Правильный икосаэдр

Правильный икосаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Платоново твердое тело
короткий номер	5 <z>
Элементы	F = 20, E = 30 V = 12 (χ = 2)
Лица по сторонам	20 {3}
Обозначение Конвея	Я сТ
Символы Шлефли	{3,5}
Символы Шлефли	s {3,4} sr {3,3} или ${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
Конфигурация лица	V5.5.5
Символ Wythoff	5 \| 2 3
Диаграмма Кокстера
Симметрия	I _h , H ₃ , [5,3], (* 532)
Группа вращения	Я , [5,3] ⁺ , (532)
использованная литература	U ₂₂ , C ₂₅ , W ₄
Характеристики	правильный , выпуклый дельтаэдр
Двугранный угол	138,189685 ° = arccos (- √ 5 ⁄ 3 )
3.3.3.3.3 ( фигура вершины )	Правильный додекаэдр ( двойственный многогранник )
Сеть

3D модель правильного икосаэдра

В геометрии , A регулярно икосаэдр ( / ˌ aɪ к ɒ ы ə ч я д т ən , - к ə -, - к oʊ - / или / aɪ ˌ к ɒ ы ə ч я д т ən /^[1] ) представляет собой выпуклый многогранник с 20 гранями, 30 ребрами и 12 вершинами. Это одно из пяти Платоновых тел., и тот, у кого больше всего лиц.

У него пять равносторонних треугольных граней, пересекающихся в каждой вершине. Он представлен символом Шлефли {3,5}, а иногда и фигурой вершины 3.3.3.3.3 или 3 ⁵ . Это двойное из додекаэдра , который представлен {5,3}, имеющее три пятиугольных лиц вокруг каждой вершины. В большинстве случаев безоговорочное использование слова «икосаэдр» относится именно к этому рисунку.

Регулярное икосаэдр является строго выпуклой deltahedron и gyroelongated пятиугольной бипирамиды и biaugmented пятиугольной антипризмы в любом из шести направлений.

Название происходит от греческого εἴκοσι (eíkosi) «двадцать» и ἕδρα (hédra) «сиденье». Множественное число может быть «икосаэдрами» или «икосаэдрами» ( / - d r ə / ).

Габаритные размеры

Сетка, складывающаяся в икосаэдр

Если длина ребра правильного икосаэдра равна , то радиус описанной сферы (той, которая касается икосаэдра во всех вершинах) равен ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle r_ {u} = {\ frac {a} {2}} {\ sqrt {\ varphi {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {a} {4}} {\ sqrt {10+ 2 {\ sqrt {5}}}} = a \ sin {\ frac {2 \ pi} {5}} \ приблизительно 0,951 \, 056 \, 5163 \ cdot a}

а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней икосаэдра) равен

{\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {\ varphi ^ {2} a} {2 {\ sqrt {3}}}} = {\ frac {\ sqrt {3}} {12}} \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) a \ приблизительно 0,755 \, 761 \, 3141 \ cdot a}

в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен

{\ displaystyle r_ {m} = {\ frac {a \ varphi} {2}} = {\ frac {1} {4}} \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) a = a \ cos {\ frac {\ pi} {5}} \ приблизительно 0.809 \, 016 \, 99 \ cdot a}

где это золотое сечение .

{\ displaystyle \ varphi}

Площадь и объем

Площадь поверхности и объем правильного икосаэдра с длиной ребра равны: ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle A = 5 {\ sqrt {3}} a ^ {2} \ приблизительно 8.660 \, 254 \, 04a ^ {2}}

V={\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 2.181\,694\,99a^{3}

Последний Р = 20 раз превышает объем общего тетраэдра с вершиной в центре вписанной сферы, где объем тетраэдра составляет одну треть раз площадь основания √ 34 через ² раза превышает его высоту г _я .

Коэффициент заполнения объема описанной сферы составляет:

f={\frac {V}{{\frac {4}{3}}\pi r_{u}^{3}}}={\frac {20\left(3+{\sqrt {5}}\right)}{\left(2{\sqrt {5}}+10\right)^{\frac {3}{2}}\pi }}\approx 0.605\,461\,3829,

по сравнению с 66,49% для додекаэдра. Сфера, вписанная в икосаэдр, будет охватывать 89,635% его объема по сравнению с 75,47% для додекаэдра.

Средняя часть икосаэдра будет иметь объем в 1,01664 раза больше, чем объем икосаэдра, что на сегодняшний день является наиболее близким по объему объемам любого платонового твердого тела с его средней сферой. Возможно, это делает икосаэдр самым «круглым» из платоновых тел.

Декартовы координаты

Вершины икосаэдра образуют три ортогональных золотых прямоугольника.

Вершины икосаэдра с центром в начале координат с длиной ребра 2 и описанной окружности из √ φ + 2 ≈ 1.9 являются ^[2]

(0, ± 1, ± ϕ )

(± 1, ± ϕ , 0)

(± ϕ , 0, ± 1)

где φ = 1 + √ 5 / 2 представляет собой золотое сечение . Взятие всех перестановок этих координат (а не только циклических перестановок) приводит к Соединению двух икосаэдров .

Вершины икосаэдра образуют пять наборов из трех концентрических, взаимно ортогональных золотых прямоугольников , ребра которых образуют кольца Борромео .

Если оригинал икосаэдр имеет длину ребра 1, сопряженное додекаэдр имеет длину ребра 1 / φ = φ - 1 = √ 5 - 1 / 2 .

Модель икосаэдра из металлических сфер и магнитных соединителей

12 ребер правильного октаэдра можно разделить в золотом сечении, так что полученные вершины образуют правильный икосаэдр. Это делается путем размещения векторов по краям октаэдра таким образом, чтобы каждая грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделяя каждое ребро на золотую середину в направлении его вектора. Пяти октаэдров , определяющий любой данное икосаэдр образует правильное многогранное соединение , в то время как два икосаэдры , которые могут быть определены таким образом , из любого октаэдра образует однородный полиэдр соединение .

Правильный икосаэдр и его описанная сфера . Вершины правильного икосаэдра лежат в четырех параллельных плоскостях, образуя в них четыре равносторонних треугольника ; это доказал Папп Александрийский

Сферические координаты

Расположение вершин правильного икосаэдра можно описать с помощью сферических координат , например широты и долготы . Если две вершины взяты , чтобы быть на северном и южном полюсах (широта ± 90 °), то остальные десять вершины на широте ± арктангенс 1 / 2 = ± 26.57 °. Эти десять вершин находятся на равном расстоянии друг от друга по долготе (36 ° друг от друга), чередуя северную и южную широты.

Эта схема использует тот факт, что правильный икосаэдр представляет собой пятиугольную гиро-удлиненную бипирамиду с двугранной симметрией D _5d, то есть он образован из двух конгруэнтных пятиугольных пирамид, соединенных пятиугольной антипризмой .

Ортогональные проекции

Икосаэдр имеет три специальных ортогональных проекции с центрами на грани, ребре и вершине:

Ортогональные проекции
В центре	Лицо	Край	Вершина
Самолет Кокстера	А ₂	А ₃	H ₃
График
Проективная симметрия	[6]	[2]	[10]
График	Лицо нормальное	Край нормальный	Вершина нормальная

Сферическая черепица

Икосаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Ортографическая проекция	Стереографическая проекция

Другие факты

Икосаэдр состоит из 43 380 различных сетей . ^[3]
Чтобы раскрасить икосаэдр таким образом, чтобы никакие две соседние грани не имели одинаковый цвет, требуется как минимум 3 цвета. ^[а]
Проблема, восходящая к древним грекам, состоит в том, чтобы определить, какая из двух форм имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Проблема была решена , среди прочего, Герой , Паппусом и Фибоначчи . ^[4] Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат: соотношение объемов этих двух форм совпадает с соотношением площадей их поверхностей. ^{[5] В} обоих томах есть формулы, включающие золотое сечение , но с разными степенями. ^[6] Как оказалось, икосаэдр занимает меньше объема сферы (60,54%), чем додекаэдр (66,49%). ^[7]

Строительство по системе равносторонних линий

Икосаэдр
H ₃ Плоскость Кокстера

6-ортоплексная плоскость Кокстера
D ₆

Геометрически эту конструкцию можно представить как 12 вершин 6-ортоплекса, спроецированные на 3 измерения. Это представляет собой геометрическое сворачивание групп Кокстера от D ₆ до H ₃ :

Если смотреть на эти ортогональные проекции 2D плоскости Кокстера , две перекрывающиеся центральные вершины определяют третью ось в этом отображении.

Следующая конструкция икосаэдра позволяет избежать утомительных вычислений в числовом поле, необходимых в более элементарных подходах. $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$

Существование икосаэдра сводится к существованию шести равноугольных линий в . Действительно, пересечение такой системы равноугольных прямых с евклидовой сферой с центром в их общем пересечении дает двенадцать вершин правильного икосаэдра, что легко проверить. И наоборот, если предположить существование правильного икосаэдра, прямые, определяемые его шестью парами противоположных вершин, образуют равноугольную систему. $\mathbb {R} ^{3}$

Чтобы построить такую равноугольную систему, мы начнем с этой квадратной матрицы 6 × 6 :

A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).

Прямое вычисление дает (где - единичная матрица 6 × 6). Это означает , что имеет собственные значения и , как с кратностью 3 , так как это симметричное и следа нулевой. $A^{2}=5I$ $I$ $A$ $-{\sqrt {5}}$ ${\sqrt {5}}$ $A$

Матричные индуцирует таким образом, евклидова структура на фактор - пространстве , которое изоморфно , чтобы , так как ядро из имеет размерность 3. образ при проекции из шести осей координат , образует систему из шести равносторонних линий пересекающихся попарно на общем угле острого оф . Ортогональная проекция положительных и отрицательных базисных векторов на - собственное подпространство из выходов , таким образом, двенадцать вершин икосаэдра. $A+{\sqrt {5}}I$ $\mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $A+{\sqrt {5}}I$ $\pi :\mathbb {R} ^{6}\to \mathbb {R} ^{6}/\operatorname {ker} (A+{\sqrt {5}}I)$ $\mathbb {R} ^{6}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\arccos 1/{\sqrt {5}}$ $\mathbb {R} ^{6}$ ${\sqrt {5}}$ $A$

Вторая прямая конструкция икосаэдра использует теорию представлений знакопеременной группы, действующей прямыми изометриями на икосаэдре. $A_{5}$

Симметрия

Полная икосаэдрическая симметрия имеет 15 зеркальных плоскостей ( на этой сфере обозначенных большими голубыми кружками ), пересекающихся под порядковыми углами, разделяющих сферу на 120 фундаментальных треугольных областей . Есть 6 5-кратных осей (синие), 10 3-кратных осей (красные) и 15 2-кратных осей (пурпурный). Вершины правильного икосаэдра существуют в точках 5-кратной оси вращения.

\pi /5,\pi /3,\pi /2

Вращательное группа симметрии икосаэдра является изоморфной к знакопеременной группе по пять букв. Это не- абелева простая группа является единственным нетривиальным нормальная подгруппа в симметрической группы по пять букв. Поскольку группа Галуа общего уравнения квинтики изоморфна симметрической группе из пяти букв, а эта нормальная подгруппа проста и неабелева, общее уравнение квинтики не имеет решения в радикалах. Доказательство теоремы Абеля – Руффини использует этот простой факт, а Феликс Клейннаписал книгу, в которой использовала теорию симметрий икосаэдра для получения аналитического решения общего уравнения пятой степени ( Klein 1884 ). См. Симметрию икосаэдра: связанные геометрии для дальнейшей истории и связанные симметрии семи и одиннадцати букв.

Полная группа симметрии икосаэдра (включая отражения) известна как полная группа икосаэдра и изоморфна произведению группы вращательной симметрии и группы размера два, которая генерируется отражением через центр икосаэдра. $C_{2}$

Звёздчатые

Икосаэдр имеет большое количество звёздчатых элементов . Согласно определенным правилам, определенным в книге «Пятьдесят девять икосаэдров» , для правильного икосаэдра было определено 59 звёздчатых звёзд. Первая форма - это сам икосаэдр. Один из них - правильный многогранник Кеплера – Пуансо . Три - правильные составные многогранники . ^[8]

21 из 59 звездчатых
Грани икосаэдра вытянуты наружу при пересечении плоскостей, определяя области в пространстве, как показано на этой звездчатой диаграмме пересечений в одной плоскости.

Грани

Небольшой звездчатый додекаэдр , большой додекаэдр и большой икосаэдр три facetings икосаэдра. У них одинаковое расположение вершин . У всех 30 ребер. Правильный икосаэдр и большой додекаэдр имеют одинаковое расположение ребер, но различаются гранями (треугольники против пятиугольников), как и маленький звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр (пентаграммы против треугольников).

Выпуклый	Обычные звезды
икосаэдр	большой додекаэдр	малый звездчатый додекаэдр	большой икосаэдр

Геометрические отношения

Имеются искажения икосаэдра, которые, хотя и не являются правильными, тем не менее однородны по вершинам . Они инвариантны относительно тех же вращений, что и тетраэдр, и в некоторой степени аналогичны курносому кубу и курносому додекаэдру , включая некоторые формы, которые являются киральными, а некоторые - с T _h -симметрией, то есть имеют плоскости симметрии, отличные от тетраэдра.

Икосаэдр уникален среди Платоновых тел тем, что имеет двугранный угол не менее 120 °. Его двугранный угол составляет примерно 138,19 °. Таким образом, точно так же, как шестиугольники имеют углы не менее 120 ° и не могут использоваться в качестве граней выпуклого правильного многогранника, поскольку такая конструкция не удовлетворяет требованию, чтобы по крайней мере три грани пересекались в вершине и оставляли положительный дефект для складывания. В трех измерениях икосаэдры не могут использоваться в качестве ячеек выпуклого правильного полихорона, потому что аналогично, по крайней мере, три ячейки должны встречаться на краю и оставлять положительный дефект для складывания в четырех измерениях (как правило, для выпуклого многогранника в nразмеров, по крайней мере, три грани должны встречаться на пике и оставлять положительный дефект для складывания в n -пространстве). Однако в сочетании с подходящими ячейками, имеющими меньшие двугранные углы, икосаэдры могут использоваться в качестве ячеек в полурегулярных полихорах (например, курносый 24-элементный ), так же как шестиугольники могут использоваться в качестве граней в полурегулярных многогранниках (например, усеченный икосаэдр ). Наконец, к невыпуклым многогранникам не предъявляются такие же строгие требования, как к выпуклым многогранникам, и икосаэдры действительно являются ячейками 120-элементной икосаэдра , одной из десяти невыпуклых правильных полихор .

Икосаэдр можно также назвать гиродлинной пятиугольной бипирамидой . Его можно разложить на гироподобную пятиугольную пирамиду и пятиугольную пирамиду или на пятиугольную антипризму и две равные пятиугольные пирамиды.

Связь с 6-кубом и ромбическим триаконтаэдром

Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-полукуба, используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба . Здесь показаны 20 внутренних вершин, которые не соединены 30 внешними ребрами корпуса с 6D нормальной длиной √ 2 . Внутренние вершины образуют додекаэдр .

Используемые базисные векторы трехмерной проекции [u, v, w]:

{\begin{aligned}u&=(1,\varphi ,0,-1,\varphi ,0)\\v&=(\varphi ,0,1,\varphi ,0,-1)\\w&=(0,1,\varphi ,0,-1,\varphi )\\\end{aligned}}

Однородные окраски и подсимметрии

Подгруппы икосаэдрической симметрии

Икосаэдр имеет 3 одинаковых раскраски . Эти раскраски можно представить как 11213, 11212, 11111, назвав 5 треугольных граней вокруг каждой вершины их цветом.

Икосаэдр можно рассматривать как курносый тетраэдр, поскольку ослабление правильного тетраэдра дает правильный икосаэдр, имеющий киральную тетраэдрическую симметрию . Он также может быть построен как чередующийся усеченный октаэдр, имеющий пиритоэдрическую симметрию . Вариант пиритоэдрической симметрии иногда называют псевдоикосаэдром , и он двойственен пиритоэдру .

	Обычный	Униформа			2-униформа
Имя	Правильный икосаэдр	Курносый октаэдр	Snub tetratetrahedron	Курносая квадратная бипирамида	Пятиугольная гиро-удлиненная бипирамида	Гиробиантикупола треугольная	Курносая треугольная антипризма ^[9]
Изображение
Раскраска лица	(11111)	(11212)	(11213)	(11212)	(11122) (22222)	(12332) (23333)	(11213) (11212)
Диаграмма Кокстера
Символ Шлефли	{3,5}	с {3,4}	ср {3,3}	SDT {2,4}	() \|\| {n} \|\| г {п} \|\| ()		сс {2,6}
Конвей	я	HtO	СТ	HtdP4	k5A5		sY3 = HtA3
Симметрия	I _h [5,3] (* 532)	T _h [3 ⁺ , 4] (3 * 2)	Т [3,3] ⁺ (332)	D _2h [2,2] (* 222)	D _5d [2 ⁺ , 10] (2 * 5)	D _3d [2 ⁺ , 6] (2 * 3)	Д ₃ [3,2] ⁺ (322)
Порядок симметрии	120	24	12	8	20	12	6

Использование и натуральные формы

Золотая наночастица просматривается с помощью просвечивающей электронной микроскопии .

Структура γ-бора.

Биология

Многие вирусы , например вирус герпеса , имеют икосаэдрическую оболочку . ^[10] Вирусные структуры состоят из повторяющихся идентичных белковых субъединиц, известных как капсомеры , и икосаэдр является самой простой формой для сборки с использованием этих субъединиц. Используется правильный многогранник, потому что он может быть построен из единственного базового белка, используемого снова и снова; это экономит место в вирусном геноме .

Обнаружены также различные бактериальные органеллы икосаэдрической формы. ^[11] Икосаэдрическая оболочка, инкапсулирующая ферменты и лабильные промежуточные соединения, построена из различных типов белков с доменами BMC .

В 1904 году Эрнст Геккель описал ряд видов радиолярий , в том числе Circogonia икосаэдров , чей скелет имеет форму правильного икосаэдра. Копия иллюстрации Геккеля для этого радиолярия появляется в статье о правильных многогранниках .

Химия

Клозо - карбораны представляют собой химические соединения с формой очень близко к икосаэдру. Икосаэдрическое двойникование также происходит в кристаллах, особенно в наночастицах .

Многие бориды и аллотропы бора содержат икосаэдр бора B ₁₂ в качестве основной структурной единицы.

Игрушки и игры

Двадцатигранный кубик из птолемеевского Египта

Двадцатигранный кубик

Икосаэдрические игральные кости с двадцатью сторонами использовались с древних времен. ^[12]

В нескольких ролевых играх , таких как Dungeons & Dragons , двадцатигранный кубик ( для краткости d20 ) обычно используется для определения успеха или неудачи действия. Эта игральная кость имеет форму правильного икосаэдра. Он может быть дважды пронумерован от «0» до «9» (в этой форме он обычно используется как десятигранный кубик или d10 ), но большинство современных версий имеют маркировку от «1» до «20».

Икосаэдр - это трехмерная игровая доска для Icosagame, ранее известная как Ico Crystal Game.

Икосаэдр используется в настольной игре Scattergories для выбора буквы алфавита. Шесть букв опущены (Q, U, V, X, Y и Z).

В игре Kirby 64: The Crystal Shards для Nintendo 64 босс Miracle Matter - это обычный икосаэдр.

Внутри волшебного шара-восьмерки на обычном икосаэдре начертаны различные ответы на вопросы « да-нет» .

«Сквиш» детская игрушка - это тенсегрити- объект в форме икосаэдра Джессена , который имеет те же координаты вершин, что и обычный икосаэдр, и такое же количество граней, но с шестью ребрами, повернутыми на 90 ° для соединения с другими вершинами.

Другие

Р. Бакминстер Фуллер и японский картограф Сёдзи Садао ^[13] разработали карту мира в виде развернутого икосаэдра, получившего название проекции Фуллера , максимальное искажение которого составляет всего 2%. Американский дуэт электронной музыки ODESZA использует в качестве логотипа обычный икосаэдр.

Икосаэдрический граф

Правильный граф икосаэдра
3-х кратная симметрия
Вершины	12
Края	30
Радиус	3
Диаметр	3
Обхват	3
Автоморфизмы	120 ( A 5 × Z ₂ )
Хроматическое число	4
Характеристики	Гамильтониан , регулярный , симметричный , дистанционно-регулярный , дистанционно-транзитивный , 3-вершинно-связанный , плоский граф
Таблица графиков и параметров

Скелет икосаэдра (вершин и ребер) образует граф . Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего платоновского тела .

Высокая степень симметрии многоугольника повторяется в свойствах этого графа, который является транзитивным по расстоянию и симметричным . Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины можно раскрасить в 4 цвета, ребра - в 5 цветов, а диаметр равен 3. ^[14]

Граф икосаэдра является гамильтоновым : существует цикл, содержащий все вершины. Это также планарный граф .

Ортогональная проекция

Уменьшенные правильные икосаэдры

Есть 4 связанных тела Джонсона , включая пятиугольные грани с подмножеством из 12 вершин. Подобный рассеченный правильный икосаэдр имеет 2 уменьшенные смежные вершины, оставляя две трапециевидные грани, а бифастигиум имеет 2 удаленных противоположных набора вершин и 4 трапециевидные грани. Пятиугольная антипризма образована удалением двух противоположных вершин.

Форма	J2	Bifastigium	J63	J62	с {2,10}	J11
Вершины	6 из 12	8 из 12	9 из 12	10 из 12		11 из 12
Симметрия	C _5v , [5], (* 55) порядок 10	D _2h , [2,2], * 222 порядок 8	C _3v , [3], (* 33) порядок 6	C _2v , [2], (* 22) порядок 4	D _5д , [2 ⁺ , 10], (2 * 5) порядок 20	C _5v , [5], (* 55) порядок 10
Изображение

Связанные многогранники и многогранники

Икосаэдр может быть преобразован путем усечения в его двойственный додекаэдр:

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] ⁺ , (532)


{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Как курносый тетраэдр и чередование усеченного октаэдра, он также существует в семействах тетраэдрической и октаэдрической симметрии:

Семейство однородных тетраэдрических многогранников
Симметрия : [3,3] , (* 332)							[3,3] ⁺ , (332)


{3,3}	т {3,3}	г {3,3}	т {3,3}	{3,3}	р-р {3,3}	tr {3,3}	ср {3,3}
Двойники к однородным многогранникам

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 ⁺ , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 ^1,1 }	т {3,4} т {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 ^1,1 }

		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или	знак равно или	знак равно

Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности правильных многогранников с символами Шлефли {3, n }, продолжающихся в гиперболическую плоскость .

* n 32 изменение симметрии правильных мозаик: {3, n } v т е
Сферический				Евклид.	Компактный гипер.		Paraco.	Некомпактный гиперболический

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 ¹²ⁱ	3 ⁹ⁱ	3 ⁶ⁱ	3 ³ⁱ

Икосаэдр, рассматривается как курносый тетраэдр , является членом последовательности пренебрежительны многогранников и разбиений с вершиной фигурой (3.3.3.3. П ) и Кокстер-Дынкина . Эти фигуры и их двойники имеют ( n 32) вращательную симметрию , находясь в евклидовой плоскости для и гиперболической плоскости для любого более высокого . Серию можно рассматривать с самого начала с одним набором граней, выродившихся в двуугольники . $n=6$ $n$ $n=2$

n 32 мутации симметрии курносых мозаик: 3.3.3.3.n v т е
Симметрия n 32	Сферический				Евклидово	Компактный гиперболический		Paracomp.
Симметрия n 32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Курносые фигуры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Гироскопические фигуры
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Сферический		Гиперболические мозаики v т е
{2,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	...	{∞, 5}

Икосаэдр может замощить гиперболическое пространство в икосаэдрических сотах порядка 3 , с 3 икосаэдрами вокруг каждого края, 12 икосаэдрами вокруг каждой вершины, с символом Шлефли {3,5,3}. Это одна из четырех регулярных мозаик в трехмерном гиперболическом пространстве.

Здесь он показан в виде краевого каркаса в модели диска Пуанкаре с одним икосаэдром, видимым в центре.

Смотрите также

Большой икосаэдр
Геодезические сетки используют итеративно деленный пополам икосаэдр для создания сеток на сфере.
Икосаэдрические близнецы
Бесконечный косой многогранник
Икосаэдр Джессена
Правильный многогранник
Усеченный икосаэдр

Примечания

^ Это верно для всех выпуклых многогранников с треугольными гранями, кроме тетраэдра, если применить теорему Брукса к двойственному графу многогранника.

использованная литература

^ Джонс, Дэниел (2003) [1917], Питер Роуч; Джеймс Хартманн; Джейн Сеттер (ред.), Словарь английского произношения , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 3-12-539683-2
^ Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрическая группа" . MathWorld .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Правильный Икосаэдр" . MathWorld .
^ Герц-Фишлер, Роджер (2013), Математическая история золотого числа , Courier Dover Publications, стр. 138–140, ISBN 9780486152325.
Перейти ↑ Simmons, George F. (2007), Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , Mathematical Association of America, p. 50, ISBN 9780883855614.
Перейти ↑ Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids , Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865.
^ Числовые значения объемов вписанных Платоновых тел можно найти в Buker, WE; Eggleton, RB (1969), "Платоновых тел (Решение проблемы E2053)", American Mathematical Monthly , 76 (2): 192, DOI : 10,2307 / 2317282 , JSTOR 2317282 .
^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Du Val, P .; Flather, HT; Петри, JF (1999), Пятьдесят девять Икосаэдров (3-е изд.), Tarquin, ISBN 978-1-899618-32-3, Руководство по ремонту 0676126 (1-й Эднский университет Торонто (1938))
^ Курносые антипризмы
^ С. Майкл Хоган. 2010. Вирус . Энциклопедия Земли. Национальный совет по науке и окружающей среде . ред. С. Драгган и К. Кливленд
^ Бобик, TA (2007), "Бактериальные Microcompartments" , Микроб , Am. Soc. Микробиология,. 2 : 25-31, архивируются с оригинала на 2013-07-29
↑ Кромвель, Питер Р. «Многогранники» (1997), стр. 327.
^ «Фуллер и Садао: партнеры в дизайне» . 19 сентября 2006 года Архивировано из оригинального 16 августа 2010 года . Проверено 26 января 2010 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрический график" . MathWorld .

Клейн, Феликс (1888 г.), Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени , ISBN 978-0-486-49528-6, Дуврское изданиеCS1 maint: постскриптум ( ссылка ) , перевод Кляйна, Феликса (1884). Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade . Teubner.

внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы по теме Икосаэдра .

В Wikisource есть текст статьи « Икосаэдр» из Британской энциклопедии 1911 года .

Найдите икосаэдр в Викисловаре, бесплатном словаре.

Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3o5o - ike» .
Хартли, Майкл. «Математические игры доктора Майка для детей» .
KJM MacLean, Геометрический анализ пяти платоновых тел и других полуправильных многогранников
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
Tulane.edu Обсуждение вирусной структуры и икосаэдра
Оригами Многогранники - Модели, сделанные из Модульного Оригами
Видео зеркальной скульптуры икосаэдра
[1] Принцип вирусной архитектуры

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А п	B n	I ₂ (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб.	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб.	8-полукруглый	1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 к2 • 2 к1 • к 21	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

(Выпуклый) икосаэдр	Малый триамбический икосаэдр	Соединение пяти октаэдров	Большой икосаэдр	Выкапанный додекаэдр
Известные звёздчатые формы икосаэдра
Обычный	Униформа двойников	Обычные соединения	Обычная звезда	Другие


Процесс образования звезд на икосаэдре создает ряд связанных многогранников и соединений с икосаэдрической симметрией .

[4] Это верно для всех выпуклых многогранников с треугольными гранями, кроме тетраэдра, если применить теорему Брукса к двойственному графу многогранника.

[1] Джонс, Дэниел (2003) [1917], Питер Роуч; Джеймс Хартманн; Джейн Сеттер (ред.), Словарь английского произношения , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 3-12-539683-2

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрическая группа" . MathWorld .

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Правильный Икосаэдр" . MathWorld .

[5] Герц-Фишлер, Роджер (2013), Математическая история золотого числа , Courier Dover Publications, стр. 138–140, ISBN 9780486152325.

[6] Перейти ↑ Simmons, George F. (2007), Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , Mathematical Association of America, p. 50, ISBN 9780883855614.

[7] Перейти ↑ Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids , Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865.

[8] Числовые значения объемов вписанных Платоновых тел можно найти в Buker, WE; Eggleton, RB (1969), "Платоновых тел (Решение проблемы E2053)", American Mathematical Monthly , 76 (2): 192, DOI : 10,2307 / 2317282 , JSTOR 2317282 .

[9] Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Du Val, P .; Flather, HT; Петри, JF (1999), Пятьдесят девять Икосаэдров (3-е изд.), Tarquin, ISBN 978-1-899618-32-3, Руководство по ремонту 0676126 (1-й Эднский университет Торонто (1938))

[10] Курносые антипризмы

[11] С. Майкл Хоган. 2010. Вирус . Энциклопедия Земли. Национальный совет по науке и окружающей среде . ред. С. Драгган и К. Кливленд

[Bobik2007-12] Бобик, TA (2007), "Бактериальные Microcompartments" , Микроб , Am. Soc. Микробиология,. 2 : 25-31, архивируются с оригинала на 2013-07-29

[13] Кромвель, Питер Р. «Многогранники» (1997), стр. 327.

[14] «Фуллер и Садао: партнеры в дизайне» . 19 сентября 2006 года Архивировано из оригинального 16 августа 2010 года . Проверено 26 января 2010 .

[15] Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрический график" . MathWorld .

[1]