Тессеракт

В геометрии , то тессеракт является четырехмерным аналогом куба ; тессеракт относится к кубу, как куб к квадрату . ^[1] Так же, как поверхность куба состоит из шести квадратных граней , гиперповерхность тессеракта состоит из восьми кубических ячеек . Тессеракт - один из шести выпуклых правильных 4-многогранников .

Tesseract 8-элементный 4-кубовый
Диаграмма Шлегеля
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{4,3,3} t _0,3 {4,3,2} или {4,3} × {} t _0,2 {4,2,4} или {4} × {4} t _{0,2 , 3} {4,2,2} или {4} × {} × {} t _0,1,2,3 {2,2,2} или {} × {} × {} × {}
Диаграмма Кокстера
Клетки	8 {4,3}
Лица	24 {4}
Края	32
Вершины	16
Фигура вершины	Тетраэдр
Многоугольник Петри	восьмиугольник
Группа Кокстера	В ₄ , [3,3,4]
Двойной	16 ячеек
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный
Единый индекс	10

Дали крест , сетка из тессеракта

Тессеракт также называется восемь-клетку , C ₈ , (регулярный) octachoron , octahedroid , ^[2] кубической призмы и tetracube . ^[3] Это четырехмерный гиперкуб или 4-куб как часть размерного семейства гиперкубов или мерных многогранников . ^[4] Коксетер называет это ${\ displaystyle \ gamma _ {4}}$ многогранник. ^[5] Термин гиперкуб без ссылки на размер часто рассматривается как синоним этой конкретной формы.

Согласно Оксфордскому словарю английского языка , слово tesseract было придумано ^{[ необходима цитата ]} и впервые использовано в 1888 году Чарльзом Ховардом Хинтоном в его книге «Новая эра мысли» от греческого téssara ( τέσσαρα 'четыре') и aktís ( ἀκτίς 'луч '), обращаясь к четырем ребрам от каждой вершины к другим вершинам. В этой публикации, а также в некоторых более поздних работах Хинтона это слово иногда произносилось как тессаракт . ^[6]

Геометрия

Тессеракт можно построить несколькими способами. Как правильный многогранник с тремя кубиками, сложенными вместе вокруг каждого ребра, он имеет символ Шлефли {4,3,3} с гипероктаэдрической симметрией порядка 384. Построенный как четырехмерная гиперпризма, состоящая из двух параллельных кубов, он может быть назван составным Шлефли. символ {4,3} × {}, с порядком симметрии 96. Как 4-4 дуопризма , декартово произведение двух квадратов , ее можно назвать составным символом Шлефли {4} × {4} с порядком симметрии 64 Как ортотоп он может быть представлен составным символом Шлефли {} × {} × {} × {} или {} ⁴ с порядком симметрии 16.

Поскольку каждая вершина тессеракта смежна с четырьмя ребрами, вершина тессеракта представляет собой правильный тетраэдр . Двойной многогранник из тессеракта называется регулярным hexadecachoron , или 16-клеток, с Шлефли символ {3,3,4}, с которой он может быть объединен с образованием соединения тессеракта и 16-клетки .

Стандартный тессеракт в евклидовом 4-пространстве задается как выпуклая оболочка точек (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). То есть состоит из точек:

{\ displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \,: \, - 1 \ leq x_ {i} \ leq 1 \}}

Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями ( x _i = ± 1). Каждая пара непараллельных гиперплоскостей пересекается, образуя 24 квадратных грани в тессеракте. По каждому краю пересекаются три кубика и три квадрата. Четыре куба, шесть квадратов и четыре ребра пересекаются в каждой вершине. Всего он состоит из 8 кубиков, 24 квадратов, 32 ребер и 16 вершин.

Проекции в двух измерениях

Анимация перемещения размеров

Построение гиперкубов можно представить следующим образом:

1-мерный: две точки A и B могут быть соединены в линию, образуя новый отрезок AB.
2-мерный: два параллельных отрезка AB и CD могут быть соединены в квадрат с углами, отмеченными как ABCD.
Трехмерный: два параллельных квадрата ABCD и EFGH могут быть соединены в куб с углами, отмеченными как ABCDEFGH.
4-мерный: два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могут быть соединены в тессеракт с углами, отмеченными как ABCDEFGHIJKLMNOP.

Схема, показывающая, как создать тессеракт из точки

Трехмерная проекция 8-ячеек, выполняющая простое вращение вокруг плоскости, которая делит фигуру пополам от переднего левого к заднему правому и сверху вниз.

Можно проецировать тессеракты в трехмерные и двухмерные пространства, аналогично проецированию куба в двухмерное пространство.

Проекции на 2D-плоскость становятся более поучительными, если переставлять позиции проецируемых вершин. Таким образом можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения внутри тессеракта, но которые иллюстрируют структуру соединения вершин, например, в следующих примерах:

Тессеракт в принципе получается путем объединения двух кубов. Схема аналогична построению куба из двух квадратов: сопоставьте две копии куба меньшей размерности и соедините соответствующие вершины. Каждый край тессеракта имеет одинаковую длину. Это представление представляет интерес при использовании тессерактов в качестве основы сетевой топологии для соединения нескольких процессоров в параллельных вычислениях : расстояние между двумя узлами не превышает 4, и существует множество различных путей для балансировки веса.

Параллельные проекции в 3-х измерениях

Параллельные проекционные конверты тессеракта (каждая ячейка нарисована гранями разного цвета, перевернутые ячейки не нарисованы)

Клеток первого параллельные проекции из тессеракта в трехмерное пространство имеют кубический конверт. Ближайшие и самые дальние ячейки проецируются на куб, а оставшиеся шесть ячеек проецируются на шесть квадратных граней куба.

Лицо первого параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство имеет прямоугольный параллелепипед конверт. Две пары ячеек выступают на верхнюю и нижнюю половины этой оболочки, а четыре оставшиеся ячейки выступают на боковые грани.

Края первых параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство имеет оболочку в форме шестигранной призмы . Шесть ячеек проецируются на ромбические призмы, которые располагаются в шестиугольной призме аналогично тому, как грани трехмерного куба проецируются на шесть ромбов в шестиугольной оболочке при проекции с первой вершиной. Две оставшиеся ячейки выступают на основания призм.

Ромбический додекаэдр форм выпуклой оболочки вершины первой параллельной проекции-Тессеракт в. Количество вершин в слоях этой проекции 1 4 6 4 1 - четвертая строка в треугольнике Паскаля .

Вершина первой параллельная проекция тессеракта в трехмерное пространство имеет ромбический додекаэдрический конверт. Две вершины тессеракта проецируются в начало координат. Есть ровно два способа разрезания ромбического додекаэдра на четыре конгруэнтных ромбоэдра , что дает в общей сложности восемь возможных ромбоэдров, каждый из которых представляет собой спроектированный куб тессеракта. Эта проекция также имеет максимальную громкость. Один набор векторов проекции: u = (1,1, -1, -1), v = (- 1,1, -1,1), w = (1, -1, -1,1).

Как конфигурация

Эта матрица конфигурации представляет собой тессеракт. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем тессеракте. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^[7] Например, 2 в первом столбце второй строки указывает, что есть 2 вершины в (т. Е. На крайних точках) каждого ребра; цифра 4 во втором столбце первой строки указывает на то, что 4 ребра пересекаются в каждой вершине.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 16 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 32 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 24 & 2 \\ 8 & 12 & 6 & 8 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Галерея

Тессеракт можно развернуть на восемь кубов в трехмерном пространстве, так же как куб можно развернуть на шесть квадратов в двухмерном пространстве. Развертка многогранника называется сеткой . Есть 261 отдельная сеть тессеракта. ^[8] Развертывания тессеракта можно подсчитать, сопоставив сети с парными деревьями ( дерево вместе с идеальным соответствием в его дополнении ).

Стереоскопическая 3D-проекция тессеракта (параллельный вид)

3D Crossed Eyes (no glasses needed) Disarmed Hypercube

Альтернативные прогнозы

Трехмерная проекция тессеракта, совершающего двойной поворот вокруг двух ортогональных плоскостей.

"> Воспроизвести медиа

3D-проекция трех мозаик с гранями и без

Перспектива с устранением скрытого объема . Красный угол является ближайшим в 4D, и вокруг него встречаются 4 кубические ячейки.

В тетраэдр образует выпуклую оболочку из вершины в центре центральной проекции тессеракта в. Показаны четыре из 8 кубических ячеек. 16-я вершина проецируется на бесконечность, а четыре ее ребра не показаны.

Стереографическая проекция

(Ребра проецируются на 3-сферу )

Анимация, показывающая каждый отдельный куб в проекции тессеракта на плоскость Кокстера B ₄ .

2D ортогональные проекции

Ортографические проекции
Самолет Кокстера	В ₄	B ₃ / D ₄ / A ₂	B ₂ / D ₃
График
Двугранная симметрия	[8]	[6]	[4]
Самолет Кокстера	Другой	П ₄	А ₃
График
Двугранная симметрия	[2]	[12/3]	[4]

Доказательство без слов , что тессеракт графа является неплоским использованием Куратовских или теорем Вагнера и нахождения либо К ₅ (вверху) или К _3,3 (внизу) подграфам

Радиальная равносторонняя симметрия

Длинный радиус (от центра до вершины) тессеракта равен длине его края; таким образом, его диагональ, проходящая через центр (от вершины к противоположной вершине), составляет 2 длины ребра. Только несколько однородных многогранников обладают этим свойством, включая четырехмерный тессеракт и 24-элементный , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . В частности, тессеракт - единственный гиперкуб с таким свойством. ^[9] Наибольший межвершинный диаметр n- мерного гиперкуба с единичной длиной ребра равен √ n , поэтому для квадрата - √ 2 , для куба - √ 3 , и только для тессеракта - √ 4 , ровно 2 длины кромки.

Мозаика

Тессеракт, как и все гиперкубы , тесселяет евклидово пространство . Самодвойственные тессерактические соты, состоящие из 4 мозаик вокруг каждой грани, имеют символ Шлефли {4,3,3,4} . Следовательно, тессеракт имеет двугранный угол 90 °. ^[10]

Радиальная равносторонняя симметрия тессеракта делает его мозаику уникальной регулярной объемно-центрированной кубической решеткой из сфер одинакового размера в любом количестве измерений.

Сам тессеракт можно разложить на более мелкие многогранники. Например, его можно триангулировать в 4-мерные симплексы, которые имеют общие вершины с тессерактом. Известно, что таких триангуляций 92487256 ^[11] и что наименьшее количество 4-мерных симплексов в любой из них - 16. ^[12]

Формулы

Для тессеракта с длиной стороны $s$ :

Гиперобъем: ${\ displaystyle H = s ^ {4}}$
Объем поверхности: ${\ displaystyle SV = 8 сек ^ {3}}$
Диагональ лица : ${\ displaystyle d _ {\ mathrm {лицо}} = {\ sqrt {2}} s}$
Диагональ ячейки : ${\ displaystyle d _ {\ mathrm {cell}} = {\ sqrt {3}} s}$
Диагональ пространства : ${\ displaystyle d _ {\ mathrm {space}} = 2s}$

Связанный сложный многоугольник

Ортогональный	Перспектива

₄ {4} ₂ , с 16 вершинами и 8 4-гранями, с 8 4-гранями, показанными здесь как 4 красных и 4 синих квадрата.

Регулярный комплекс многогранник ₄ {4} ₂ ,, в ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ имеет реальное представление в виде тессеракта или 4-4 дуопризмы в 4-мерном пространстве. ₄ {4} ₂ имеет 16 вершин и 8 4-ребер. Его симметрия равна ₄ [4] ₂ , порядок 32. Он также имеет конструкцию более низкой симметрии,, или ₄ {} × ₄ {}, с симметрией ₄ [2] ₄ , порядок 16. Это симметрия, если красные и синие 4-ребра считаются разными. ^[13]

Связанные многогранники и соты

Как однородная дуопризма , тессеракт существует в последовательности однородных дуопризм : { p } × {4}.

Правильный тессеракт, наряду с 16-ячеечным , существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией . Тессеракт {4,3,3} существует в последовательности правильных 4-многогранников и сот , { p , 3,3} с тетраэдрическими фигурами вершин , {3,3}. Тессеракт также находится в последовательности правильных 4-многогранников и сот , {4,3, p } с кубическими ячейками .

В популярной культуре

С момента их открытия четырехмерные гиперкубы были популярной темой в искусстве, архитектуре и научной фантастике. Известные примеры включают:

« И он построил кривый дом », научно-фантастический рассказ Роберта Хайнлайна 1940 года, изображающий здание в форме четырехмерного гиперкуба. ^[14] Это и книга Мартина Гарднера «Беспристрастный профессор», опубликованная в 1946 году, являются одними из первых в научной фантастике, знакомящих читателей с лентой Мебиуса , бутылкой Клейна и гиперкубом (тессеракт).
Распятие (Corpus Hypercubus) , картина маслом 1954 года Сальвадора Дали, изображающая четырехмерный гиперкуб, развернутый в трехмерный латинский крест . ^[15]
Grande Arche , памятник и здание недалеко от Парижа, Франция, завершенного в 1989 году По словам инженера памятника, Эрик Реицел , Гранде Arche был разработан , чтобы походить на проекцию гиперкуба. ^[16]
Fez , видеоигра, в которой вы играете персонажем, который может видеть за пределами двух измерений, которые видят другие персонажи, и должен использовать эту способность для решения платформерных головоломок. Включает «Точку», тессеракт, который помогает игроку ориентироваться в мире и рассказывает, как использовать способности, соответствующие теме видения за пределами человеческого восприятия известного пространственного пространства. ^[17]

Слово тессеракт позже было использовано для множества других целей в популярной культуре, в том числе в качестве сюжетного устройства в произведениях научной фантастики, часто практически без связи с четырехмерным гиперкубом в этой статье. См. Тессеракт (значения) .

Смотрите также

Математика и искусство

Заметки

^ "Тессеракт - 4-х мерный куб" . www.cut-the-knot.org . Проверено 9 ноября 2020 .
^ Матила Гик, Геометрия жизни и искусство (1977), с.68
^ Этот термин также может означать поликуб, состоящий из четырех кубиков.
^ Элте, EL (1912). Полурегулярные многогранники гиперпространств . Гронинген: Университет Гронингена. ISBN 1-4181-7968-X.
^ Косетер 1973 , стр. 122-123, §7.2. Иллюстрация Рис 7.2 С .
^ "тессеракт" . Оксфордский словарь английского языка (Интернет-изд.). Издательство Оксфордского университета. 199669. (Требуется подписка или членство в учреждении-участнике .)
Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 12, §1.8 Конфигурации.
^ «Раскладывающаяся 8-я клетка» . Unfolding.apperceptual.com . Проверено 21 января 2018 .
^ Строго говоря, гиперкубы 0 измерений (точка) и 1 измерения (отрезок линии) также радиально равносторонние.
Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 293.
^ Pournin, Лионель (2013), "Обратный График 4-мерного куб соединен", Дискретная & Вычислительная геометрия , 49 (3): 511-530, Arxiv : 1201,6543 , DOI : 10.1007 / s00454-013-9488- у , МР 3038527 , S2CID 30946324
^ Коттл, Ричард В. (1982), «Минимальная триангуляция 4-куба», Дискретная математика , 40 : 25–29, DOI : 10.1016 / 0012-365X (82) 90185-6 , MR 0676709
^ Кокстер, HSM, Регулярные комплексные многогранники , второе издание, Cambridge University Press, (1991).
^ Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», World Literature Today , 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086
^ Кемп, Мартин (1 января 1998), "размеры Дали", Nature , 391 (27): 27, Bibcode : 1998Natur.391 ... 27К , DOI : 10.1038 / 34063 , S2CID 5317132
^ Урсин, Анна (2016), «Визуализация знаний и визуальная грамотность в естественнонаучном образовании» , « Визуализация знаний и визуальная грамотность в научном образовании» , Справочник по информатике, стр. 91, ISBN 9781522504818
^ «Точка (персонаж) - гигантская бомба» . Гигантская бомба . Проверено 21 января 2018 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Тессеракт» . MathWorld .
Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные однородные многогранники (полихоры) x4o3o3o - tes» .
Тессеракт- луч отслеживал изображения с устранением скрытых поверхностей. Этот сайт предоставляет хорошее описание методов визуализации четырехмерных тел.
Der 8-Zeller (8-клеточные) Регулярные многогранники Марко Мёллера в ℝ ⁴ (немецкий)
WikiChoron: Тессеракт
HyperSolids - это программа с открытым исходным кодом для Apple Macintosh (Mac OS X и выше), которая генерирует пять правильных тел трехмерного пространства и шесть обычных гипертвердых тел четырехмерного пространства.
Hypercube 98 Программа для Windows , отображающая анимированные гиперкубы. Автор Руди Ракер.
Домашняя страница Кена Перлина Способ визуализации гиперкубов, Кен Перлин
Некоторые заметки о четвертом измерении включают в себя анимированные руководства по нескольким различным аспектам тессеракта, написанные Давидом П. Червоне.
Анимация тессеракта с устранением скрытого объема

4-многогранники
5-элементный Тессеракт (8 ячеек) 16 ячеек 24-элементный 120 ячеек 600 ячеек

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А п	B n	I ₂ (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадратный	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб.	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб.	8-полукруглый	1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 к2 • 2 к1 • к 21	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

[1] "Тессеракт - 4-х мерный куб" . www.cut-the-knot.org . Проверено 9 ноября 2020 .

[2] Матила Гик, Геометрия жизни и искусство (1977), с.68

[3] Этот термин также может означать поликуб, состоящий из четырех кубиков.

[4] Элте, EL (1912). Полурегулярные многогранники гиперпространств . Гронинген: Университет Гронингена. ISBN 1-4181-7968-X.

[FOOTNOTECoxeter1973122-123§7.2._illustration_Fig_7.2<small>C</small>-5] Косетер 1973 , стр. 122-123, §7.2. Иллюстрация Рис 7.2 С .

[6] "тессеракт" . Оксфордский словарь английского языка (Интернет-изд.). Издательство Оксфордского университета. 199669. (Требуется подписка или членство в учреждении-участнике .)

[FOOTNOTECoxeter197312§1.8_Configurations-7] Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 12, §1.8 Конфигурации.

[8] «Раскладывающаяся 8-я клетка» . Unfolding.apperceptual.com . Проверено 21 января 2018 .

[9] Строго говоря, гиперкубы 0 измерений (точка) и 1 измерения (отрезок линии) также радиально равносторонние.

[FOOTNOTECoxeter1973293-10] Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 293.

[11] Pournin, Лионель (2013), "Обратный График 4-мерного куб соединен", Дискретная & Вычислительная геометрия , 49 (3): 511-530, Arxiv : 1201,6543 , DOI : 10.1007 / s00454-013-9488- у , МР 3038527 , S2CID 30946324

[12] Коттл, Ричард В. (1982), «Минимальная триангуляция 4-куба», Дискретная математика , 40 : 25–29, DOI : 10.1016 / 0012-365X (82) 90185-6 , MR 0676709

[13] Кокстер, HSM, Регулярные комплексные многогранники , второе издание, Cambridge University Press, (1991).

[14] Фаулер, Дэвид (2010), «Математика в научной фантастике: математика как научная фантастика», World Literature Today , 84 (3): 48–52, JSTOR 27871086

[15] Кемп, Мартин (1 января 1998), "размеры Дали", Nature , 391 (27): 27, Bibcode : 1998Natur.391 ... 27К , DOI : 10.1038 / 34063 , S2CID 5317132

[16] Урсин, Анна (2016), «Визуализация знаний и визуальная грамотность в естественнонаучном образовании» , « Визуализация знаний и визуальная грамотность в научном образовании» , Справочник по информатике, стр. 91, ISBN 9781522504818

[17] «Точка (персонаж) - гигантская бомба» . Гигантская бомба . Проверено 21 января 2018 .

[1]