В физике , то обратная решетка представляет собой преобразование Фурье другой решетки (обычно решетки Браве ). При обычном использовании исходная решетка (преобразование которой представлено обратной решеткой) обычно является периодической пространственной функцией в реальном пространстве и также известна как прямая решетка . В то время как прямая решетка существует в реальном пространстве и является тем, что обычно называют физической решеткой, обратная решетка существует в обратном пространстве (также известном как импульсное пространство или, реже, как K-пространство , из-за связи между дуальными по Понтрягинамимпульс и позиция). Обратная решетка обратной решетки эквивалентна исходной прямой решетке, потому что определяющие уравнения симметричны относительно векторов в реальном и обратном пространстве. Математически векторы прямой и обратной решетки представляют собой ковариантные и контравариантные векторы соответственно.
Обратная решетка играет очень фундаментальную роль в большинстве аналитических исследований периодических структур, особенно в теории дифракции . При дифракции нейтронов и рентгеновских лучей , из-за условий Лауэ , разность импульсов между падающими и дифрагированными рентгеновскими лучами кристалла является вектором обратной решетки. Дифракционная картина кристалла может использоваться для определения обратных векторов решетки. Используя этот процесс, можно сделать вывод об атомном расположении кристалла.
Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера-Зейтца обратной решетки.
Волновое описание
Взаимное пространство
Взаимное пространство (также называемое k- пространством ) обеспечивает способ визуализации результатов преобразования Фурье пространственной функции. По своей роли он аналогичен частотной области, возникающей в результате преобразования Фурье функции, зависящей от времени. Сама область пространственной функции часто упоминается как реальное пространство . В физических приложениях, таких как кристаллография, как реальное, так и обратное пространство часто бывает двух- или трехмерным. В то время как эти пространственные измерения будут одинаковыми, пространства будут отличаться своими единицами измерения, так что, когда реальное пространство имеет единицы длины L , его обратное пространство будет иметь соответствующие единицы единицы, деленные на длину L −1 (обратная величина длины). .
Взаимное пространство играет важную роль в отношении волн, как классических, так и квантово-механических. Поскольку синусоидальную плоскую волну с единичной амплитудой можно записать как колебательный член, с начальной фазой , угловое волновое число и угловая частота , его можно рассматривать как функцию как а также (и изменяющаяся во времени часть как функция обоих а также ). Эта дополнительная роль а также приводит к их визуализации в дополнительных пространствах. Пространственная периодичность этой волны определяется ее длиной волны, где; следовательно, соответствующее волновое число в обратном пространстве будет.
В трех измерениях соответствующий член плоской волны принимает вид , что упрощает в установленное время , где это вектор положения точки в реальном пространстве, и теперь - волновой вектор в трехмерном обратном пространстве. Постоянная- фаза волнового фронта (плоскость постоянной фазы) через начало координат в момент времени, и- единичный вектор, перпендикулярный этому волновому фронту. Волновые фронты с фазой состоят из набора параллельных плоскостей, равномерно разнесенных по длине волны .
Обратная решетка
В общем, геометрическая решетка состоит из бесконечного регулярного массива вершин в пространстве, который можно моделировать векторно как решетку Браве . Некоторые решетки могут быть наклонными, что означает, что их основные линии не обязательно должны быть под прямым углом. Обратная решетка представляет собой периодический набор волновых векторов в обратном пространстве, составляющие ряд Фурье любой функциипериодичность которой совместима с периодичностью исходной прямой решетки в реальном пространстве. Эквивалентно, волновой вектор является вершиной обратной решетки, если он соответствует плоской волне в реальном пространстве, фаза которой в любой момент времени одинакова в каждой прямой вершине решетки.
Одним из эвристических подходов к построению обратной решетки в трех измерениях является запись вектора положения вершины прямой решетки в виде , где целые числа, определяющие вершину и - линейно независимые примитивные векторы, характерные для решетки. Тогда существует уникальная плоская волна (с точностью до отрицательного множителя), волновой фронт которой через начало координат содержит прямые точки решетки в а также , а прилегающий к нему волновой фронт проходит через. Его угловой волновой вектор имеет вид, где - единичный вектор, перпендикулярный этим двум волновым фронтам, а длина волны должен удовлетворить . Следовательно, по построению а также .
Перебирая индексы по очереди, тот же метод дает три волновых вектора с участием , где дельта Кронекера равно единице, когда и равен нулю в противном случае. В составляют набор из трех примитивных волновых векторов обратной решетки, каждая из вершин которых принимает вид , гдецелые числа. Тогда простая алгебра показывает, что для любой плоской волны с волновым вектором на обратной решетке полный фазовый сдвиг между началом координат и любой точкой на прямой решетке кратно (возможно, нулю) , так что фаза действительно будет одинаковой для каждой вершины прямой решетки, в соответствии с определением обратной решетки, приведенным выше. (Хотя любой волновой вектор на обратной решетке всегда принимает эту форму, этот вывод является скорее мотивационным, чем строгим, поскольку в нем опущено доказательство того, что других возможностей не существует.)
Зона Бриллюэна - это примитивная ячейка (точнее ячейка Вигнера-Зейтца ) обратной решетки, которая играет важную роль в физике твердого тела в силу теоремы Блоха . В чистой математике сопряженное пространство из линейных форм и двойная решетка обеспечивают более абстрактные обобщения обратного пространства и обратной решетку.
Математическое описание
Предполагая двумерную решетку Браве и помечая каждый вектор решетки нижним индексом
- где .
Принимая функцию где вектор из начала координат в любую позицию, если следует за периодичностью решетки, например электронной плотностью в атомном кристалле, полезно написать как многомерный ряд Фурье
где теперь нижний индекс так что это двойная сумма.
В виде следует периодичности решетки, переводя любым вектором решетки мы получаем то же значение, следовательно
Выражая вышесказанное через их ряды Фурье, мы имеем
Поскольку из равенства двух рядов Фурье следует равенство их коэффициентов, , что справедливо только тогда, когда
- где
Этот критерий ограничивает значения векторам, удовлетворяющим этому соотношению. Математически обратная решетка - это совокупность всех векторов которые удовлетворяют указанному выше тождеству для всех векторов положения точек решетки . По существу, любая функция, которая демонстрирует ту же периодичность решетки, может быть выражена в виде ряда Фурье с угловыми частотами, взятыми из обратной решетки.
Эта обратная решетка сама по себе является решеткой Браве, а обратная решетка является исходной решеткой, которая выявляет двойственность Понтрягина их соответствующих векторных пространств.
Два измерения
Для бесконечной двумерной решетки, определяемой ее примитивными векторами , его обратная решетка может быть определена путем создания двух обратных примитивных векторов по следующим формулам:
Где,
Здесь представляет собой 90 градусов матрицу поворота , т.е. д uarter очереди. Вращение против часовой стрелки и вращение по часовой стрелке можно использовать для определения обратной решетки: если - вращение против часовой стрелки и - вращение по часовой стрелке, для всех векторов . Таким образом, используя перестановку
мы получаем
Три измерения
Для бесконечной трехмерной решетки, определяемой ее примитивными векторами , его обратная решетка может быть определена путем создания трех обратных примитивных векторов по формулам
где нижний индекс в трех измерениях, а для скалярного тройного произведения :
Используя представление вектор-столбцов (взаимных) примитивных векторов, приведенные выше формулы можно переписать с помощью обращения матрицы :
Этот метод обращается к определению и допускает обобщение до произвольных размеров. Формула кросс-продукта преобладает во вводных материалах по кристаллографии.
Приведенное выше определение называется "физическим" определением, поскольку фактор естественно возникает из изучения периодических структур. Эквивалентное определение, определение «кристаллографа», происходит от определения обратной решетки как что меняет определения векторов обратной решетки на
и так далее для остальных векторов. Определение кристаллографа имеет то преимущество, что определение это просто обратная величина в направлении , отбрасывая коэффициент . Это может упростить определенные математические манипуляции и выразить размеры обратной решетки в единицах пространственной частоты . Какое определение решетки использовать - дело вкуса, если они не смешиваются.
Каждая точка в обратной решетке соответствует набору плоскостей решетки в решетке реального пространства . Направление вектора обратной решетки соответствует нормали к плоскостям реального пространства. Величина вектора обратной решетки дана в обратной длине и равна обратной величине межплоскостного расстояния между плоскостями реального пространства.
Габаритные размеры
Формула для размеры могут быть получены при условии, что -мерное реальное векторное пространство с основой и внутренний продукт . Векторы обратной решетки однозначно определяются формулой. Используя перестановку
их можно определить по следующей формуле:
Здесь, это форма объема , является обратным к изоморфизму векторного пространства определяется а также обозначает внутреннее умножение .
Можно проверить, что эта формула эквивалентна известным формулам для двумерного и трехмерного случая, используя следующие факты: В трехмерном пространстве, и в двух измерениях, , где - поворот на 90 градусов (как и в случае формы объема, угол, назначенный повороту, зависит от выбора ориентации [1] ).
Обратные решетки различных кристаллов
Обратные решетки для кубической кристаллической системы следующие.
Простая кубическая решетка
Простая кубическая решетка Браве с кубической примитивной ячейкой стороны, имеет в качестве обратной простой кубическую решетку с кубической примитивной ячейкой со стороной (в определении кристаллографа). Поэтому кубическая решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве.
Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка
Обратной решеткой для ГЦК-решетки является объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка.
Рассмотрим составную элементарную ячейку FCC. Найдите примитивную элементарную ячейку FCC; т.е. элементарная ячейка с одной точкой решетки. Теперь возьмем за начало координат одну из вершин примитивной элементарной ячейки. Приведите базисные векторы реальной решетки. Затем по известным формулам можно вычислить базисные векторы обратной решетки. Эти векторы обратной решетки FCC представляют собой базисные векторы реальной решетки BCC. Обратите внимание, что базисные векторы реальной решетки ОЦК и обратной решетки ГЦК похожи друг на друга по направлению, но не по величине.
Объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка
Обратной решеткой ОЦК- решетки является ГЦК- решетка.
Легко доказать, что только решетки Браве, у которых угол между (кубическая, тетрагональная, ромбическая) имеют параллельно их векторам в реальном пространстве.
Простая шестиугольная решетка
Обратной простой гексагональной решетке Браве с постоянными решетки c и a является другая простая гексагональная решетка с постоянными решетки а также повернут на 30 ° вокруг оси c относительно прямой решетки. Поэтому простая гексагональная решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. векторы a 1 = (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j; a 2 = - (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j ve a 3 = ak
Произвольный набор атомов
Один путь к обратной решетке произвольного набора атомов происходит от идеи рассеянных волн в пределах Фраунгофера (дальнего расстояния или задней фокальной плоскости линзы) как суммы амплитуд в стиле Гюйгенса от всех точек рассеяния (в этот случай от каждого отдельного атома). [2] Эта сумма обозначается комплексной амплитудой F в приведенном ниже уравнении, потому что это также преобразование Фурье (как функция пространственной частоты или обратного расстояния) эффективного потенциала рассеяния в прямом пространстве:
Здесь g = q / (2π) - вектор рассеяния q в единицах кристаллографа, N - число атомов, f j [ g ] - атомный коэффициент рассеяния для атома j и вектор рассеяния g , а r j - положение вектора атом j. Обратите внимание, что фаза Фурье зависит от выбора начала координат.
Для частного случая бесконечного периодического кристалла амплитуда рассеяния F = MF hkl от M элементарных ячеек (как и в описанных выше случаях) оказывается ненулевой только для целых значений, где
когда j = 1, m атомов внутри элементарной ячейки, дробные индексы решетки которых равны соответственно {u j , v j , w j }. Конечно, для учета эффектов, связанных с конечным размером кристалла, вместо этого следует использовать свертку формы для каждой точки или приведенное выше уравнение для конечной решетки.
Независимо от того, является ли массив атомов конечным или бесконечным, можно также представить себе "обратную решетку интенсивности" I [ g ], которая связана с решеткой амплитуд F через обычное соотношение I = F * F, где F * - комплексное сопряжение F Поскольку преобразование Фурье обратимо, конечно, этот акт преобразования в интенсивность отбрасывает «всю информацию, кроме 2-го момента» (то есть фазы). Таким образом, для случая произвольного набора атомов обратная решетка интенсивности имеет вид:
Здесь r jk - векторное расстояние между атомом j и атомом k. Это также можно использовать для прогнозирования влияния формы нанокристаллита и тонких изменений ориентации луча на обнаруженные дифракционные пики, даже если в некоторых направлениях толщина кластера составляет всего один атом. С другой стороны, расчеты рассеяния с использованием обратной решетки в основном учитывают падающую плоскую волну. Таким образом, после первого взгляда на эффекты обратной решетки (кинематического рассеяния), уширение луча и эффекты многократного рассеяния (т.е. динамические ) также могут быть важны для рассмотрения.
Обобщение дуальной решетки.
Есть на самом деле две версии в математике абстрактной двойной решетки концепции, для данной решетки L в реальном векторном пространстве V , в конечной размерности .
Первый, который непосредственно обобщает конструкцию обратной решетки, использует анализ Фурье . Это можно выразить просто в терминах двойственности Понтрягина . Двойственная группа V ^ к V снова вещественное векторное пространство, а ее замкнутая подгруппа L ^ , сопряженное к L оказывается решетка в V ^. Следовательно, L ^ - естественный кандидат на двойственную решетку в другом векторном пространстве (той же размерности).
Другой аспект проявляется в наличии квадратичной формы Q на V ; если оно невырожденное оно позволяет идентифицировать сопряженное пространство V * из V с V . Отношение V * к V не является внутренним; это зависит от выбора меры Хаара (элемент объема) на V . Однако , учитывая идентификацию два, который в любом случае хорошо определенной точность до скаляра , наличие Q позволяет говорить с двойной решеткой L , оставаясь в пределах V .
В математике , то двойная решетка данной решетки L в абелевой локально компактной топологической группе G есть подгруппа L * из двойной группы из G , состоящая из всех непрерывных символов, которые равны единице в каждой точке L .
В дискретной математике решетка - это локально дискретный набор точек, описываемый всеми целыми линейными комбинациями dim = n линейно независимых векторов в R n . Двойная решетка затем определяется всеми точками в линейной оболочке исходной решетки (обычно все из R ^ n) со свойством, что целое число является результатом внутреннего произведения со всеми элементами исходной решетки. Отсюда следует, что двойственная к двойственной решетке - это исходная решетка.
Кроме того, если мы позволим матрице B иметь столбцы в качестве линейно независимых векторов, описывающих решетку, то матрица
имеет столбцы векторов, описывающих двойственную решетку.
Смотрите также
- Кристаллография
- Двойная основа
- Сфера Эвальда
- Индекс Миллера
- Порошковая дифракция
- Линия Кикучи
- Зона Бриллюэна
- Ось зоны
Рекомендации
- ^ Одэн, Michèle (2003). Геометрия . Springer. п. 69.
- ^ Б. Е. Уоррен (1969/1990) Рентгеновская дифракция (Аддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс, Довер, Минеола, штат Нью-Йорк).
Внешние ссылки
- http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html - Симулятор дифракции электронов на основе Jmol позволяет исследовать пересечение обратной решетки и сферы Эвальда во время наклона.
- Пакет преподавания и обучения DoITPoMS по взаимному пространству и взаимной решетке
- Легко изучите кристаллографию и узнайте, как обратная решетка объясняет явление дифракции, как показано в главах 4 и 5.