В математике , особенно в теории множеств , числа алеф - это последовательность чисел, используемая для представления мощности (или размера) бесконечных множеств, которые могут быть хорошо упорядочены . Они были введены математиком Георгом Кантором [1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, еврейской буквы алеф (). [2] [3]
(Хотя в старых книгах по математике буква «алеф» часто случайно печатается в перевернутом виде [nb 1] отчасти из-за того, что матрица монотипии для алеф была ошибочно построена неправильно). [4]
Мощность натуральных чисел равна(читайте aleph-naught или aleph-zero ; иногда также используется термин aleph-null ), следующая большая мощность хорошо упорядоченного набора - aleph-one, тогда и так далее. Продолжая таким образом, можно определить кардинальное число для каждого порядкового номера , как описано ниже.
Понятие и обозначения обусловлены Georg Cantor , [5] , который определил понятие мощности и понял , что бесконечные множества могут иметь разные значения мощности .
Числа алеф отличаются от бесконечности () обычно встречается в алгебре и исчислении, поскольку алефы измеряют размеры множеств, в то время как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел линии действительного числа (применяется к функции или последовательности, которая « расходится до бесконечности» или «увеличивается без граница "), или как крайняя точка расширенной действительной числовой прямой .
Алеф-ноль
(aleph-naught, также aleph-zero или aleph-null) - мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечным кардиналом . Множество всех конечных ординалов , называемое или же (где это строчная греческая буква омега ), имеет мощность. Набор имеет мощностьтогда и только тогда, когда он счетно бесконечен , то есть существует взаимно однозначное соответствие между ним и натуральными числами. Примеры таких наборов:
- набор всех целых чисел ,
- любое бесконечное подмножество целых чисел, такое как набор всех квадратных чисел или набор всех простых чисел ,
- набор всех рациональных чисел ,
- множество всех конструктивных чисел (в геометрическом смысле),
- набор всех алгебраических чисел ,
- множество всех вычислимых чисел ,
- набор всех двоичных строк конечной длины, и
- множество всех конечных подмножеств любого данного счетно бесконечного множества.
Эти бесконечные порядковые числа: , , , , а также находятся среди счетно бесконечных множеств. [6] Например, последовательность (с порядком ω · 2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа
- упорядочение множества (с мощностью ) натуральных чисел.
Если верна аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ), то меньше любого другого бесконечного кардинала.
Алеф-он
- мощность множества всех счетных порядковых чисел , называемых или иногда . ЭтотСамо по себе порядковое число больше всех счетных, поэтому это несчетное множество . Следовательно, отличается от . Определениеследует (в ZF, теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что никакое кардинальное число не находится между а также . Если использовать аксиому выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен и, следовательно,- второе по величине бесконечное кардинальное число. Используя аксиому выбора, можно показать одно из наиболее полезных свойств множества: любое счетное подмножество имеет верхнюю границу в (Это следует из того факта, что объединение счетного числа счетных множеств само является счетным - одно из наиболее распространенных приложений аксиомы выбора.) Этот факт аналогичен ситуации в : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, и конечные объединения конечных множеств конечны.
на самом деле полезная концепция, хотя и звучит несколько экзотично. Пример приложения "закрывается" по отношению к счетным операциям; например, попытка явно описать σ {\ displaystyle \ sigma} -алгебра, порожденная произвольным набором подмножеств (см., например, борелевскую иерархию ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «генерации» в алгебре ( векторные пространства , группы и т. Д.), Потому что в этих случаях нам нужно закрыть только относительно конечных операций - сумм, произведений и т. Процесс включает в себя определение для каждого счетного ординала с помощью трансфинитной индукции набора путем «добавления» всех возможных счетных объединений и дополнений и взятия объединения всего этого по всем параметрам..
Каждое несчетное коаналитическое подмножество польского пространства имеет мощность или же . [7]
Гипотеза континуума
Мощность множества действительных чисел ( мощность континуума ) является. Невозможно определить с помощью ZFC ( теория множеств Цермело – Френкеля с выбранной аксиомой ), где это число точно соответствует иерархии чисел алеф, но из ZFC следует, что гипотеза континуума, CH , эквивалентна тождеству
СН утверждает, что не существует множества, мощность которого строго находится между целыми и действительными числами. [9] CH не зависит от ZFC: его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что ZFC непротиворечива ). То, что CH согласуется с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC. То, что она не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал, наоборот, что сама CH не является теоремой ZFC - с помощью (тогда нового) метода принуждения . [8]
Алеф-омега
Алеф-омега - это
где наименьший бесконечный ординал обозначен ω. То есть кардинальное число точная верхняя граница
является первым несчетным кардинальным числом, которое в рамках теории множеств Цермело – Френкеля может быть продемонстрировано, что оно не равно мощности множества всех действительных чисел ; для любого натурального числа n мы можем последовательно предполагать, что, и, кроме того, можно предположить настолько большой, насколько нам нравится. Мы только вынуждены избегать установки его на определенных кардиналов с cofinality. , что означает, что существует неограниченная функция из к нему (см . теорему Истона ).
Aleph-α для общего α
Определить для произвольного порядкового номера , мы должны определить последующую кардинальную операцию , которая присваивает любому количествуследующий более крупный хорошо организованный кардинал(если выполняется аксиома выбора , это следующий по величине кардинал).
Затем мы можем определить числа алеф следующим образом:
и X, бесконечный предел порядковый ,
Α-й бесконечный начальный ординал записывается. Его мощность записана. В ZFC функция алеф является взаимно однозначным отображением ординалов в бесконечные кардиналы. [10]
Неподвижные точки омеги
Для любого ординала α имеем
Во многих случаях строго больше, чем α. Например, для любого последующего ординала α это верно. Однако есть некоторые предельные ординалы, которые являются неподвижными точками омега-функции из -за леммы о неподвижной точке для нормальных функций . Первый из них - это предел последовательности
Любой слабо недоступный кардинал также является фиксированной точкой функции алеф. [11] Это можно отобразить в ZFC следующим образом. Предполагать- слабо недоступный кардинал. Еслибыли преемником ординала , тобыл бы преемником кардинала и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Еслибыли предельным порядковым номером меньше, чем, то его cofinality (и, следовательно, cofinality) будет меньше, чем и другие не было бы регулярным и, следовательно, не слабо недоступным. Таким образом и следовательно что делает его фиксированной точкой.
Роль аксиомы выбора
Мощность любого бесконечного порядкового числа - это число алеф. Каждый алеф - это мощность некоторого ординала. Наименьшее из них - его начальный порядковый номер . Любой набор, мощность которого является алефом, равнозначен порядковому номеру и, следовательно, хорошо упорядочен .
Каждое конечное множество хорошо упорядочивается, но не имеет алеф в качестве его мощности.
Предположение, что мощность каждого бесконечного множества является алеф-числом, эквивалентно над ZF существованию хорошего упорядочения каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно выбранной аксиоме . Теория множеств ZFC, которая включает аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алеф в качестве его мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые числа чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.
Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, уже невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет некоторое число алеф в качестве мощности; множества, мощность которых является алеф-числом, - это в точности бесконечные множества, которые можно упорядочить. Метод уловки Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей для количественных чисел в установке ZF. Например, можно определить карту ( S ) как набор множеств с той же мощностью, что и S, минимально возможного ранга. Это имеет свойство card ( S ) = card ( T ) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (В общем, установленная карта ( S ) не имеет такой же мощности, как S , но все ее элементы имеют.)
Смотрите также
- Число Бет
- Функция Гимеля
- Обычный кардинал
- Трансфинитное число
- Порядковый номер
Заметки
- ^ Например, в ( Серпинском 1958 , p.402) букве алеф появляется как правильный путь вверх и вверх вниз
Цитаты
- ^ https://encyclopediaofmath.org/wiki/Aleph
- ^ "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ Вайстейн, Эрик В. «Алеф» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ Свонсон, Эллен; О'Шон, Арлин Энн; Шлейер, Антуанетта Тингли (1999) [1979], Математика в тип: редактирование копий и корректура математики для помощников редакторов и авторов (обновленная редакция), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 16, ISBN 0-8218-0053-1, Руководство по ремонту 0553111
- ^ Джефф Миллер. «Раннее использование символов теории множеств и логики» . jeff560.tripod.com . Проверено 5 мая 2016 . Цитаты Миллера Джозеф Уоррен Добен (1990). Георг Кантор: его математика и философия бесконечности . ISBN 9780691024479. : «Его новые числа заслуживают чего-то уникального ... Не желая сам изобрести новый символ, он выбрал алеф, первую букву еврейского алфавита ... Алеф можно считать символом новых начинаний ...»
- ^ Jech, Thomas (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
- ^ Дэйлс HG, Dashiell FK, Lau A.TM., Штраус Д. (2016) Введение. В кн .: Банаховы пространства непрерывных функций как двойственные пространства. Книги CMS по математике (Ouvrages de mathématiques de la SMC). Спрингер, Чам
- ^ а б Шудзик, Мэттью (31 июля 2018 г.). «Гипотеза континуума» . Wolfram Mathworld . Веб-ресурсы Wolfram . Проверено 15 августа 2018 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза континуума" . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 .
- ^ числа алеф в PlanetMath .
- ^ Харрис, Кеннет (6 апреля 2009 г.). "Math 582: Введение в теорию множеств, лекция 31" (PDF) . Департамент математики Мичиганского университета. Архивировано из оригинального (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 1 сентября 2012 года .
Рекомендации
- Серпинский, Вацлав (1958), Кардинальные и порядковые номера , Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne, 34 , Варшава: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0095787
Внешние ссылки
- "Алеф-ноль" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0» . MathWorld .