В алгебре , A плоский модуль над кольцом R представляет собой R - модуль М таким образом, что принимает тензорное произведение над R с M сохраняет точные последовательности . Модуль является абсолютно плоским, если взятие тензорного произведения на последовательность дает точную последовательность тогда и только тогда, когда исходная последовательность точна.
Плоскостность была представлена Жан-Пьером Серром ( 1956 ) в его статье Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique . См. Также плоский морфизм .
Определение
Модуль M над кольцом R является плоским, если выполняется следующее условие: для любого инъективного линейного отображения из R - модулей, карта
также инъективен, где отображение, индуцированное
Для этого определения достаточно ограничить инъекции к включениями конечно порожденных идеалов во R .
Эквивалентно, R -модуль M является плоским, если тензорное произведение с M является точным функтором ; то есть , если для каждой короткой точной последовательности из R - модулей последовательность тоже точно. (Это эквивалентное определение, поскольку тензорное произведение является точным справа функтором .)
Эти определения применимы также, если R - некоммутативное кольцо, а M - левый R -модуль; в этом случае K , L и J должны быть правыми R -модулями, а тензорные произведения не являются R- модулями вообще, а являются только абелевыми группами .
Характеристики
Плоскостность также можно охарактеризовать следующее эквациональное условием, что означает , что R - линейные отношения в М вытекают из линейных отношений в R . R - модуля M является плоским , если и только если для каждого линейного соотношения
с участием а также , есть элементы а также такие, что [1]
Это эквивалентно определению n элементов модуля и линейной карты из в этот модуль, который отображает стандартный базис к n элементам. Это позволяет переписать предыдущую характеризацию в терминах гомоморфизмов следующим образом.
R - модуль M является плоской , если и только если выполнено следующее условие: для каждой карты где является конечно порожденным свободным R -модулем, и для любого конечно порожденного R -подмодуля из карта факторизуется через отображение g в свободный R -модуль такой, что
Связь с другими свойствами модуля
Плоскостность связана с различными другими свойствами модуля, такими как свобода, проективность или отсутствие кручения. В частности, каждый плоский модуль не имеет кручения , каждый проективный модуль плоский и каждый свободный модуль проективен.
Существуют конечно порожденные модули, которые являются плоскими и непроективными. Однако все конечно порожденные модули проективны над наиболее часто рассматриваемыми кольцами.
Частично это показано на следующем рисунке.
Модули без кручения
Каждый плоский модуль не имеет кручения . Это следует из приведенной выше характеристики в терминах соотношений, когда m = 1
Обратное верно для целых чисел и, в более общем смысле, для областей главных идеалов и дедекиндовских колец .
Область целостности, над которой каждый модуль без кручения является плоским, называется областью Прюфера .
Свободные и проективные модули
Модуль М является проективным тогда и только тогда , когда есть свободный модуль G и две линейные карты а также такой, что В частности, каждый свободный модуль проективен (возьмем а также ).
Каждый проективный модуль плоский. Это может быть доказано из приведенных выше характеристик плоскостности и проективности в терминах линейных отображений, взяв а также
Наоборот, конечно порожденные плоские модули проективны при мягких условиях, которые обычно выполняются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии . Это делает концепцию плоскостности полезной в основном для модулей, которые не являются конечно порожденными.
Конечно представимый модуль (то есть фактор конечно порожденный свободного модуль с помощью конечно порожденным субмодулем) , что является плоским всегда проективный. Это можно доказать, взяв f сюръективным ив приведенной выше характеристике плоскостности в терминах линейных отображений. Условие влечет существование линейного отображения такой, что и поэтому Так как f сюръективен, значит,и M проективен.
Над нётеровым кольцом каждый конечно порожденный плоский модуль проективен, поскольку каждый конечно порожденный модуль конечно представим. Тот же результат верен для области целостности , даже если она не нётерова. [2]
На локальном кольце каждый конечно порожденный плоский модуль свободен.
Конечно порожденный плоский модуль, не являющийся проективным, можно построить следующим образом. Позволятьмножество из бесконечных последовательностей , члены которых принадлежат к фиксированной области F . Это коммутативное кольцо с покомпонентным определением сложения и умножения. Это кольцо абсолютно плоское (то есть каждый модуль плоский). Модульгде I - идеал последовательностей с конечным числом ненулевых членов, поэтому плоский и конечно порожденный (только один образующий), но не проективный.
Не примеры
- Если I - идеал в нётеровом коммутативном кольце R , тоне является плоским модулем, за исключением случая, когда I порождается идемпотентом (то есть элементом, равным его квадрату). В частности, если R - область целостности , плоский, только если равен R или является нулевым идеалом .
- Над областью целостности плоский модуль не имеет кручения . Таким образом, модуль, содержащий ненулевые элементы кручения, не является плоским. В частности и все поля положительных характеристик не плоские -модули, где кольцо целых чисел, а это поле рациональных чисел.
Прямые суммы, лимиты и продукты
Прямая сумма модулей плоский есть и только если каждый плоский.
Прямой предел плоского является плоским. В частности, прямой предел свободных модулей плоский. Наоборот, любой плоский модуль можно записать как прямой предел конечно порожденных свободных модулей. [3]
Прямые продукты плоских модулей, как правило, не обязательно должны быть плоскими. Фактически, для данного кольца R любое прямое произведение плоских R -модулей является плоским тогда и только тогда, когда R - когерентное кольцо (то есть каждый конечно порожденный идеал конечно определен). [4]
Удлинители плоских колец
Кольцевой гомоморфизм является плоским, если S - плоский R -модуль для модульной структуры, индуцированной гомоморфизмом. Например, кольцо многочленов R [ т ] плоский над R , для любого кольца R .
Для любого мультипликативного подмножества коммутативного кольца , кольцо локализации плоский над R ( проективен только в исключительных случаях). Например, плоский и не проективный над
Если является идеалом нётерова коммутативного кольцазавершение из относительно плоский. [5] Он абсолютно плоский тогда и только тогда, когдасодержится в Jacobson радикала из(См. Также кольцо Зарисского .) [6]
Локализация
В этом разделе R обозначает коммутативное кольцо . Если- простой идеал в R , локализация в точке , как обычно, обозначается в качестве индекса. Это,и, если M - R -модуль,
Если R -модуль M плоский, то это квартира -модуль для каждого простого идеала
Наоборот, если это квартира -модуль для каждого максимального идеала , то M - плоский R -модуль (и это квартира -модуль для каждого простого идеала ).
Эти свойства являются фундаментальными в коммутативной алгебре, поскольку они сводят вопрос о плоскостности к случаю локальных колец . Их часто выражают, говоря, что плоскостность - это местное свойство .
Плоские морфизмы схем
Морфизм из схем является плоским морфизмом , если индуцированное отображение на локальных кольцах
представляет собой плоский кольцевой гомоморфизм для любой точки х в X . Таким образом, свойства плоских (или строго плоских) гомоморфизмов колец естественным образом расширяются до геометрических свойств плоских морфизмов в алгебраической геометрии. Например, рассмотрим предыдущий пример. Включение затем определяет плоский морфизм
Каждое (геометрическое) волокно кривая уравнения См. Также плоскую дегенерацию и деформацию нормального конуса .
Позволять кольцо многочленов над коммутативным нётеровым кольцом а также ненулевой делитель. потом плоский если и только если это примитивное (коэффициенты порождают единичный идеал). [7] Пример: [8] стр. 3 который плоский (и даже свободный) над (см. также ниже геометрическое значение). Такие плоские расширения можно использовать для получения примеров плоских модулей, которые не являются бесплатными и не являются результатом локализации.
Верная плоскостность
Модуль является полностью плоским, если взятие тензорного произведения на последовательность дает точную последовательность тогда и только тогда, когда исходная последовательность точна. Хотя это понятие определено для модулей над ненужным коммутативным кольцом, оно используется в основном для коммутативных алгебр . Итак, здесь рассматривается только этот случай, даже если некоторые результаты могут быть обобщены на случай модулей над некоммутаивным кольцом.
В этой секции, является кольцевым гомоморфизмом коммутативных колец, что дает структуры -алгебра и -модуль. Если это -модуль плоский (или точно плоский), обычно говорят, что плоский (или точно плоский) над и это плоский (или точно плоский).
Если плоский следующие условия эквивалентны.
- точно плоский.
- Для каждого максимального идеала из , надо
- Если ненулевой -модуль, затем
- Для каждого главного идеала из есть главный идеал из такой, что Другими словами, карта индуцированный на спектрах сюръективно.
- инъективен, и является чистым Подкольцом из это, инъективен для каждого -модуль . [9]
Из второго условия следует, что плоский гомоморфизм локальных колец строго плоский. Из последнего условия следует, что для каждого идеала из (брать ). В частности, если является нётеровым кольцом, то тоже нётерский.
Предпоследнее условие можно сформулировать в усиленной форме: является submersive , что означает , что Зариская топология изявляется фактор топологии этого из(это частный случай того, что точно плоский квазикомпактный морфизм схем обладает этим свойством. [10] ). См. Также Плоский морфизм # Свойства плоских морфизмов .
Примеры
- Кольцевой гомоморфизм такой, что ненулевой свободный R -модуль строго плоский. Например:
- Каждое расширение поля абсолютно плоское. Это свойство неявно стоит за использованием комплексификации для доказательства результатов в реальных векторных пространствах.
- Кольцо многочленов является строго плоским расширением его кольца коэффициентов.
- Если - унитарный многочлен , включение точно плоский.
- Позволять Прямое произведение из локализаций в то точно плоский над если и только если генерировать единичный идеал из (то есть, если является линейной комбинацией из). [11]
- Прямая сумма локализаций из при всех своих простых идеалах представляет собой строго плоский модуль, который не является алгеброй, за исключением случаев, когда существует конечное число простых идеалов.
Два последних примера неявно лежат в основе широкого использования локализации в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
- Для данного гомоморфизма колец есть связанный комплекс, названный комплексом Амицура : [12]где кограничные операторы - чередующиеся суммы карт, полученные путем вставки 1 в каждое пятно; например,. Тогда (Гротендик) этот комплекс точен, если точно плоский.
Верно плоские локальные гомоморфизмы
Вот одна характеристика строго плоского гомоморфизма для необязательно плоского гомоморфизма. Учитывая инъективный локальный гомоморфизм такой, что является - первичный идеал , гомоморфизмточно плоский тогда и только тогда, когда для него выполняется теорема перехода ; то есть для каждого-первоначальный идеал из , [13]
Гомологическая характеризация с помощью функторов Tor
Плоскостность также может быть выражена с помощью функторов Tor , левых производных функторов тензорного произведения. Левый R -модуль M плоский тогда и только тогда, когда
- для всех и все правые R -модули X ). [14]
Фактически, достаточно проверить, что первый член Tor равен нулю, т. Е. M является плоским тогда и только тогда, когда
для любого R -модуля N или, что еще более ограничительно, когда а также - любой конечно порожденный идеал.
Используя длинные точные последовательности функтора Tor , можно легко доказать факты о короткой точной последовательности
Если A и C плоские, то B тоже . Кроме того, если B и C плоские, то A тоже . Если A и B плоские, C не обязательно должен быть плоским. Однако, если является чистым в B и B является плоской, а затем и С являются плоскими.
Плоские разрешения
Плоское разрешение из модуля M является разрешением вида
где F i - все плоские модули. Любая свободная или проективная резолюция обязательно является плоской резолюцией. Плоские разрешения могут использоваться для вычисления функтора Tor .
Длиной конечного плоского разрешения является первым индексом п таким образом, что отличен от нуля и для . Если модуль М допускает конечное плоское разрешение, минимальная длина среди всех конечных плоских постановлений М называется его плоского размером [15] и обозначаемый FD ( M ). Если M не допускает конечного плоского разрешения, то по соглашению плоская размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что fd ( M ) = 0. В этой ситуации точность последовательности 0 → F 0 → M → 0 указывает на то, что стрелка в центре является изоморфизмом, и, следовательно, сама M является изоморфизмом. плоский. [16]
В некоторых областях теории модулей плоское разрешение должно удовлетворять дополнительному требованию, чтобы каждая карта была плоским предварительным покрытием ядра карты справа. Для проективных резольвент это условие почти невидимо: проективное предпокрытие - это просто эпиморфизм из проективного модуля. Эти идеи вдохновлены работами Ауслендера в приближении. Эти идеи также знакомы из более общего понятия минимальных проективных резольвент, где каждое отображение требуется, чтобы быть проективным покрытием ядра карты справа. Однако проективные покрытия в общем случае могут не существовать, поэтому минимальные проективные резольвенты имеют ограниченное применение над кольцами, такими как целые числа.
Плоские крышки
Хотя проективные покрытия для модулей не всегда существуют, предполагалось, что для общих колец каждый модуль будет иметь плоское покрытие, то есть каждый модуль M будет эпиморфным изображением плоского модуля F , так что каждое отображение из плоского модуля на M пропускается через F , и любой эндоморфизм F над M является автоморфизмом. Эта гипотеза о плоской крышке была впервые явно сформулирована в ( Enochs 1981 , p 196).
. Гипотеза оказалась верной, положительно разрешенной и доказанной одновременно Л. Биканом, Р. Эль Баширом и Э. Енохом. [17] Этому предшествовали важные работы П. Эклофа, Дж. Трлифая и Дж. Ксу.Поскольку плоские покрытия существуют для всех модулей над всеми кольцами, минимальные плоские резольвенты могут заменять минимальные проективные резольвенты во многих случаях. Измерение отклонения плоских разрешений от проективных разрешений называется относительной гомологической алгеброй и рассматривается в классических трудах, таких как ( MacLane 1963 ).
и в более поздних работах, сосредоточенных на плоских разрешениях, таких как ( Enochs & Jenda 2000 ).В конструктивной математике
Плоские модули имеют повышенное значение в конструктивной математике , где проективные модули менее полезны. Например, то, что все свободные модули являются проективными, эквивалентно полной аксиоме выбора , поэтому теоремы о проективных модулях, даже если они доказаны конструктивно, не обязательно применимы к свободным модулям. Напротив, для доказательства того, что свободные модули плоские, выбора не требуется, поэтому теоремы о плоских модулях все еще применимы. [18]
Смотрите также
- Общая плоскостность
- Плоский морфизм
- Регулярное кольцо фон Неймана - те кольца, над которыми все модули плоские.
- Обычно плоское кольцо
Рекомендации
- ^ Бурбаки , гл. I, § 2. Предложение 13, следствие 1.
- ^ Картье, Пьер (1958). "Вопросы рационализаторства разделителей ан géométrie algébrique" . Бюллетень математического общества Франции (на французском языке). Лемма 5, стр. 249. 86 : 177–251. DOI : 10,24033 / bsmf.1503 .CS1 maint: location ( ссылка )
- ^ ( Лазард 1969 )
- ^ ( Чейз 1960 )
- ^ Мацумура 1970 , следствие 1 теоремы 55, стр. 170
- ^ Мацумура 1970 , теорема 56
- ^ Эйзенбуд , Упражнение 6.4.
- ^ Артин. «Теория деформации» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 28 октября 2020 года.
- ^ Доказательство: предположимточно плоский. Для R -модуля карта экспонаты как чистое подкольцо и так инъективно. Следовательно,инъективно. Наоборот, если это модуль над , тогда
- ^ SGA 1 , Exposé VIII., Corollay 4.3.
- ^ Артин , Упражнение (3) после предложения III.5.2.
- ^ «Амицур Комплекс» . ncatlab.org .
- ↑ Мацумура 1986 , гл. 8, упражнение 22.1.
- ^ Аналогично правый R -модуль M плоский тогда и только тогда, когда для всех и весь левый R -модули X .
- Перейти ↑ Lam 1999 , p. 183.
- ^ Модуль, изоморфный плоскому модулю, конечно, плоский.
- ^ Bican, Эль - Башир и Enochs 2001 .
- Перейти ↑ Richman 1997 .
- Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) .
- Bican, L .; Эль Башир, Р .; Енохс, Э. (2001), «Все модули имеют плоские крышки», Bull. Лондонская математика. Soc. , 33 (4): 385-390, DOI : 10,1017 / S0024609301008104 , ISSN 0024-6093 , МР 1832549
- Бурбаки, Николас . Коммутативная алгебра .
- Чейз, Стивен У. (1960), "Прямые произведения модулей", Труды Американского математического общества , 97 (3): 457-473, DOI : 10,2307 / 1993382 , JSTOR 1993382 , MR 0120260
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Enochs, Эдгар E. (1981), "Инъективные и плоские крышки, конверты и резольвенты", Израиль Журнал математики , 39 (3): 189-209, DOI : 10.1007 / BF02760849 , ISSN 0021-2172 , МР 0636889 , S2CID 120567780
- Енохс, Эдгар Э .; Jenda, Overtoun MG (2000), Относительная гомологическая алгебра , Выставки де Грюйтера по математике, 30 , Берлин: Walter de Gruyter & Co., DOI : 10.1515 / 9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0, Руководство по ремонту 1753146
- Кунц, Эрнст (1969), "Характеризация регулярных локальных колец характеристики р ", Американский журнал математика , 91 (3): 772-784, DOI : 10,2307 / 2373351 , JSTOR 2373351 , МР 0252389
- Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, 189 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту 1653294
- Лазар, Даниэль (1969), "Autour de la platitude" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033 / bsmf.1675
- Mac Lane, Saunders (1963), Homology , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Бостон, Массачусетс: Academic Press , MR 0156879
- Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра
- Мацумура, Хидеюки (1986). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования в области высшей математики. 8 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6. Руководство по ремонту 0879273 . Zbl 0603.13001 .
- Мамфорд, Дэвид , Красная книга разновидностей и схем
- Northcott, DG (1984), полилинейная алгебра , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-26269-9 - стр. 33
- Ричман, Фред (1997), «Плоская размерность, конструктивность и теорема о сизигии Гильберта», New Zealand Journal of Mathematics , 26 (2): 263–273, ISSN 1171-6096 , MR 1601663
- Серра, Жан-Пьер (1956), "Geometrie algébrique и др геометрический подход Аналитический" , Annales де l'Институт Фурье , 6 : 1-42, DOI : 10,5802 / aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175