Гипотеза термализации собственного состояния (или ETH ) - это набор идей, которые призваны объяснить, когда и почему изолированную квантово-механическую систему можно точно описать с помощью равновесной статистической механики . В частности, он посвящен пониманию того, как системы, которые изначально были приготовлены в состояниях, далеких от равновесия, могут со временем эволюционировать до состояния, которое кажется находящимся в тепловом равновесии . Фраза « термализация собственного состояния » была впервые введена Марком Средницким в 1994 году [1] после того, как аналогичные идеи были представлены Джошем Дойчем в 1991 году [2].Основная философия , лежащая в основе собственных состояний термализации гипотезы является то , что вместо того , чтобы объяснить эргодичности в виде термодинамической системы через механизм динамического хаоса , как это делается в классической механике , следует вместо того, чтобы исследовать свойства матричных элементов наблюдаемых величин в отдельных энергетических собственных состояниях из система.
Мотивация
В статистической механике , то микроканонический ансамбль представляет собой частный статистический ансамбль , который используется , чтобы сделать предсказание о результатах экспериментов , проведенных на изолированные системах , которые , как полагают, находятся в равновесии с точно известной энергией. Микроканонический ансамбль основан на предположении, что, когда такая уравновешенная система исследуется, вероятность ее нахождения в любом из микроскопических состояний с одинаковой полной энергией имеет равную вероятность. [3] При таком допущении, [примечание 1] ансамбль в среднем от наблюдаемой величины определяется путем усреднения значения , что наблюдаемый по всем микрогосударствам с правильной полной энергией: [3]
Важно отметить, что эта величина не зависит ни от чего о начальном состоянии, кроме его энергии.
Предположения об эргодичности хорошо обоснованы в классической механике как результат динамического хаоса , поскольку хаотическая система, как правило, проводит одинаковое время в равных областях своего фазового пространства . [3] Если мы подготовим изолированную, хаотическую классическую систему в некоторой области ее фазового пространства, то, поскольку системе позволено развиваться во времени, она будет производить выборку всего своего фазового пространства, подчиняясь лишь небольшому количеству законов сохранения ( например, сохранение общей энергии). Если можно оправдать утверждение, что данная физическая система эргодична, то этот механизм обеспечит объяснение того, почему статистическая механика успешно делает точные прогнозы. Например, было строго доказано , что газ твердых сфер эргодичен. [3]
Этот аргумент не может быть напрямую распространен на квантовые системы, даже те, которые аналогичны хаотическим классическим системам, потому что временная эволюция квантовой системы не обеспечивает равномерную выборку всех векторов в гильбертовом пространстве с заданной энергией. [сноска 2] Учитывая состояние в нулевой момент времени на основе собственных состояний энергии
математическое ожидание любой наблюдаемой является
Даже если несоизмеримы, так что это математическое ожидание долгое время дается
математическое ожидание постоянно сохраняет информацию о начальном состоянии в виде коэффициентов .
Таким образом, в принципе, остается открытым вопрос, приблизится ли изолированная квантово-механическая система, подготовленная в произвольном начальном состоянии, к состоянию, напоминающему тепловое равновесие, в котором горстка наблюдаемых адекватна для того, чтобы делать успешные прогнозы относительно системы. Однако в различных экспериментах с холодными атомарными газами действительно наблюдалась тепловая релаксация в системах, которые в очень хорошем приближении полностью изолированы от окружающей среды, и для широкого класса начальных состояний. [4] [5] Задача объяснения этой экспериментально наблюдаемой применимости равновесной статистической механики к изолированным квантовым системам является основной целью гипотезы термализации собственного состояния.
Заявление
Предположим, что мы изучаем изолированную квантово-механическую систему многих тел . В этом контексте «изолированный» относится к тому факту, что система не имеет (или, по крайней мере, незначительно) взаимодействует с внешней по отношению к ней средой. Если обозначить гамильтониан системы, то полный набор базисных состояний системы задается через собственные состояния гамильтониана:
где - собственное состояние гамильтониана с собственным значением . Мы будем называть эти состояния просто «энергетическими состояниями». Для простоты мы будем предполагать, что система не имеет вырождения в собственных значениях энергии и что она конечна по протяженности, так что собственные значения энергии образуют дискретный невырожденный спектр (это не является необоснованным предположением, поскольку любое "действительное" «лабораторная система будет иметь достаточно беспорядок и достаточно сильные взаимодействия, чтобы устранить почти все вырождение системы, и, конечно же, будет иметь конечный размер [6] ). Это позволяет нам помечать собственные состояния энергии в порядке увеличения собственного значения энергии. Кроме того, рассмотрим некоторые другие квантово-механические наблюдаемые, относительно которого мы хотим сделать тепловые прогнозы. Матричные элементы этого оператора, выраженные в базисе собственных состояний энергии, будут обозначаться как
Теперь представим себе , что мы готовим нашу систему в исходное состояние , для которого среднее значение издалеко от его значения, предсказанного в микроканоническом ансамбле, соответствующем рассматриваемому энергетическому масштабу (мы предполагаем, что наше начальное состояние является некоторой суперпозицией собственных состояний энергии, которые все достаточно "близки" по энергии). Гипотеза термализации собственного состояния гласит, что для произвольного начального состояния математическое ожиданиев конечном итоге будет развиваться со временем до своего значения, предсказанного микроканоническим ансамблем, и после этого будет демонстрировать лишь небольшие колебания вокруг этого значения при соблюдении следующих двух условий: [4]
- Диагональные матричные элементы плавно изменяются как функция энергии, с разницей между соседними значениями, , становясь экспоненциально маленьким в размере системы.
- Недиагональные матричные элементы , с участием , намного меньше, чем диагональные матричные элементы, и, в частности, сами по себе экспоненциально малы по размеру системы.
Эти условия можно записать как
где а также - гладкие функции энергии, - многомерное гильбертово пространство, а - случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. И наоборот, если квантовая система многих тел удовлетворяет ETH, ожидается, что матричное представление любого локального оператора в базисе собственных энергий будет следовать вышеуказанному анзацу.
Эквивалентность диагонального и микроканонического ансамблей
Мы можем определить долгосрочное среднее значение математического ожидания оператора согласно выражению
Если мы используем явное выражение для эволюции этого математического ожидания во времени, мы можем написать
Интеграции в этом выражении могут быть выполнены в явном виде, а результат
Каждое из членов второй суммы будет становиться меньше, поскольку предел доведен до бесконечности. Предполагая, что фазовая когерентность между различными экспоненциальными членами во второй сумме никогда не становится достаточно большой, чтобы конкурировать с этим распадом, вторая сумма будет равна нулю, и мы обнаружим, что долгосрочное среднее значение математического ожидания дается выражением [ 6]
Этот прогноз для среднего времени наблюдаемых называют его прогнозируемым значением в диагональном ансамбле , [7] Самый важный аспектом диагонального ансамбля является то , что он явно зависит от начального состояния системы, и поэтому , казалось бы , сохранить всю информацию о подготовке система. Напротив, прогнозируемое значение в микроканоническом ансамбле дается равновзвешенным средним по всем собственным состояниям энергии в пределах некоторого энергетического окна, центрированного вокруг средней энергии системы [5]
где - количество состояний в соответствующем энергетическом окне, а штрих у индексов суммы указывает, что суммирование ограничено этим соответствующим микроканоническим окном. Этот прогноз абсолютно не ссылается на начальное состояние системы, в отличие от диагонального ансамбля. Из-за этого неясно, почему микроканонический ансамбль должен обеспечивать такое точное описание долгосрочных средних значений наблюдаемых в таком большом разнообразии физических систем.
Однако предположим, что матричные элементы фактически постоянны в соответствующем энергетическом окне с достаточно малыми флуктуациями. Если это так, то это одно постоянное значение A может быть эффективно извлечено из суммы, и прогноз диагонального ансамбля просто равен этому значению,
где мы предположили, что начальное состояние нормировано соответствующим образом. Точно так же предсказание микроканонического ансамбля становится
Таким образом, два ансамбля согласны.
Это постоянство ценностей над малыми энергетическими окнами - это основная идея, лежащая в основе гипотезы термализации собственного состояния. Обратите внимание, что в нем, в частности, указано, что математическое ожидание в единственном собственном состоянии энергии равно значению, предсказанному микроканоническим ансамблем, построенным на этом энергетическом масштабе. Это составляет основу квантовой статистической механики, которая радикально отличается от той, которая построена на понятиях динамической эргодичности. [1]
Тесты
Несколько численных исследований малых решетчатых систем, по-видимому, предварительно подтверждают предсказания гипотезы термализации собственного состояния во взаимодействующих системах, которые, как ожидается, будут термализоваться. [5] Аналогичным образом, интегрируемые системы не подчиняются гипотезе термализации собственного состояния. [5]
Некоторые аналитические результаты также могут быть получены, если сделать определенные предположения о природе собственных состояний высоковозбужденной энергии. В оригинальной статье 1994 года о ETH Марка Средницки изучается, в частности, пример квантового газа твердых сфер в изолированном ящике. Это система, которая, как известно, классически демонстрирует хаос. [1] Для состояний достаточно высокой энергии, гипотеза Берри утверждает , что энергия собственных функции в этой системе многих тел твердых частиц сферы , будет казаться, ведет себя как суперпозиция от плоских волн , с плоскими волнами ввода суперпозиции со случайными фазами и Gaussian-распределенным амплитуды [1] (точное понятие этой случайной суперпозиции разъясняется в статье). При таком предположении можно показать, что с точностью до пренебрежимо малых поправок в термодинамическом пределе функция распределения по импульсам для каждой отдельной различимой частицы равна распределению Максвелла – Больцмана [1]
где - импульс частицы, m - масса частиц, k - постоянная Больцмана , а « температура »связан с энергией собственного состояния в соответствии с обычным уравнением состояния для идеального газа ,
где N - количество частиц в газе. Этот результат является конкретным проявлением ETH, поскольку он приводит к предсказанию значения наблюдаемой в одном собственном энергетическом состоянии, которое согласуется с предсказанием, полученным на основе микроканонического (или канонического) ансамбля. Обратите внимание, что никакого усреднения по начальным состояниям не производилось, и не использовалось ничего похожего на H-теорему . Кроме того, можно также получить соответствующие распределения Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака , если ввести соответствующие коммутационные соотношения для частиц, составляющих газ. [1]
В настоящее время не совсем понятно, насколько высокой должна быть энергия собственного состояния газа твердых сфер, чтобы он подчинялся ETH. [1] Грубый критерий состоит в том, что средняя длина тепловой волны каждой частицы должна быть достаточно меньше, чем радиус твердых сферических частиц, так что система может исследовать особенности, которые в классическом смысле приводят к хаосу (а именно, тот факт, что частицы имеют конечный размер [1] ). Однако вполне возможно, что это условие может быть ослаблено, и, возможно, в термодинамическом пределе собственные состояния энергии с произвольно низкими энергиями будут удовлетворять ETH (помимо самого основного состояния , которое должно обладать некоторыми особыми свойствами, поскольку Например, отсутствие каких-либо узлов [1] ).
Альтернативы
Часто предлагаются три альтернативных объяснения термализации изолированных квантовых систем:
- Для начальных состояний, представляющих физический интерес, коэффициенты демонстрируют большие флуктуации от собственного состояния к собственному, совершенно некоррелированным с флуктуациямиот собственного состояния к собственному состоянию. Поскольку коэффициенты и матричные элементы не коррелированы, суммирование в диагональном ансамбле эффективно выполняет несмещенную выборку значенийнад соответствующим энергетическим окном. Для достаточно большой системы такая несмещенная выборка должна привести к значению, близкому к истинному среднему значениюнад этим окном и будет эффективно воспроизводить предсказание микроканонического ансамбля . Однако этому механизму может быть отказано по следующей эвристической причине. Обычно интересуют физические ситуации, в которых начальное математическое ожиданиедалека от своего равновесного значения. Чтобы это было правдой, начальное состояние должно содержать какую-то конкретную информацию о, и поэтому возникает подозрение, действительно ли исходное состояние представляет собой беспристрастную выборку значений над соответствующим энергетическим окном. Более того, было ли это правдой или нет, это все еще не дает ответа на вопрос о том, когда произвольные начальные состояния придут в равновесие, если они когда-либо придут.
- Для начальных состояний, представляющих физический интерес, коэффициенты фактически постоянны и совсем не колеблются. В этом случае диагональный ансамбль в точности совпадает с микроканоническим ансамблем, и нет никакой загадки в том, почему их прогнозы идентичны. Однако это объяснение не одобряется по тем же причинам, что и первое.
- Доказано, что интегрируемые квантовые системы термализуются при условии простой регулярной зависимости параметров от времени, предполагая, что космологическое расширение Вселенной и интегрируемость наиболее фундаментальных уравнений движения в конечном итоге ответственны за термализацию. [8]
Временные колебания ожидаемых значений
Условие, которое ETH накладывает на диагональные элементы наблюдаемого , отвечает за равенство предсказаний диагонального и микроканонического ансамблей. [6] Однако равенство этих долгосрочных средних значений не гарантирует, что колебания во времени вокруг этого среднего будут небольшими. То есть равенство долгосрочных средних не гарантирует, что математическое ожиданиестабилизируется до этого долгосрочного среднего значения, а затем остается на нем большую часть времени.
Чтобы вывести условия, необходимые для того, чтобы значение математического ожидания наблюдаемого проявляло небольшие временные колебания вокруг своего среднего значения по времени, мы изучаем среднеквадратичную амплитуду временных колебаний, определяемую как [6]
где сокращенное обозначение математического ожидания в момент t. Это выражение может быть вычислено явно, и обнаруживается, что [6]
Временные колебания относительно долгосрочного среднего будут небольшими до тех пор, пока недиагональные элементы удовлетворяют условиям, налагаемым на них ETH, а именно, что они становятся экспоненциально малыми в размере системы. [6] [5] Обратите внимание, что это условие допускает возможность отдельных времен возрождения , в которых фазы согласованно выравниваются, чтобы производить большие флуктуации от долгосрочного среднего. [4] Количество времени, которое система проводит далеко от долгосрочного среднего, гарантированно будет небольшим, пока вышеупомянутый средний квадрат амплитуды достаточно мал. [6] [4] Однако, если система представляет собой динамическую симметрию , она будет периодически колебаться вокруг долгосрочного среднего. [9]
Квантовые флуктуации и тепловые флуктуации
Ожидаемое значение квантово-механической наблюдаемой представляет собой среднее значение, которое будет измерено после выполнения повторных измерений ансамбля идентично подготовленных квантовых состояний. Поэтому, хотя мы изучали это математическое ожидание как основной объект интереса, неясно, в какой степени оно представляет собой физически значимые количества. В результате квантовых флуктуаций ожидаемое значение наблюдаемой обычно не является тем, что будет измеряться во время одного эксперимента на изолированной системе . Однако было показано, что для наблюдаемой, удовлетворяющей ETH, квантовые флуктуации ее математического ожидания обычно будут того же порядка величины, что и тепловые флуктуации, которые можно было бы предсказать в традиционном микроканоническом ансамбле . [6] [5] Это еще больше подтверждает идею о том, что ETH является основным механизмом, ответственным за термализацию изолированных квантовых систем.
Общая действительность
В настоящее время нет известного аналитического вывода гипотезы термализации собственного состояния для общих взаимодействующих систем. [5] Тем не менее, было подтверждено, что это верно для широкого спектра взаимодействующих систем с использованием численных методов точной диагонализации с точностью до неопределенности этих методов. [4] [5] Это также было доказано в некоторых частных случаях в полуклассическом пределе, когда справедливость ETH основывается на справедливости теоремы Шнирельмана, которая утверждает, что в системе, которая является классически хаотической, математическое ожидание операторав собственном состоянии энергии равно своему классическому микроканоническому среднему значению при соответствующей энергии. [10] Можно ли показать это в более общем плане для взаимодействующих квантовых систем, остается открытым вопросом. Также известен явный отказ в некоторых интегрируемых системах , в которых наличие большого количества постоянных движения предотвращает термализацию . [4]
Также важно отметить, что ETH делает заявления о конкретных наблюдаемых в каждом конкретном случае - он не делает никаких заявлений о том, будет ли каждое наблюдаемое в системе подчиняться ETH. На самом деле это определенно не может быть правдой. Учитывая базис собственных состояний энергии, всегда можно явно построить оператор, который нарушает ETH, просто записав оператор в виде матрицы в этом базисе, элементы которой явно не подчиняются условиям, налагаемым ETH. С другой стороны , всегда тривиально можно найти операторы , которые делают Satisfy ETH, записывая матрицу, элементы которой специально выбраны Подчиняться ETH. В свете этого можно предположить, что полезность ETH несколько тривиальна. Однако важно иметь в виду, что построенные таким образом операторы могут не иметь никакого физического значения. Хотя можно построить эти матрицы, неясно, соответствуют ли они наблюдаемым, которые могут быть реально измерены в эксперименте, или имеют какое-либо сходство с физически интересными величинами. Произвольный эрмитов оператор в гильбертовом пространстве системы не обязательно должен соответствовать чему-то, что является физически измеримой наблюдаемой. [11]
Обычно постулируется, что ETH выполняется для «операторов нескольких тел» [4], наблюдаемых, которые включают лишь небольшое количество частиц. Примеры этого могут включать заполнение заданного импульса в газе частиц [4] [5] или заполнение определенного места в решетчатой системе частиц. [5] Обратите внимание, что, хотя ETH обычно применяется к "простым" операторам нескольких тел, таким как эти, [4] эти наблюдаемые не обязательно должны быть локальными в пространстве [5] - оператор числа импульса в приведенном выше примере не представляет собой местное количество. [5]
Также значительный интерес вызывает случай, когда изолированные неинтегрируемые квантовые системы не могут термализоваться, несмотря на предсказания традиционной статистической механики. Неупорядоченные системы, которые демонстрируют локализацию многих тел, являются кандидатами для этого типа поведения с возможностью возбужденных собственных энергетических состояний, термодинамические свойства которых больше напоминают свойства основных состояний. [12] [13] Остается открытым вопрос о том, может ли полностью изолированная, неинтегрируемая система без статического беспорядка потерпеть неудачу в термализации. Одна интригующая возможность - это реализация «Квантовых распутанных жидкостей». [14] Это также открытый вопрос, должны ли все собственные состояния подчиняться ETH в термализующейся системе.
Смотрите также
- Равновесная термодинамика
- Теорема флуктуационной диссипации
- Важные публикации в статистической механике
- Неравновесная термодинамика
- Квантовая термодинамика
- Статистическая физика
- Энтропия конфигурации
- Теория хаоса
- Твердые сферы
- Квантовая статистическая механика
- Микроканонический ансамбль
- H-теорема
Сноски
- ^ В качестве альтернативы канонический ансамбль может использоваться в ситуациях, когдаизвестнатолько средняя энергия системы, и кто-то желает найти конкретное распределение вероятностей для микросостояний системы, которое максимизирует энтропию системы. В любом случае предполагается, что разумные физические прогнозы могут быть сделаны о системе на основе знания лишь небольшого числа физических величин (энергии, числа частиц, объема и т. Д.).
- ^ В качестве интуитивного объяснения того, почему с квантовым хаосом нужно обращаться иначе, чем с классическим хаосом, некоторые авторы противопоставляют линейность уравнения Шредингера нелинейной природе уравнений движения для классических хаотических систем, подчеркивая, в частности, что внутренний продукт между векторов в гильбертовом пространстве сохраняется в отличие от экспоненциального разделения между классическими точками в фазовом пространстве. Однако это вводит в заблуждение, поскольку уравнение Шредингера эквивалентно уравнению фон Неймана, специализированному для случая чистого состояния, а уравнение фон Неймана прямо аналогично классическим уравнениям Лиувилля, которое также являетсялинейным. Другими словами, это очевидное различие между квантовой и классической механикой - всего лишь артефакт сравнения различных представлений динамических уравнений; как только классическая механика и квантовая механика уравновешиваются, их динамические уравнения становятся линейными, так что линейность сама по себе не может отвечать за различные инструменты, необходимые для изучения квантового хаоса в сравнении с классическим.
Рекомендации
- ^ a b c d e f g h i Марк Средницки (1994). «Хаос и квантовая термализация». Physical Review E . 50 (2): 888–901. arXiv : cond-mat / 9403051v2 . Bibcode : 1994PhRvE..50..888S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.50.888 . PMID 9962049 . S2CID 16065583 .
- ^ Deutsch, JM (февраль 1991 г.). «Квантовая статистическая механика в замкнутой системе». Physical Review . 43 (4): 2046–2049. Bibcode : 1991PhRvA..43.2046D . DOI : 10.1103 / PhysRevA.43.2046 . PMID 9905246 .
- ^ а б в г Райхл, Линда Э. (2009). Современный курс статистической физики (3-е изд.). Wiley-VCH. ISBN 978-3527407828.
- ^ Б с д е е г ч I Маркос Ригол; Средницки, Марк (2012). «Альтернативы термализации собственного состояния». Письма с физическим обзором . 108 (11): 110601. arXiv : 1108.0928 . Bibcode : 2012PhRvL.108k0601R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.108.110601 . PMID 22540449 . S2CID 20474607 .
- ^ Б с д е е г ч я J K L Маркос Ригол; Дунько, Ваня; Ольшаний, Максим (2009). «Термализация и ее механизм для типичных изолированных квантовых систем». Природа . 452 (7189): 854–8. arXiv : 0708.1324 . Bibcode : 2008Natur.452..854R . DOI : 10,1038 / природа06838 . PMID 18421349 . S2CID 4384040 .
- ^ Б с д е е г ч Марк Средницки (1999). «Подход к тепловому равновесию в квантованных хаотических системах». Журнал физики A: математический и общий . 32 (7): 1163–1175. arXiv : cond-mat / 9809360 . Bibcode : 1999JPhA ... 32.1163S . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 32/7/007 . S2CID 15771750 .
- ^ Эми К. Кэссиди; Кларк, Чарльз В .; Ригол, Маркос (2011). «Обобщенная термализация в интегрируемой решетчатой системе». Письма с физическим обзором . 106 (14): 140405. arXiv : 1008.4794 . Bibcode : 2011PhRvL.106n0405C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.106.140405 . PMID 21561173 . S2CID 11926058 .
- ^ Ф. Ли; В. Я. Черняк; Н.А. Синицын (2018). «Квантовый отжиг и термализация: выводы из интегрируемости». Письма с физическим обзором . 121 (19): 190601. arXiv : 1804.00371 . Bibcode : 2018arXiv180400371L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.121.190601 . PMID 30468584 . S2CID 53594139 .
- ^ Буча, Берислав; Тиндалл, Джозеф; Якш, Дитер (15 апреля 2019 г.). «Нестационарная когерентная квантовая динамика многих тел за счет диссипации» . Nature Communications . 10 (1): 1730. DOI : 10.1038 / s41467-019-09757-у . ISSN 2041-1723 . PMC 6465298 . PMID 30988312 .
- ^ Санджай Хортикар; Средницки, Марк (1998). «Случайные матричные элементы и собственные функции в хаотических системах». Physical Review E . 57 (6): 7313. arXiv : chao-dyn / 9711020 . Bibcode : 1998PhRvE..57.7313H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.57.7313 . S2CID 18466081 .
- ^ Баллентин, Лесли Э. (1998). Квантовая механика: современное развитие . Мировое научное издательство . ISBN 981-02-4105-4.
- ^ Дэвид А. Хьюз; Нандкишор, Рахул; Оганесян, Вадим; Пал, Ариджит; Сонди, SL (2013). «Локализация защищенного квантового порядка». Physical Review B . 88 (1): 014206. arXiv : 1304.1158 . Bibcode : 2013PhRvB..88a4206H . DOI : 10.1103 / PhysRevB.88.014206 . S2CID 106398202 .
- ^ DM Basko; Алейнер, Иллинойс; Альтшулер, БЛ (2006). «Переход металл-диэлектрик в слабо взаимодействующей многоэлектронной системе с локализованными одночастичными состояниями». Летопись физики . 321 (5): 1126–1205. arXiv : cond-mat / 0506617 . Bibcode : 2006AnPhy.321.1126B . DOI : 10.1016 / j.aop.2005.11.014 . S2CID 18345541 .
- ^ Тарун Гровер; Фишер, Мэтью PA (2013). «Квантовые распутанные жидкости». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2014 (10): P10010. arXiv : 1307.2288 . Bibcode : 2014JSMTE..10..010G . DOI : 10.1088 / 1742-5468 / 2014/10 / P10010 . S2CID 118646968 .
Внешние ссылки
- «Обзор гипотезы термализации собственного состояния» Марка Средницки, UCSB, Программа KITP: Квантовая динамика в далеких от равновесных теплоизолированных системах
- «Гипотеза термализации собственного состояния» Марка Средницки, UCSB, KITP Семинар по быстрому реагированию: Черные дыры: дополнительность, нечеткость или пожар?
- «Квантовые распутанные жидкости» Мэтью П.А. Фишера, UCSB, Конференция KITP: от ренормализационной группы к квантовой гравитации Прославление науки Джо Полчински