Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция)
Инъективная сюръективная функция ( биекция )
Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция)
Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)
Функция |
---|
х ↦ е ( х ) |
Примеры доменов и кодоменов |
Классы / свойства |
Конструкции |
Обобщения |
В математике , в биекции , биективном функции , взаимно-однозначное соответствие , или обратимой функцией , является функцией между элементами двух множеств , где каждый элемент из одного набора спаренных ровно с одним элементом другого набора, и каждый элемент другого набора соединяется ровно с одним элементом первого набора. Нет непарных элементов. В математических терминах биективный функция F : X → Y представляет собой один-к-одному (инъективные) и на (сюръективно) отображение множества X на множество Y .[1] [2] Термин « взаимно однозначное соответствие» не следует путать с однозначной функцией ( инъективная функция ; см. Рисунки).
Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция)
Инъективная сюръективная функция ( биекция )
Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция)
Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)
Биекция из множества X на множество Y имеет обратную функцию от Y к X . Если X и Y - конечные множества , то наличие биекции означает, что они имеют одинаковое количество элементов. Для бесконечных множеств картина более сложная, что приводит к концепции кардинального числа - способа различать различные размеры бесконечных множеств.
Биективная функция от набора к самому себе также называется перестановкой , а набор всех перестановок набора образует симметрическую группу .
Биективные функции важны для многих областей математики, включая определения изоморфизма , гомеоморфизма , диффеоморфизма , группы перестановок и проективного отображения .
Чтобы пара между X и Y (где Y не должно отличаться от X ) было биекцией, должны выполняться четыре свойства:
Удовлетворяющие свойства (1) и (2) означает , что спаривание является функцией с доменом X . Это более распространено видеть свойства (1) и (2) , написанные как одно утверждение: каждый элемент X в паре с точно один элемент Y . Функции, удовлетворяющие свойству (3), называются « на Y » и называются сюръекциями (или сюръективными функциями ). Функции, удовлетворяющие свойству (4), называются « взаимно однозначными функциями » и называются инъекционными функциями (или инъективными функциями ). [3]Согласно этой терминологии, биекция - это функция, которая одновременно является сюръекцией и инъекцией, или, используя другие слова, биекция - это функция, которая является одновременно «один-к-одному» и «на». [1] [4]
Биекций иногда обозначается двуглавой стрелка вправо с хвостом ( U + 2916 ⤖ вправо двуглавого стрелка с TAIL ), как и в F : X ⤖ Y . Этот символ представляет собой сочетание двуглавый стрелка вправо ( U + 21A0 ↠ вправо ДВА двунаправленная стрелка ), иногда используется для обозначения сюръекций, а стрелка вправо с колючим хвостом ( U + 21A3 ↣ стрелок вправо с хвостом ), иногда используется для обозначения инъекции.
Рассмотрим моргнув состав в виде бейсбольной или крикет команды (или любой другой список всех игроков любой спортивной команды , где каждый игрок держит определенное место в линейке). Набор X будет игроками в команде (размер девять в случае бейсбола) и набор Yбудут позиции в порядке ударов (1-й, 2-й, 3-й и т. д.). «Сопряжение» определяется тем, какой игрок в какой позиции находится в этом порядке. Свойство (1) выполняется, поскольку каждый игрок находится где-то в списке. Свойство (2) выполняется, поскольку ни один игрок не бьет в двух (или более) позициях в порядке. Свойство (3) говорит о том, что для каждой позиции в порядке на этой позиции есть отбивающий игрок, а свойство (4) утверждает, что два или более игроков никогда не отбивают одну и ту же позицию в списке.
В классе есть определенное количество мест. Группа студентов входит в комнату, и инструктор просит их сесть. Быстро осмотрев комнату, инструктор заявляет, что существует взаимное соответствие между набором студентов и набором сидений, где каждый студент сопоставляется с сиденьем, на котором они сидят. Что наблюдал преподаватель, чтобы прийти к такому выводу было это:
Инструктор смог сделать вывод, что мест было столько же, сколько и студентов, не считая ни одного набора.
Биекция f с областью определения X (обозначенная f : X → Y в функциональной записи ) также определяет обратное отношение, начинающееся с Y и идущее к X (поворотом стрелок). Процесс «поворота стрелы вокруг» для произвольной функции не происходит , в целом , выход функции, но свойства (3) и (4) биекция сказать , что эта обратная связь является функцией с областью Y . Более того, свойства (1) и (2) говорят, что эта обратная функция является сюръекцией и инъекцией, то есть обратной функциейсуществует и также является биекцией. Функции, имеющие обратные функции, называются обратимыми . Функция обратима тогда и только тогда, когда она биекция.
В кратких математических обозначениях функция f : X → Y биективна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию
Продолжая пример с расстановкой бейсбольных битов, определяемая функция принимает в качестве входных данных имя одного из игроков и выводит позицию этого игрока в порядке битья. Поскольку эта функция является биекцией, у нее есть обратная функция, которая принимает в качестве входных данных позицию в порядке отбивания и выводит игрока, который будет отбивать эту позицию.
Композиция из двух биекций F : X → Y и г : Y → Z представляет собой взаимно однозначное соответствие , чье обратный даются это .
И наоборот, если композиция двух функций биективен, то отсюда следует лишь то , что е есть инъективны и г есть сюръективны .
Если X и Y - конечные множества , то существует биекция между двумя множествами X и Y тогда и только тогда, когда X и Y имеют одинаковое количество элементов. В самом деле, в аксиоматической теории множеств это принято как определение «одинакового числа элементов» ( равнодоступность ), и обобщение этого определения на бесконечные множества приводит к понятию кардинального числа , способу различать различные размеры бесконечных множеств.
Биекций являются именно изоморфизмы в категории Набор из множеств и функций множества. Однако биекции не всегда являются изоморфизмами для более сложных категорий. Например, в категории Grp из групп , морфизмы должны быть гомоморфизм , так как они должны сохранить структуру группы, поэтому изоморфизмы изоморфизмы групп , которые биективный гомоморфизм.
Понятие взаимно однозначного соответствия обобщается на частичные функции , где они называются частичными биекциями , хотя частичные взаимно однозначные соответствия требуются только для того, чтобы быть инъективными. Причина этого ослабления состоит в том, что (правильная) частичная функция уже не определена для части своего домена; таким образом, нет веских причин ограничивать его обратную функцию полной функцией , то есть определяемой всюду в своей области. Множество всех частичных биекций на данном базовом множестве называется симметричной обратной полугруппой . [5]
Другой способ определения того же понятия - сказать, что частичная биекция от A к B - это любое отношение R (которое оказывается частичной функцией) со свойством, что R является графиком биекции f : A ′ → B ′ , где а ' представляет собой подмножество из а и в' представляет собой подмножество B . [6]
Когда частичная биекция находится на тот же набор, что иногда называют парциальное один-к-одному преобразованием . [7] Примером может служить преобразование Мёбиуса, просто определенное на комплексной плоскости, а не его завершение до расширенной комплексной плоскости. [8]
Эта тема является базовой концепцией теории множеств и может быть найдена в любом тексте, который включает введение в теорию множеств. Почти все тексты, посвященные введению в написание доказательств, будут включать раздел по теории множеств, поэтому эту тему можно найти в любом из них:
Викискладе есть медиафайлы по теме биективности . |