее время находится в квантовом состоянии $Φ$ . Если мы хотим узнать мгновенную производную по времени от математического ожидания $A$ , то есть по определению

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle A\rangle &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,\mathrm {d} ^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,\mathrm {d} ^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,\mathrm {d} ^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,\mathrm {d} ^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}x\end{aligned}}

где мы интегрируем по всему пространству. Если мы применим уравнение Шредингера , мы обнаружим, что

{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi

Принимая комплексное сопряжение, находим

{\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.

^[6]

Примечание $H = H *$ , так как гамильтониан является эрмитовым . Помещая это в приведенное выше уравнение, мы имеем

{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .

Часто (но не всегда) оператор $A не$ зависит от времени, поэтому его производная равна нулю, и мы можем игнорировать последний член.

Вывод из картины Гейзенберга [ править ]

В картине Гейзенберга вывод тривиален. Картина Гейзенберга переносит временную зависимость системы на операторы, а не на векторы состояния. Начиная с уравнения движения Гейзенберга

{\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],

мы можем вывести теорему Эренфеста, просто проецируя уравнение Гейзенберга справа и слева или принимая математическое ожидание, так что $|\Psi \rangle$ $\langle \Psi |$

\left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,

Мы можем потянуть $d / dt$ из первого члена, поскольку векторы состояния больше не зависят от времени в картине Гейзенберга. Следовательно,

{\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle

Общий пример [ править ]

Тем не менее, математические ожидания теоремы такие же и в картине Шредингера . Для очень общего примера массивной частицы, движущейся в потенциале , гамильтониан просто

H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)

где $x$ - положение частицы.

Предположим, мы хотим узнать мгновенное изменение математического ожидания импульса $p$ . Используя теорему Эренфеста, имеем

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,

поскольку оператор $p$ коммутирует сам с собой и не зависит от времени. ^[7] $Раскрывая$ правую часть и заменяя $p$ на $- iħ \nabla$ , получаем

{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.

После применения правила произведения ко второму члену мы имеем

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}

Как объяснялось во введении, этот результат не не говорить о том , что пара удовлетворяет второму закону Ньютона , так как правая часть формулы , а не . Тем не менее, как объяснялось во введении, для состояний, которые сильно локализованы в пространстве, ожидаемые положение и импульс будут приблизительно следовать классическим траекториям, что можно понимать как пример принципа соответствия . $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ $\langle F(x,t)\rangle ,$ $F(\langle X\rangle ,t)$

Точно так же мы можем получить мгновенное изменение математического ожидания позиции.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}

Этот результат фактически полностью соответствует классическому уравнению.

Вывод уравнения Шредингера из теорем Эренфеста [ править ]

Выше было установлено, что теоремы Эренфеста являются следствием уравнения Шредингера . Однако верно и обратное: уравнение Шредингера можно вывести из теорем Эренфеста. ^[8] Начнем с

{\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}

Применение правила продукта приводит к

{\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}

Здесь примените теорему Стоуна , используя $Ĥ$ для обозначения квантового генератора сдвига времени. Следующий шаг - показать, что это то же самое, что и оператор Гамильтона, используемый в квантовой механике. Из теоремы Стоуна следует

i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,

где $ħ$ введена как нормировочная постоянная к размерности баланса. Так как эти тождества должны быть справедливы для любого начального состояния, усреднение можно отбросить и система уравнений для коллекторных $˙h$ получена:

im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).

Предполагая, что наблюдаемые координаты и импульс подчиняются каноническому коммутационному соотношению $[x̂, p̂] = iħ$ . Задавая , уравнения коммутатора могут быть преобразованы в дифференциальные уравнения ^[8]^[9] ${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})$

m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),

решением которой является известный квантовый гамильтониан

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).

Следовательно, уравнение Шредингера было выведено из теорем Эренфеста, предполагая каноническое коммутационное соотношение между координатой и импульсом. Если предположить, что координата и импульс коммутируют, один и тот же вычислительный метод приводит к классической механике Купмана – фон Неймана , которая является формулировкой классической механики в гильбертовом пространстве . ^[8] Таким образом, этот вывод, а также вывод механики Купмана – фон Неймана показывает, что существенное различие между квантовой и классической механикой сводится к значению коммутатора $[$ $x̂, p̂$ $]$ .

Последствия теоремы Эренфеста для систем с классической хаотической динамикой обсуждаются в статье Scholarpedia Ehrenfest time and chaos . Показано, что из-за экспоненциальной неустойчивости классических траекторий время Эренфеста, на котором существует полное соответствие между квантовой и классической эволюцией, является логарифмически коротким, пропорциональным логарифму типичного квантового числа. Для случая интегрируемой динамики этот временной масштаб намного больше, поскольку он пропорционален некоторой степени квантового числа.

Заметки [ править ]

^ Зал 2013 Раздел 3.7.5
^ Уиллер, Николас. «Замечания относительно статуса и некоторых разветвлений теоремы Эренфеста» (PDF) .
Перейти ↑ Hall 2013 p. 78
^ Эренфест, П. (1927). "Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 45 (7–8): 455–457. Bibcode : 1927ZPhy ... 45..455E . DOI : 10.1007 / BF01329203 .
^ Смит, Хенрик (1991). Введение в квантовую механику . World Scientific Pub Co Inc., стр. 108–109. ISBN 978-9810204754.
^ В обозначениях бра – кет , где- оператор гамильтониана, а $H$ - гамильтониан, представленный в координатном пространстве (как в случае вывода выше). Другими словами, мы применили сопряженную операцию ко всему уравнению Шредингера, что изменило порядок операций для $H$ и $Φ$ . ${\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi |x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |{\hat {H}}|x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |x\rangle H={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H,$ ${\hat {H}}$
^ Хотя среднее значение импульса $⟨ р ⟩$ , который является реальным номер -значной функции времени, будет иметь зависимость от времени, сам оператор импульса, $р$ не делает, в этой картине: Скорее, оператор импульса является константой линейный оператор в гильбертовом пространстве системы. Зависимость математического ожидания от времени на этом рисунке связана с изменением во времени волновой функции, для которой рассчитывается математическое ожидание. Специальный пример операторакоторый имеет зависимость от времени $⟨ х 2 ⟩$ , где $х$ - это обычный оператор положения, а $t$ - это просто (неоператорное) время, параметр.
^ a b c Бондарь, Д .; Cabrera, R .; Lompay, R .; Иванов, М .; Рабиц, Х. (2012). «Оперативное динамическое моделирование, выходящее за рамки квантовой и классической механики». Письма с физическим обзором . 109 (19): 190403. arXiv : 1105.4014 . Bibcode : 2012PhRvL.109s0403B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.109.190403 . PMID 23215365 .
^ Транструм, МК; Ван Хуэле, JFOS (2005). «Коммутационные соотношения для функций операторов» . Журнал математической физики . 46 (6): 063510. Bibcode : 2005JMP .... 46f3510T . DOI : 10.1063 / 1.1924703 .

Ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с теоремой Эренфеста .

Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158

[1] Зал 2013 Раздел 3.7.5

[Wheeler-2] Уиллер, Николас. «Замечания относительно статуса и некоторых разветвлений теоремы Эренфеста» (PDF) .

[3] Перейти ↑ Hall 2013 p. 78

[4] Эренфест, П. (1927). "Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 45 (7–8): 455–457. Bibcode : 1927ZPhy ... 45..455E . DOI : 10.1007 / BF01329203 .

[Smith-5] Смит, Хенрик (1991). Введение в квантовую механику . World Scientific Pub Co Inc., стр. 108–109. ISBN 978-9810204754.

[6] В обозначениях бра – кет , где- оператор гамильтониана, а $H$ - гамильтониан, представленный в координатном пространстве (как в случае вывода выше). Другими словами, мы применили сопряженную операцию ко всему уравнению Шредингера, что изменило порядок операций для $H$ и $Φ$ . ${\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi |x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |{\hat {H}}|x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |x\rangle H={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H,$ ${\hat {H}}$

[7] Хотя среднее значение импульса $⟨ р ⟩$ , который является реальным номер -значной функции времени, будет иметь зависимость от времени, сам оператор импульса, $р$ не делает, в этой картине: Скорее, оператор импульса является константой линейный оператор в гильбертовом пространстве системы. Зависимость математического ожидания от времени на этом рисунке связана с изменением во времени волновой функции, для которой рассчитывается математическое ожидание. Специальный пример операторакоторый имеет зависимость от времени $⟨ х 2 ⟩$ , где $х$ - это обычный оператор положения, а $t$ - это просто (неоператорное) время, параметр.

[Bondar2012-8] Бондарь, Д .; Cabrera, R .; Lompay, R .; Иванов, М .; Рабиц, Х. (2012). «Оперативное динамическое моделирование, выходящее за рамки квантовой и классической механики». Письма с физическим обзором . 109 (19): 190403. arXiv : 1105.4014 . Bibcode : 2012PhRvL.109s0403B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.109.190403 . PMID 23215365 .

[Transtrum2005-9] Транструм, МК; Ван Хуэле, JFOS (2005). «Коммутационные соотношения для функций операторов» . Журнал математической физики . 46 (6): 063510. Bibcode : 2005JMP .... 46f3510T . DOI : 10.1063 / 1.1924703 .