Квантовый оператор
Эта статья касается оператора вращения в том виде , в каком он появляется в квантовой механике .
Квантово-механические вращения [ править ]
При каждом физическом вращении мы постулируем квантовомеханический оператор вращения, который вращает квантово-механические состояния.
Что касается генераторов вращения,
где ось вращения, а - момент количества движения.
Оператор перевода [ править ]
Основная статья: Оператор трансляции (квантовая механика)
Вращения оператор , с первым аргументом , указывающим вращением оси , а второй углом поворота, может работать через оператор сдвига для бесконечно малых оборотов , как описано ниже. Вот почему сначала показано, как оператор трансляции действует на частицу в позиции x (тогда частица находится в состоянии согласно квантовой механике ).
Перевод частицы из позиции в позицию :
Поскольку перевод 0 не меняет положение частицы, мы имеем (где 1 означает тождественный оператор , который ничего не делает):
Развитие Тейлора дает:
с
Из этого следует:
Это дифференциальное уравнение с решением
Кроме того, предположим, что гамильтониан не зависит от положения. Поскольку оператор сдвига может быть записан в терминах , и , мы знаем, что этот результат означает, что линейный импульс для системы сохраняется.
Относительно орбитального углового момента [ править ]
Классически мы имеем для углового момента. То же самое и в квантовой механике, рассматривая и как операторы. Классически бесконечно малое вращение вектора вокруг оси, чтобы оставить неизменным, можно выразить следующие бесконечно малые преобразования (с использованием приближения Тейлора ):
Из этого следует для состояний:
И следовательно:
С помощью
сверху с расширением и расширением Тейлора получаем:
с в -компоненте углового момента в соответствии с классической поперечному продукта .
Чтобы получить поворот на угол , мы построим следующее дифференциальное уравнение, используя условие :
Подобно оператору сдвига, если нам задан гамильтониан, вращательно симметричный относительно оси -оси, подразумевается . Этот результат означает сохранение углового момента.
Для спинового углового момента относительно оси -оси мы просто заменим на, и мы получим оператор вращения спина
Влияние на оператор спина и квантовые состояния [ править ]
Основная статья: Вращение (физика) § Вращения
См. Также: Группа вращений SO (3) § Замечание по алгебре Ли
Операторы могут быть представлены матрицами . Из линейной алгебры известно, что определенная матрица может быть представлена в другом базисе посредством преобразования
где - базисная матрица преобразования. Если векторы соответственно являются осью z в одном базисе и соответственно в другом, они перпендикулярны оси y с определенным углом между ними. Затем оператор спина в первом базисе можно преобразовать в оператор спина другого базиса с помощью следующего преобразования:
Из стандартной квантовой механики у нас есть известные результаты и где и находятся верхние спины в их соответствующих основаниях. Итак, у нас есть:
Сравнение с урожайностью .
Это означает, что если состояние повернуть вокруг оси -оси на угол , оно становится состоянием , результат, который можно обобщить на произвольные оси.
См. Также [ править ]
- Симметрия в квантовой механике
- Сферическая основа
- Оптическое фазовое пространство
Ссылки [ править ]
- Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц: Квантовая механика: нерелятивистская теория , Pergamon Press, 1985.
- PAM Dirac: The Principles of Quantum Mechanics , Oxford University Press, 1958.
- Р.П. Фейнман, Р. Б. Лейтон и М. Сэндс: Лекции Фейнмана по физике , Эддисон-Уэсли, 1965 г.
|
- д'Аламбертиан
- Паритет
- Время
| | - Антисимметричный оператор
- Лестничный оператор
|
|
| - Общая энергия
- Гамильтониан
- Кинетическая энергия
| | - Переходный дипольный момент
| - Смещение
- Эффект Хэнбери Брауна и Твисса
- Квантовый коррелятор
- Сжимать
| - Инвариант Казимира
- Создание и уничтожение
|
|