В физике и математике , и особенно в дифференциальной геометрии и калибровочной теории , уравнения Янга – Миллса представляют собой систему уравнений в частных производных для связи на векторном расслоении или главном расслоении . Уравнения Янга – Миллса возникают в физике как уравнения Эйлера – Лагранжа для функционала действия Янга – Миллса . Однако уравнения Янга – Миллса независимо друг от друга нашли существенное применение в математике.
Решения уравнений Янга – Миллса называются связностями Янга – Миллса или инстантонами . Пространство модулей инстантонов было использовано Саймоном Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона .
Мотивация
Физика
В своей основополагающей статье на тему калибровочных теорий Роберт Миллс и Чен Ян разработали (по существу независимо от математической литературы) теорию основных расслоений и связей, чтобы объяснить концепцию калибровочной симметрии и калибровочной инвариантности применительно к физическим теориям. . [1] Калибровочные теории, открытые Янгом и Миллсом, которые теперь называются теориями Янга – Миллса , обобщили классические работы Джеймса Максвелла по уравнениям Максвелла , которые были сформулированы на языкекалибровочная теория Вольфганга Паули и других. [2] Новизна работы Янга и Миллса заключалась в определении калибровочных теорий для произвольного выбора группы Ли. , называемая структурной группой (или в физике калибровочной группой , подробнее см. Калибровочная группа (математика) ). Эта группа могла быть неабелевой, в отличие от случаясоответствующий электромагнетизму, и подходящей основой для обсуждения таких объектов является теория основных связок .
Существенные моменты работы Янга и Миллса заключаются в следующем. Предполагается, что фундаментальное описание физической модели происходит через использование полей , и выводится, что при локальном калибровочном преобразовании (изменении локальной тривиализации главного расслоения) эти физические поля должны преобразовываться точно так же, как связь(в физике - калибровочное поле ) на главном расслоении преобразуется. Силы калибровочного поля есть кривизна связи, а энергия калибровочного поля задается (с точностью до константы) функционалом действия Янга – Миллса
Принцип наименьшего действия диктата , что правильные уравнения движения для этой физической теории должно быть задана уравнениями Эйлера-Лагранжа этого функционала, которые являются уравнения Янга-Миллса , полученные ниже :
Математика
Помимо физических истоков теории, уравнения Янга – Миллса представляют важный геометрический интерес. В общем случае нет естественного выбора связности на векторном расслоении или главном расслоении. В частном случае, когда это расслоение является касательным расслоением к риманову многообразию , существует такой естественный выбор, связность Леви-Чивита , но в целом существует бесконечномерное пространство возможных выборов. Связность Янга – Миллса дает некоторый естественный выбор связности для общего расслоения, как мы сейчас опишем.
Связь определяется своими локальными формами для банальной открытой обложки для связки . Первой попыткой выбора канонической связи могло бы быть требование, чтобы эти формы исчезли. Однако это невозможно, если тривиализация не является плоской в том смысле, что функции перехода- постоянные функции. Не все комплекты плоские, поэтому в общем случае это невозможно. Вместо этого можно спросить, что формы локального подключениясами по себе постоянны. На главном расслоении правильнее сформулировать это условие так: кривизнаисчезает. Однако по теории Черна – Вейля, если кривизна исчезает (то есть является плоской связностью ), то основное основное расслоение должно иметь тривиальные классы Черна , что является топологическим препятствием для существования плоских связностей: не каждое главное расслоение может иметь плоскую связность.
Лучшее, на что можно надеяться, - это спросить, что вместо исчезающей кривизны пучок имеет как можно меньшую кривизну . Описанный выше функционал действия Янга – Миллса - это в точности (квадрат)-норма кривизны, и ее уравнения Эйлера – Лагранжа описывают критические точки этого функционала, либо абсолютные минимумы, либо локальные минимумы. Другими словами, связи Янга – Миллса - это именно те соединения, которые минимизируют их кривизну. В этом смысле они являются естественным выбором связности на главном или векторном расслоении над многообразием с математической точки зрения.
Определение
Позволять быть компактным , ориентированное , риманово многообразие . Уравнения Янга – Миллса можно сформулировать для связности на векторном расслоении или главном- связать , для некоторой компактной группы Ли . Здесь представлена последняя конвенция. Позволять обозначить принципала - связать . Затем подключение наможет быть задан алгеброзначной дифференциальной формой на общем пространстве главного расслоения. Это соединение имеет форму кривизны , которая представляет собой двойную форму насо значениями в сопряженном пучке из . Связано с подключениемпредставляет собой внешний вид ковариантной производной , определенный на присоединенном расслоении. Кроме того, посколькукомпактна, ассоциированная с ней компактная алгебра Ли допускает инвариантное скалярное произведение относительно присоединенного представления .
С является римановым, существует скалярное произведение на кокасательном расслоении и объединено с инвариантным скалярным произведением на в комплекте есть внутренний продукт из -значные двухбланки на . С ориентирован, есть -внутренний товар по разделам этого набора. А именно,
где внутри интеграла используется пакетный внутренний продукт, и это риманова форма объема из. Используя это-внутренней продукт, формально сопряженный оператор из определяется
- .
Явно это дается где - звездный оператор Ходжа, действующий на две-формы.
Если исходить из вышеизложенной схемы, уравнения Янга – Миллса представляют собой систему (в общем нелинейных) уравнений в частных производных, задаваемых формулой
- [3]
( 1 )
Поскольку звезда Ходжа является изоморфизмом, по явной формуле для уравнения Янга – Миллса эквивалентно записываются
( 2 )
Связность, удовлетворяющая ( 1 ) или ( 2 ), называется связностью Янга – Миллса .
Каждое соединение автоматически удовлетворяет тождеству Бьянки , поэтому связности Янга – Миллса можно рассматривать как нелинейный аналог гармонических дифференциальных форм , которые удовлетворяют
- .
В этом смысле поиск связностей Янга – Миллса можно сравнить с теорией Ходжа , которая ищет гармонического представителя в классе когомологий де Рама дифференциальной формы. Аналогия состоит в том, что связность Янга – Миллса подобна гармоническому представителю во множестве всех возможных связностей на главном расслоении.
Вывод
Уравнения Янга – Миллса - это уравнения Эйлера – Лагранжа для функционала Янга – Миллса , определяемого формулой
( 3 )
Чтобы вывести уравнения из функционала, напомним, что пространство всех подключений на является аффинным пространством, смоделированным на векторном пространстве. Учитывая небольшую деформацию связи в этом аффинном пространстве кривизны связаны соотношением
Чтобы определить критические точки ( 3 ), вычислите
Связь является критической точкой функционала Янга – Миллса тогда и только тогда, когда она обращается в нуль для каждого , и это происходит именно тогда, когда выполняется ( 1 ).
Пространство модулей связностей Янга – Миллса.
Уравнения Янга – Миллса калибровочно инвариантны . Математически калибровочное преобразование - это автоморфизм основного пакета , а так как внутренний продукт на инвариантен, функционал Янга – Миллса удовлетворяет
и так, если удовлетворяет ( 1 ), то же самое.
Существует пространство модулей связностей Янга – Миллса по модулю калибровочных преобразований. Обозначим черезкалибровочная группа автоморфизмов. Набор классифицирует все связи по модулю калибровочных преобразований, а пространство модулей связностей Янга – Миллса является подмножеством. В общем ни или же является Хаусдорф или гладким многообразием. Однако, ограничиваясь неприводимыми связями, то есть связямичья группа голономии задается всеми, действительно получаются хаусдорфовы пространства. Обозначим пространство неприводимых связностей, поэтому пространства модулей обозначаются а также .
Пространства модулей связностей Янга – Миллса интенсивно изучаются в конкретных обстоятельствах. Майкл Атья и Рауль Ботт изучали уравнения Янга – Миллса для расслоений над компактными римановыми поверхностями . [4] Там пространство модулей получает альтернативное описание как пространство модулей голоморфных векторных расслоений . Это теорема Нарасимхана – Сешадри , которая была доказана в этой форме, связывая связности Янга – Миллса с голоморфными векторными расслоениями Дональдсоном. [5] В этом случае пространство модулей имеет структуру компактного кэлерова многообразия . Модули связности Янга – Миллса наиболее изучены, когда размерность базового многообразиячетыре. [3] [6] Здесь уравнения Янга – Миллса допускают упрощение от УЧП второго порядка до УЧП первого порядка - уравнений антиавтодуальности .
Уравнения антиавтодуальности
Когда размер базового коллектора четыре, совпадение происходит. Звездный оператор Ходжа берет дифференциал п {\ displaystyle p} -форма в дифференциал-формы, где . Таким образом, в размерности четыре звездный оператор Ходжа отображает две формы в две формы,
- .
Звездный оператор Ходжа в этом случае возводится в квадрат до единицы и, следовательно, имеет собственные значения а также . В частности, есть разложение
в положительное и отрицательное собственные подпространства , самодвойственные и анти-самодвойственные две формы. Если подключение по принципу -расслоение над четырехмерным многообразием удовлетворяет либо или же , то по ( 2 ) связность является связностью Янга – Миллса. Эти соединения называются либо автодуальные соединениями или анти-автодуальные соединения и уравнение автодуальность (SD) уравнения и анти-автодуальность (ASD) уравнения . [3] Пространства самодвойственных и антисамодуальных связностей обозначаются через а также , и аналогично для а также .
Пространство модулей ASD-связностей, или инстантонов, наиболее интенсивно изучалось Дональдсоном в случае, когда а также является односвязной . [7] [8] [9] В этой ситуации главный-бандл классифицируется по второму классу Черна ,. [Примечание 1] Для различных вариантов главного расслоения получаются пространства модулей с интересными свойствами. Эти пространства хаусдорфовы, даже если допускают приводимые связи, и в общем случае гладкие. Дональдсон показал, что гладкая часть ориентируема. По теореме Атьи – Зингера об индексе можно вычислить, что размерность, пространство модулей соединений ASD при , быть
где это первое число Бетти из, а также размерность положительно определенного подпространства относительно формы пересечения на. [3] Например, когда а также , форма пересечения тривиальна, а пространство модулей имеет размерность . Это согласуется с существованием инстантона BPST , который является уникальным инстантоном ASD на до 5-параметрического семейства, определяющего его центр в и его масштаб. Такие инстантоны на может быть продолжен через бесконечно удаленную точку с помощью теоремы Уленбека об устранимой особенности.
Приложения
Теорема Дональдсона
Пространство модулей уравнений Янга – Миллса было использовано Дональдсоном для доказательства теоремы Дональдсона о форме пересечения односвязных четырехмерных многообразий. Используя аналитические результаты Клиффорда Таубса и Карен Уленбек , Дональдсон смог показать, что при определенных обстоятельствах (когда форма пересечения определена ) пространство модулей инстантонов ASD на гладком, компактном, ориентированном, односвязном четырехмерном многообразиидает кобордизм между копией самого многообразия и несвязным объединением копий комплексной проективной плоскости . [7] [10] [11] [12] Форма пересечения - это кобордизм, инвариантный с точностью до изоморфизма, показывающий, что любое такое гладкое многообразие имеет диагонализуемую форму пересечения.
Пространство модулей инстантонов ASD может быть использовано для определения дополнительных инвариантов четырехмерных многообразий. Дональдсон определил рациональные числа, ассоциированные с четырехмерным многообразием, возникающим из спаривания классов когомологий на пространстве модулей. [9] Впоследствии эта работа была превзойдена инвариантами Зайберга – Виттена .
Размерная редукция и другие пространства модулей
В процессе уменьшения размеров уравнения Янга – Миллса могут использоваться для вывода других важных уравнений в дифференциальной геометрии и калибровочной теории. Уменьшение размерности - это процесс принятия уравнений Янга – Миллса на четырехмерное многообразие, обычно, и налагая инвариантность решений относительно группы симметрий. Например:
- Требуя, чтобы уравнения антиавтодуальности были инвариантными относительно сдвигов в одном направлении , получаем уравнения Богомольного, описывающие магнитные монополи на.
- Требуя, чтобы уравнения самодуальности были инвариантными относительно сдвига в двух направлениях, можно получить уравнения Хитчина, впервые исследованные Хитчином . Эти уравнения естественным образом приводят к изучению расслоений Хиггса и системы Хитчина .
- Требуя, чтобы уравнения антиавтодуальности были инвариантными в трех направлениях, можно получить уравнения Нама на интервале.
Существует двойственность между решениями размерно редуцированных уравнений ASD на а также называется преобразованием Нама в честь Вернера Нама , который первым описал, как построить монополи из данных уравнения Нама. [13] Хитчины показали обратные, и Дональдсон доказал , что решения уравнений Нама может быть дополнительно связаны с пространствами модулей рациональных отображений из комплексных проективных прямых к себе. [14] [15]
Теоретически наблюдаемая двойственность этих решений верна для произвольных двойственных групп симметрий четырехмерного многообразия. Действительно, существует аналогичная двойственность между инстантонами, инвариантными относительно двойственных решеток внутри, инстантоны на двойственных четырехмерных торах , а конструкцию ADHM можно рассматривать как двойственность между инстантонами наи двойные алгебраические данные по одной точке. [3]
Теория Черна – Саймонса
Пространство модулей уравнений Янга – Миллса над компактной римановой поверхностью можно рассматривать как конфигурационное пространство теории Черна – Саймонса на цилиндре. В этом случае пространство модулей допускает геометрическое квантование , открытое независимо Найджелом Хитчином и Аксельродом-Делла Пьетра- Виттеном . [16] [17]
Смотрите также
- Подключение (векторный набор)
- Подключение (основной комплект)
- Теория Дональдсона
- Эрмитовы уравнения Янга – Миллса
- Деформированные эрмитовы уравнения Янга – Миллса.
- Уравнения Янга – Миллса – Хиггса
Заметки
- ^ Доказательство этого факта см. В сообщении https://mathoverflow.net/a/265399 .
Рекомендации
- ^ Янг, К.Н., Миллс, Р.Л., 1954. Сохранение изотопического спина и изотопической калибровочной инвариантности. Физический обзор, 96 (1), с.191.
- ^ Паули, В., 1941. Релятивистские теории поля элементарных частиц. Обзоры современной физики, 13 (3), с.203.
- ^ a b c d e Дональдсон, С. К., и Кронхеймер, П. Б. (1990). Геометрия четырехмерных многообразий. Издательство Оксфордского университета.
- Перейти ↑ Atiyah, MF, & Bott, R. (1983). Уравнения Янга – Миллса над римановыми поверхностями. Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки, 308 (1505), 523–615.
- Перейти ↑ Donaldson, SK (1983). Новое доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 269–277.
- Перейти ↑ Friedman, R., & Morgan, JW (1998). Калибровочная теория и топология четырехмерных многообразий (т. 4). Американское математическое общество.
- ^ a b Дональдсон, СК (1983). Приложение калибровочной теории к четырехмерной топологии. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (2), 279–315.
- Перейти ↑ Donaldson, SK (1986). Связности, когомологии и формы пересечений 4-многообразий. Журнал дифференциальной геометрии, 24 (3), 275–341.
- ^ a b Дональдсон, СК (1990). Полиномиальные инварианты для гладких четырехмерных многообразий. Топология, 29 (3), 257–315.
- ^ Таубса, СН (1982). Самодвойственные связности Янга – Миллса на несамодуальных 4-многообразиях. Журнал дифференциальной геометрии, 17 (1), 139–170.
- Перейти ↑ Uhlenbeck, KK (1982). Связности с L p- границами кривизны. Сообщения по математической физике, 83 (1), 31–42.
- Перейти ↑ Uhlenbeck, KK (1982). Устранимые особенности в полях Янга – Миллса. Сообщения по математической физике, 83 (1), 11–29.
- ^ Нам, W. (1983). Все самодуальные мультимонополи для произвольных калибровочных групп. В «Структурные элементы в физике элементарных частиц и статистической механике» (стр. 301–310). Спрингер, Бостон, Массачусетс.
- ^ Hitchin, штат НьюДжерси (1983). О строительстве монополей. Сообщения по математической физике, 89 (2), 145–190.
- Перейти ↑ Donaldson, SK (1984). Уравнения Нама и классификация монополей. Сообщения по математической физике, 96 (3), 387–408.
- ^ Hitchin, штат НьюДжерси (1990). Плоские связи и геометрическое квантование. Сообщения по математической физике, 131 (2), 347–380.
- Перейти ↑ Axelrod, S., Della Pietra, S., & Witten, E. (1991). Геометрическое квантование калибровочной теории Черна Саймонса. Представления, 34, 39.