Гебешфеноротунда треугольная

Гебешфеноротунда треугольная
Тип	Джонсон Дж 91 - Дж 92 - Дж 1
Лица	13 треугольников 3 квадрата 3 пятиугольника 1 шестиугольник
Края	36
Вершины	18
Конфигурация вершины	3 (3 3, 5) 6 (3.4.3.5) 3 (3.5.3.5) 2.3 (3 2, 4,6)
Группа симметрии	C 3v
Двойной многогранник	-
Характеристики	выпуклый
Сеть

3D модель треугольной гебешфеноротонды

В геометрии , то треугольной hebesphenorotunda является одним из твердых Johnson ( J ₉₂ ).

Тело Джонсона - это одно из 92 строго выпуклых многогранников, которые составлены из правильных граней многоугольника, но не являются однородными многогранниками (то есть они не являются платоновыми телами , архимедовыми телами , призмами или антипризмами ). Их назвал Норман Джонсон , который впервые перечислил эти многогранники в 1966 году ^[1].

Это одно из элементарных тел Джонсона, которые не возникают в результате манипуляций с платоновыми и архимедовыми телами "вырезать и вставить" . Однако он имеет тесную связь с икосододекаэдром , архимедовым телом. Наиболее очевидным является скопление из трех пятиугольников и четырех треугольников с одной стороны твердого тела. Если эти грани выровнены с конгруэнтным участком граней на икосододекаэдре, то шестиугольная грань будет лежать в плоскости посередине между двумя противоположными треугольными гранями икосододекаэдра.

Треугольная hebesphenorotunda также имеет группы граней, которые могут быть выровнены с соответствующими гранями ромбикосододекаэдра : три луны , каждая луна состоит из квадрата и двух противоположных треугольников, смежных с квадратом.

Грани вокруг каждой (3 ^3, 5) вершины также могут быть выровнены с соответствующими гранями различных уменьшенных икосаэдров .

Джонсон использует приставку hebespheno- для обозначения тупого клиновидного комплекса, образованного тремя соседними лунками , при этом лунка представляет собой квадрат с равносторонними треугольниками, прикрепленными к противоположным сторонам. Суффикс (треугольный) -ротонда относится к комплексу из трех равносторонних треугольников и трех правильных пятиугольников, окружающих другой равносторонний треугольник, который имеет структурное сходство с пятиугольной ротондой . ^[1]

Треугольная гебешфеноротунда - единственное тело Джонсона с гранями с 3, 4, 5 и 6 сторонами.

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты треугольной гебешфеноротонды с длиной ребра √ 5 - 1 даются объединением орбит точек

${\ displaystyle \ left (0, - {\ frac {2} {\ tau {\ sqrt {3}}}}, {\ frac {2 \ tau} {\ sqrt {3}}} \ right), \ left (\ tau, {\ frac {1} {{\ sqrt {3}} \ tau ^ {2}}}, {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right),}$

${\ displaystyle \ left (\ tau, - {\ frac {\ tau} {\ sqrt {3}}}, {\ frac {2} {{\ sqrt {3}} \ tau}} \ right), \ left ({\ frac {2} {\ tau}}, 0,0 \ right),}$

под действием группы, порождаемой вращением на 120 ° вокруг оси z и отражением относительно плоскости yz. ^[2] Здесь τ = √ 5 + 1/2(иногда пишется φ ) - это золотое сечение . Первая точка формирует треугольник напротив шестиугольника, вторая точка формирует основания треугольников, окружающих предыдущий треугольник, третья точка формирует вершины пятиугольников напротив первого треугольника, а последняя точка формирует шестиугольник.

Затем можно вычислить площадь поверхности треугольной гебешфеноротонды с длиной ребра а как

${\ displaystyle A = \ left (3 + {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {1308 + 90 {\ sqrt {5}} + 114 {\ sqrt {75 + 30 {\ sqrt {5}}) }}}} \ right) a ^ {2} \ приблизительно 16.38867a ^ {2},}$^[3]

и его объем как

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 5.10875a^{3}.}$^[4]

Вторую, перевернутую треугольную hebesphenorotunda можно получить, отрицая вторую и третью координаты каждой точки. Этот второй многогранник будет присоединен к первому по их общей шестиугольной грани, и пара впишется в икосододекаэдр. Если шестиугольную грань масштабировать по золотому сечению, то выпуклая оболочка результата будет целым икосододекаэдром.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайсштейн , Triangular hebesphenorotunda ( твердое тело Джонсона ) в MathWorld .