В геометрии многие однородные мозаики на сфере, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости могут быть созданы с помощью конструкции Витхоффавнутри фундаментального треугольника (pqr), определяемого внутренними углами как π / p, π / q и π / r. Частные случаи - прямоугольные треугольники (pq 2). Равномерные решения строятся одной образующей точкой с 7 позициями в основном треугольнике, 3 углами, 3 краями и внутренней частью треугольника. Все вершины существуют в генераторе или его отраженной копии. Между образующей точкой и ее изображением в зеркале существуют края. Существует до 3 типов граней с центрами в углах основного треугольника. Области прямоугольного треугольника могут иметь всего 1 тип граней, образующих правильные формы, в то время как общие треугольники имеют как минимум 2 типа треугольников, что в лучшем случае приводит к квазирегулярной мозаике.
Существуют различные обозначения для выражения этих однородных решений, символ Уайтхоффа , диаграмма Кокстера и t-нотация Кокстера.
Простые плитки генерируются треугольниками Мебиуса с целыми числами p, q, r, в то время как треугольники Шварца допускают рациональные числа p, q, r и допускают грани многоугольника звезды и имеют перекрывающиеся элементы.
7 точек генератора
Семь точек генератора с каждым набором (и несколько специальных форм):
Общий | Правый треугольник (r = 2) | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Описание | Символ Wythoff | Конфигурация вершины | Диаграмма Кокстера | Символ Wythoff | Конфигурация вершины | Символ Шлефли | Диаграмма Кокстера | |
регулярный и квазирегулярный | q | пр | ( стр . г ) д | q | п 2 | p q | {p, q} | |||
p | qr | ( q . r ) p | p | q 2 | q p | {q, p} | ||||
г | pq | ( q . p ) r | 2 | pq | ( q . p ) ² | г {р, д} | t 1 {p, q} | |||
усеченный и расширенный | qr | п | q 2 | п | т {р, д} | т 0,1 {p, q} | ||||
пр | q | п 2 | q | стр . 2 кв. 2 кв. | т {д, р} | т 0,1 {q, p} | ||||
pq | р | pq | 2 | рр {р, q} | т 0,2 {р, q} | |||||
уравновешенный | pqr | | pq 2 | | tr {p, q} | т 0,1,2 {p, q} | ||||
pq ( rs ) | | - | p 2 ( RS ) | | 2 п. 4.-2 п . 4 / 3 | - | ||||
пренебрежительно | | pqr | | pq 2 | sr {p, q} | |||||
| pqr s | - | - | - | - |
Есть три особых случая:
- - Это смесь а также , содержащий только лица, общие для обоих.
- - Прямоугольные формы (чередующиеся) обозначаются этим неиспользуемым в противном случае символом.
- - Уникальная курносая форма для U75, которая не может быть сконструирована Wythoff.
Треугольники симметрии
Существует 4 класса симметрии отражения на сфере и три в евклидовой плоскости . Также перечислены некоторые из бесконечного множества таких паттернов на гиперболической плоскости . (Увеличение любого из чисел, определяющих гиперболическое или евклидово замощение, приводит к другому гиперболическому замощению.)
Группы точек:
- (p 2 2) двугранная симметрия , (заказывать )
- (3 3 2) тетраэдрическая симметрия (порядок 24)
- (4 3 2) октаэдрическая симметрия (порядок 48)
- (5 3 2) икосаэдрическая симметрия (порядок 120)
Евклидовы (аффинные) группы:
- (4 4 2) * 442 симметрия : треугольник 45 ° -45 ° -90 °
- (6 3 2) * 632 симметрия : треугольник 30 ° -60 ° -90 °
- (3 3 3) * 333 симметрия : треугольник 60 ° -60 ° -60 °
Гиперболические группы:
- (7 3 2) * 732 симметрия
- (8 3 2) * 832 симметрия
- (4 3 3) * 433 симметрия
- (4 4 3) * 443 симметрия
- (4 4 4) * 444 симметрии
- (5 4 2) * 542 симметрия
- (6 4 2) * 642 симметрия
- ...
Двугранный сферический | Сферический | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Д 2ч | Д 3ч | Д 4ч | Д 5ч | Д 6ч | Т д | О ч | Я ч |
* 222 | * 322 | * 422 | * 522 | * 622 | * 332 | * 432 | * 532 |
(2 2 2) | (3 2 2) | (4 2 2) | (5 2 2) | (6 2 2) | (3 3 2) | (4 3 2) | (5 3 2) |
Указанные выше группы симметрии включают только целочисленные решения на сфере. Список треугольников Шварца включает рациональные числа и определяет полный набор решений невыпуклых однородных многогранников .
p4m | p3m | p6m |
---|---|---|
* 442 | * 333 | * 632 |
(4 4 2) | (3 3 3) | (6 3 2) |
* 732 | * 542 | * 433 |
---|---|---|
(7 3 2) | (5 4 2) | (4 3 3) |
В приведенных выше мозаиках каждый треугольник представляет собой фундаментальную область, раскрашенную четными и нечетными отражениями.
Сводные сферические, евклидовы и гиперболические мозаики
Ниже приведены избранные мозаики, созданные конструкцией Wythoff.
Сферические мозаики ( r = 2)
(pq 2) | Родитель | Усеченный | Исправленный | Bitruncated | Двунаправленный (двойной) | Собранный | Omnitruncated ( Cantitruncated ) | Курносый |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Символ Wythoff | q | п 2 | 2 q | п | 2 | pq | 2 п | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pq 2 |
Символ Шлефли | ||||||||
{p, q} | т {р, д} | г {р, д} | т {д, р} | {q, p} | рр {р, q} | tr {p, q} | sr {p, q} | |
т 0 {p, q} | т 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | т 1,2 {р, q} | t 2 {p, q} | т 0,2 {р, q} | т 0,1,2 {p, q} | ||
Диаграмма Кокстера | ||||||||
Фигура вершины | p q | q.2p.2p | (pq) 2 | п. 2 кв. 2 кв. | q p | п. 4.q.4 | 4.2p.2q | 3.3.стр. 3.q |
(3 3 2) | {3,3} | (3.6.6) | (3.3a.3.3a) | (3.6.6) | {3,3} | (3a.4.3b.4) | (4.6a.6b) | (3.3.3a.3.3b) |
(4 3 2) | {4,3} | (3.8.8) | (3.4.3.4) | (4.6.6) | {3,4} | (3.4.4a.4) | (4.6.8) | (3.3.3a.3.4) |
(5 3 2) | {5,3} | (3.10.10) | (3.5.3.5) | (5.6.6) | {3,5} | (3.4.5.4) | (4.6.10) | (3.3.3a.3.5) |
Некоторые перекрывающиеся сферические мозаики ( r = 2)
- Для более полного списка, включая случаи, когда r ≠ 2, см. Список равномерных многогранников треугольником Шварца .
Замощения показаны в виде многогранников . Некоторые формы являются вырожденными, указаны в скобках для фигур вершин , с перекрывающимися ребрами или вершинами.
(pq 2) | Фонд. треугольник | Родитель | Усеченный | Исправленный | Bitruncated | Двунаправленный (двойной) | Собранный | Omnitruncated ( Cantitruncated ) | Курносый |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Символ Wythoff | q | п 2 | 2 q | п | 2 | pq | 2 п | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pq 2 | |
Символ Шлефли | |||||||||
{p, q} | т {р, д} | г {р, д} | т {д, р} | {q, p} | рр {р, q} | tr {p, q} | sr {p, q} | ||
т 0 {p, q} | т 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | т 1,2 {р, q} | t 2 {p, q} | т 0,2 {р, q} | т 0,1,2 {p, q} | |||
Диаграмма Кокстера – Дынкина | |||||||||
Фигура вершины | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (стр. 2q. 2q) | q p | (стр. 4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.п. 3.q) | |
Икосаэдр (5/2 3 2) | {3,5 / 2} | (5 / 2.6.6) | (3,5 / 2) 2 | [3.10 / 2.10 / 2] | {5 / 2,3} | [3.4.5 / 2.4] | [4.10 / 2.6] | (3.3.3.3.5 / 2) | |
Икосаэдр (5 5/2 2) | {5,5 / 2} | (5 / 2.10.10) | (5 / 2,5) 2 | [5.10 / 2.10 / 2] | {5 / 2,5} | (5 / 2.4.5.4) | [4.10 / 2.10] | (3.3.5 / 2.3.5) |
Диэдральная симметрия ( q = r = 2)
Сферические мозаики с двугранной симметрией существуют для всехмногие из них имеют двуугольные грани, которые становятся вырожденными многогранниками. Две из восьми форм (ректифицированная и кантиллированная) являются копиями и пропущены в таблице.
(стр 2 2) Фундаментальная область | Родитель | Усеченный | Bitruncated (усеченный двойной) | Двунаправленный (двойной) | Omnitruncated ( Cantitruncated ) | Курносый | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Расширенный символ Шлефли | |||||||||
{p, 2} | т {р, 2} | т {2, р} | {2, п} | tr {p, 2} | sr {p, 2} | ||||
t 0 {p, 2} | т 0,1 {р, 2} | т 1,2 {р, 2} | t 2 {p, 2} | т 0,1,2 {р, 2} | |||||
Символ Wythoff | 2 | п 2 | 2 2 | п | 2 п | 2 | p | 2 2 | п 2 2 | | | стр 2 2 | |||
Диаграмма Кокстера – Дынкина | |||||||||
Фигура вершины | p² | (2.2p. 2p) | (4.4.p) | 2 шт. | (4.2p.4) | (3.3.стр. 3) | |||
(2 2 2) V2.2.2 | {2,2} | 2.4.4 | 4.4.2 | {2,2} | 4.4.4 | 3.3.3.2 | |||
(3 2 2) V3.2.2 | {3,2} | 2.6.6 | 4.4.3 | {2,3} | 4.4.6 | 3.3.3.3 | |||
(4 2 2) V4.2.2 | {4,2} | 2.8.8 | 4.4.4 | {2,4} | 4.4.8 | 3.3.3.4 | |||
(5 2 2) V5.2.2 | {5,2} | 2.10.10 | 4.4.5 | {2,5} | 4.4.10 | 3.3.3.5 | |||
(6 2 2) V6.2.2 | {6,2} | 2.12.12 | 4.4.6 | {2,6} | 4.4.12 | 3.3.3.6 | |||
... |
Евклидовы и гиперболические мозаики ( r = 2)
Даны некоторые репрезентативные гиперболические мозаики, которые показаны в виде проекции диска Пуанкаре .
(pq 2) | Фонд. треугольники | Родитель | Усеченный | Исправленный | Bitruncated | Двунаправленный (двойной) | Собранный | Omnitruncated ( Cantitruncated ) | Курносый |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Символ Wythoff | q | п 2 | 2 q | п | 2 | pq | 2 п | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pq 2 | |
Символ Шлефли | |||||||||
{p, q} | т {р, д} | г {р, д} | т {д, р} | {q, p} | рр {р, q} | tr {p, q} | sr {p, q} | ||
т 0 {p, q} | т 0,1 {p, q} | t 1 {p, q} | т 1,2 {р, q} | t 2 {p, q} | т 0,2 {р, q} | т 0,1,2 {p, q} | |||
Диаграмма Кокстера – Дынкина | |||||||||
Фигура вершины | p q | (q.2p.2p) | (pqpq) | (стр. 2q. 2q) | q p | (стр. 4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.п. 3.q) | |
Шестиугольная черепица (6 3 2) | V4.6.12 | {6,3} | 3.12.12 | 3.6.3.6 | 6.6.6 | {3,6} | 3.4.6.4 | 4.6.12 | 3.3.3.3.6 |
(Гиперболическая плоскость) (7 3 2) | V4.6.14 | {7,3} | 3.14.14 | 3.7.3.7 | 7.6.6 | {3,7} | 3.4.7.4 | 4.6.14 | 3.3.3.3.7 |
(Гиперболическая плоскость) (8 3 2) | V4.6.16 | {8,3} | 3.16.16 | 3.8.3.8 | 8.6.6 | {3,8} | 3.4.8.4 | 4.6.16 | 3.3.3.3.8 |
Квадратная плитка (4 4 2) | V4.8.8 | {4,4} | 4.8.8 | 4.4a.4.4a | 4.8.8 | {4,4} | 4.4a.4b.4a | 4.8.8 | 3.3.4a.3.4b |
(Гиперболическая плоскость) (5 4 2) | V4.8.10 | {5,4} | 4.10.10 | 4.5.4.5 | 5.8.8 | {4,5} | 4.4.5.4 | 4.8.10 | 3.3.4.3.5 |
(Гиперболическая плоскость) (6 4 2) | V4.8.12 | {6,4} | 4.12.12 | 4.6.4.6 | 6.8.8 | {4,6} | 4.4.6.4 | 4.8.12 | 3.3.4.3.6 |
(Гиперболическая плоскость) (7 4 2) | V4.8.14 | {7,4} | 4.14.14 | 4.7.4.7 | 7.8.8 | {4,7} | 4.4.7.4 | 4.8.14 | 3.3.4.3.7 |
(Гиперболическая плоскость) (8 4 2) | V4.8.16 | {8,4} | 4.16.16 | 4.8.4.8 | 8.8.8 | {4,8} | 4.4.8.4 | 4.8.16 | 3.3.4.3.8 |
(Гиперболическая плоскость) (5 5 2) | V4.10.10 | {5,5} | 5.10.10 | 5.5.5.5 | 5.10.10 | {5,5} | 5.4.5.4 | 4.10.10 | 3.3.5.3.5 |
(Гиперболическая плоскость) (6 5 2) | V4.10.12 | {6,5} | 5.12.12 | 5.6.5.6 | 6.10.10 | {5,6} | 5.4.6.4 | 4.10.12 | 3.3.5.3.6 |
(Гиперболическая плоскость) (7 5 2) | V4.10.14 | {7,5} | 5.14.14 | 5.7.5.7 | 7.10.10 | {5,7} | 5.4.7.4 | 4.10.14 | 3.3.5.3.7 |
(Гиперболическая плоскость) (8 5 2) | V4.10.16 | {8,5} | 5.16.16 | 5.8.5.8 | 8.10.10 | {5,8} | 5.4.8.4 | 4.10.16 | 3.3.5.3.8 |
(Гиперболическая плоскость) (6 6 2) | V4.12.12 | {6,6} | 6.12.12 | 6.6.6.6 | 6.12.12 | {6,6} | 6.4.6.4 | 4.12.12 | 3.3.6.3.6 |
(Гиперболическая плоскость) (7 6 2) | V4.12.14 | {7,6} | 6.14.14 | 6.7.6.7 | 7.12.12 | {6,7} | 6.4.7.4 | 4.12.14 | 3.3.6.3.7 |
(Гиперболическая плоскость) (8 6 2) | V4.12.16 | {8,6} | 6.16.16 | 6.8.6.8 | 8.12.12 | {6,8} | 6.4.8.4 | 4.12.16 | 3.3.6.3.8 |
(Гиперболическая плоскость) (7 7 2) | V4.14.14 | {7,7} | 7.14.14 | 7.7.7.7 | 7.14.14 | {7,7} | 7.4.7.4 | 4.14.14 | 3.3.7.3.7 |
(Гиперболическая плоскость) (8 7 2) | V4.14.16 | {8,7} | 7.16.16 | 7.8.7.8 | 8.14.14 | {7,8} | 7.4.8.4 | 4.14.16 | 3.3.7.3.8 |
(Гиперболическая плоскость) (8 8 2) | V4.16.16 | {8,8} | 8.16.16 | 8.8.8.8 | 8.16.16 | {8,8} | 8.4.8.4 | 4.16.16 | 3.3.8.3.8 |
(Гиперболическая плоскость) (∞ 3 2) | V4.6.∞ | {∞, 3} | 3.∞.∞ | 3.∞.3.∞ | ∞.6.6 | {3, ∞} | 3.4.∞.4 | 4.6.∞ | 3.3.3.3.∞ |
(Гиперболическая плоскость) (∞ 4 2) | V4.8.∞ | {∞, 4} | 4.∞.∞ | 4.∞.4.∞ | ∞.8.8 | {4, ∞} | 4.4.∞.4 | 4.8.∞ | 3.3.4.3.∞ |
(Гиперболическая плоскость) (∞ 5 2) | V4.10.∞ | {∞, 5} | 5.∞.∞ | 5.∞.5.∞ | ∞.10.10 | {5, ∞} | 5.4.∞.4 | 4.10.∞ | 3.3.5.3.∞ |
(Гиперболическая плоскость) (∞ 6 2) | V4.12.∞ | {∞, 6} | 6.∞.∞ | 6.∞.6.∞ | ∞.12.12 | {6, ∞} | 6.4.∞.4 | 4.12.∞ | 3.3.6.3.∞ |
(Гиперболическая плоскость) (∞ 7 2) | V4.14.∞ | {∞, 7} | 7.∞.∞ | 7.∞.7.∞ | ∞.14.14 | {7, ∞} | 7.4.∞.4 | 4.14.∞ | 3.3.7.3.∞ |
(Гиперболическая плоскость) (∞ 8 2) | V4.16.∞ | {∞, 8} | 8.∞.∞ | 8.∞.8.∞ | ∞.16.16 | {8, ∞} | 8.4.∞.4 | 4.16.∞ | 3.3.8.3.∞ |
(Гиперболическая плоскость) (∞ ∞ 2) | V4.∞.∞ | {∞, ∞} | ∞.∞.∞ | ∞.∞.∞.∞ | ∞.∞.∞ | {∞, ∞} | ∞.4.∞.4 | 4.∞.∞ | 3.3.∞.3.∞ |
Евклидовы и гиперболические мозаики ( r > 2)
Диаграмма Кокстера-Дынкин приведена в линейной форме, хотя это на самом деле треугольник, с задним сегментом г , подключенным к первому узлу.
Символ Wythoff (pqr) | Фонд. треугольники | q | пр | rq | п | г | pq | rp | q | p | qr | pq | р | pqr | | | pqr |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Символ Шлефли | (р, д, г) | г (г, д, р) | (д, г, р) | г (р, д, г) | (д, р, г) | г (р, г, д) | tr (p, q, r) | s (p, q, r) | |
т 0 (р, д, г) | т 0,1 (р, д, г) | t 1 (p, q, r) | т 1,2 (п, д, г) | т 2 (р, д, г) | t 0,2 (p, q, r) | т 0,1,2 (р, д, г) | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||
Фигура вершины | (пр) q | (r.2p.q.2p) | (pq) r | (q.2r.p. 2r) | (qr) p | (стр. 2р. кв. 2р) | (2р. 2кв. 2р) | (3.r.3.q.3.p) | |
Евклидово (3 3 3) | V6.6.6 | (3,3) 3 | 3.6.3.6 | (3,3) 3 | 3.6.3.6 | (3,3) 3 | 3.6.3.6 | 6.6.6 | 3.3.3.3.3.3 |
Гиперболический (4 3 3) | V6.6.8 | (3,4) 3 | 3.8.3.8 | (3,4) 3 | 3.6.4.6 | (3,3) 4 | 3.6.4.6 | 6.6.8 | 3.3.3.3.3.4 |
Гиперболический (4 4 3) | V6.8.8 | (3,4) 4 | 3.8.4.8 | (4,4) 3 | 3.8.4.8 | (3,4) 4 | 4.6.4.6 | 6.8.8 | 3.3.3.4.3.4 |
Гиперболический (4 4 4) | V8.8.8 | (4,4) 4 | 4.8.4.8 | (4,4) 4 | 4.8.4.8 | (4,4) 4 | 4.8.4.8 | 8.8.8 | 3.4.3.4.3.4 |
Гиперболический (5 3 3) | V6.6.10 | (3,5) 3 | 3.10.3.10 | (3,5) 3 | 3.6.5.6 | (3,3) 5 | 3.6.5.6 | 6.6.10 | 3.3.3.3.3.5 |
Гиперболический (5 4 3) | V6.8.10 | (3,5) 4 | 3.10.4.10 | (4,5) 3 | 3.8.5.8 | (3,4) 5 | 4.6.5.6 | 6.8.10 | 3.5.3.4.3.3 |
Гиперболический (5 4 4) | V8.8.10 | (4,5) 4 | 4.10.4.10 | (4,5) 4 | 4.8.5.8 | (4,4) 5 | 4.8.5.8 | 8.8.10 | 3.4.3.4.3.5 |
Гиперболический (6 3 3) | V6.6.12 | (3,6) 3 | 3.12.3.12 | (3,6) 3 | 3.6.6.6 | (3,3) 6 | 3.6.6.6 | 6.6.12 | 3.3.3.3.3.6 |
Гиперболический (6 4 3) | V6.8.12 | (3,6) 4 | 3.12.4.12 | (4,6) 3 | 3.8.6.8 | (3,4) 6 | 4.6.6.6 | 6.8.12 | 3.6.3.4.3.3 |
Гиперболический (6 4 4) | V8.8.12 | (4,6) 4 | 4.12.4.12 | (4,6) 4 | 4.8.6.8 | (4,4) 6 | 4.8.6.8 | 8.8.12 | 3.6.3.4.3.4 |
Гиперболический (∞ 3 3) | V6.6.∞ | (3.∞) 3 | 3.∞.3.∞ | (3.∞) 3 | 3.6.∞.6 | (3.3) ∞ | 3.6.∞.6 | 6.6.∞ | 3.3.3.3.3.∞ |
Гиперболический (∞ 4 3) | V6.8.∞ | (3.∞) 4 | 3.∞.4.∞ | (4.∞) 3 | 3.8.∞.8 | (3.4) ∞ | 4.6.∞.6 | 6.8.∞ | 3.∞.3.4.3.3 |
Гиперболический (∞ 4 4) | V8.8.∞ | (4.∞) 4 | 4.∞.4.∞ | (4.∞) 4 | 4.8.∞.8 | (4.4) ∞ | 4.8.∞.8 | 8.8.∞ | 3.∞.3.4.3.4 |
Гиперболический (∞ ∞ 3) | V6.∞.∞ | (3.∞) ∞ | 3.∞.∞.∞ | (∞.∞) 3 | 3.∞.∞.∞ | (3.∞) ∞ | ∞.6.∞.6 | 6.∞.∞ | 3.∞.3.∞.3.3 |
Гиперболический (∞ ∞ 4) | V8.∞.∞ | (4.∞) ∞ | 4.∞.∞.∞ | (∞.∞) 4 | 4.∞.∞.∞ | (4.∞) ∞ | ∞.8.∞.8 | 8.∞.∞ | 3.∞.3.∞.3.4 |
Гиперболический (∞ ∞ ∞) | V∞.∞.∞ | (∞.∞) ∞ | ∞.∞.∞.∞ | (∞.∞) ∞ | ∞.∞.∞.∞ | (∞.∞) ∞ | ∞.∞.∞.∞ | ∞.∞.∞ | 3.∞.3.∞.3.∞ |
Смотрите также
- Правильный многогранник
- Правильный многогранник
- Список однородных мозаик
- Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
- Список равномерных многогранников
- Список равномерных многогранников треугольником Шварца
Рекомендации
- Регулярные многогранники Кокстера , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Построение Витхоффа)
- Кокстер Красота геометрии: Двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
- Кокстер , Лонге-Хиггинс, Миллер, Равномерные многогранники , Фил. Пер. 1954, 246 А, 401–50.
- Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09859-9. С. 9–10.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Символ Wythoff» . MathWorld .
- Символ Wythoff
- Символ Wythoff [ постоянная мертвая ссылка ]
- Апплет Грега Игана для отображения однородных многогранников с использованием метода построения Wythoff
- Рендеринг метода построения Wythoff методом Shadertoy
- KaleidoTile 3 Бесплатное образовательное программное обеспечение для Windows от Джеффри Уикса, которое генерировало многие изображения на странице.
- Люк, Дон. «Гиперболические плоские мозаики» .