Гипергеометрическая функция матричного аргумента

В математике , то гипергеометрическая функция матричного аргумента является обобщением классического гипергеометрического ряда . Это функция, определяемая бесконечным суммированием, которую можно использовать для вычисления некоторых многомерных интегралов.

Гипергеометрические функции матричного аргумента находят приложения в теории случайных матриц . Например, распределения крайних собственных значений случайных матриц часто выражаются через гипергеометрическую функцию аргумента матрицы.

Определение [ править ]

Позвольте и быть целыми числами, и пусть быть сложной симметричной матрицей. Тогда гипергеометрическая функция аргумента и параметра матрицы определяется как${\ displaystyle p \ geq 0}$${\ displaystyle q \ geq 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m \ times m}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$

${\ displaystyle _ {p} F_ {q} ^ {(\ alpha)} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; X) = \ сумма _ {k = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {\ kappa \ vdash k} {\ frac {1} {k!}} \ cdot {\ frac {(a_ {1}) _ {\ kappa} ^ {(\ alpha)} \ cdots (a_ {p}) _ {\ kappa} ^ {(\ alpha)}} {(b_ {1}) _ {\ kappa} ^ {(\ alpha)} \ cdots (b_ {q}) _ {\ kappa} ^ {(\ alpha)}}} \ cdot C _ {\ kappa} ^ {(\ alpha)} (X),}$

где средство представляет собой раздел из , является символом Обобщенного Похгаммера , и является «C» , нормализацией функции Джека .${\ displaystyle \ kappa \ vdash k}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle (а_ {я}) _ {\ каппа} ^ {(\ альфа)}}$${\ Displaystyle С _ {\ каппа} ^ {(\ альфа)} (X)}$

Два аргумента матрицы [ править ]

Если и - две комплексные симметричные матрицы, то гипергеометрическая функция двух матричных аргументов определяется как:${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle m \ times m}$

${\displaystyle _{p}F_{q}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};X,Y)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {(a_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (a_{p})_{\kappa }^{(\alpha )}}{(b_{1})_{\kappa }^{(\alpha )}\cdots (b_{q})_{\kappa }^{(\alpha )}}}\cdot {\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(X)C_{\kappa }^{(\alpha )}(Y)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},}$

где - единичная матрица размера .${\displaystyle I}$${\displaystyle m}$

Не типичная функция аргумента матрицы [ править ]

В отличие от других функций матричного аргумента, таких как матричная экспонента , которые имеют матричные значения, гипергеометрическая функция (одного или двух) матричных аргументов имеет скалярное значение.

Параметр ${\displaystyle \alpha }$[ править ]

Во многих публикациях этот параметр опускается. Также в разных публикациях неявно предполагаются разные значения . Например, в теории реальных случайных матриц (см., Например, Muirhead, 1984), тогда как в других условиях (например, в сложном случае - см. Gross and Richards, 1989) . Что еще хуже, в теории случайных матриц исследователи предпочитают параметр, называемый, вместо того, который используется в комбинаторике.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

Следует помнить, что

${\displaystyle \alpha ={\frac {2}{\beta }}.}$

Следует проявлять осторожность в отношении того, использует ли конкретный текст параметр или каково конкретное значение этого параметра.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Как правило, в настройках задействованы реальные случайные матрицы, и таким образом . В настройках, включающих сложные случайные матрицы, есть и .${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =2}$

Ссылки [ править ]

• К.И. Гросс и Д. Сент-П. Ричардс, "Полная положительность, сферические ряды и гипергеометрические функции матричного аргумента", J. Approx. Теория , 59 , вып. 2, 224–246, 1989.
• Дж. Канеко, "Интегралы Сельберга и гипергеометрические функции, связанные с многочленами Джека", Журнал SIAM по математическому анализу , 24 , вып. 4, 1086-1110, 1993.
• Пламен Коев и Алан Эдельман, "Эффективное вычисление гипергеометрической функции матричного аргумента", Математика вычислений , 75 , вып. 254, 833-846, 2006.
• Робб Мюрхед, Аспекты многомерной статистической теории , John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1984.

Внешние ссылки [ править ]

• Программа для вычисления гипергеометрической функции матричного аргумента Пламена Коева.