В топологии и математике в целом, граница подмножества S в виде топологического пространства X есть множество точек , которые можно подойти как с S , и с внешней стороны S . Точнее, это множество точек в замыкании на S , не принадлежащих к внутренней части S . Элемент границы S называется граничной точкой из S . Срок пограничной эксплуатацииотносится к поиску или взятию границы множества. Обозначения, используемые для границы множества S, включают bd ( S ), fr ( S ) и. Некоторые авторы (например, Уиллард в « Общей топологии» ) используют термин граница вместо границы, пытаясь избежать путаницы с другим определением, используемым в алгебраической топологии и теории многообразий . Несмотря на широкое признание значений терминов «граница» и «граница», они иногда использовались для обозначения других множеств. Например, метрические пространства по ET Copson использует термин границы для обозначения хаусдорфового «ы границы , которая определяется как пересечение множества с ее границей. [1] Хаусдорф также ввел термин вычет , который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения. [2]
Компонента связности границы S называется граничной компонентой из S .
Общие определения
Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества S топологического пространства X :
- замыкание вминус интерьер из:
- пересечение закрытия при закрытии его дополнения :
- набор точек таким образом, что каждый район в содержит хотя бы одну точку и хотя бы один пункт не :
Примеры
Рассмотрим реальную линию с обычной топологией (т. е. топологией, базисные множества которой - открытые интервалы ), подмножество рациональных чисел (с пустой внутренней частью ). Надо
Эти два последних примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренней частью является его замыканием.
В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( подпространство топологии из) граница , где a иррационально, пусто.
Граница множества - это топологическое понятие, которое может измениться при изменении топологии. Например, учитывая обычную топологию на, граница замкнутого диска окружность диска: . Если диск рассматривается как набор в со своей обычной топологией, т.е. , то границей диска является сам диск: . Если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства), то граница диска пуста.
Характеристики
- Граница множества замкнута . [3]
- Граница внутренней части множества, так же как и граница замыкания множества, оба содержатся в границе множества.
- Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно .
- Граница множества - это граница дополнения множества: .
- Внутренняя часть границы замкнутого множества - это пустое множество.
- Если является плотным открытым подмножеством тогда
Следовательно:
- («Трихотомия») Учитывая набор , точка лежит ровно в одном из множеств , , а также .
- p является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность p содержит хотя бы одну точку в множестве и хотя бы одну точку не в множестве.
- Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей.
- Замыкание множества равно объединению множества с его границей: .
- Граница набора пуста тогда и только тогда, когда набор одновременно закрытый и открытый (то есть закрытый набор ).
- Внутренняя часть границы замыкания множества - это пустое множество.
- Концептуальная диаграмма Венна, показывающая отношения между различными точками подмножестваиз R n . A = множество предельных точек зренияB = множество граничных точек зренияплощадь затененных зеленый = множество внутренних точек зренияплощадь затененной желтый = набор изолированных точек зренияобласти, закрашенные черным цветом = пустые множества. Каждая точкаявляется либо внутренней, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точкаявляется либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Точно так же каждая граничная точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками.
Граница границы
Для любого множества S , ∂ S ' ⊇ ∂∂ S , причем равенство тогда и только тогда , когда граница S не имеет внутренних точек, которые будут в случае, например , если S либо закрыто или открыто. Поскольку граница множества замкнута,для любого множества S . Таким образом, граничный оператор удовлетворяет ослабленной идемпотентности .
При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, построение особых гомологий критически опирается на этот факт. Объяснение кажущейся несовместимости состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) - это понятие, немного отличающееся от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемая как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, пуста. (В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, а граница многообразия инвариантна.)
Смотрите также
- Подробнее см. Обсуждение границы в топологическом многообразии .
- Граница многообразия
- Граничная точка - математическая концепция, относящаяся к подмножествам векторных пространств.
- Замыкание (топология)
- Внешний (топология) - наибольшее открытое подмножество, находящееся «вне» данного подмножества.
- Интерьер (топология)
- Нигде плотный набор
- Теорема плотности Лебега , для теоретико-меры характеризации и свойств границы
- Поверхность (топология) - Двумерное многообразие
Рекомендации
- ^ Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre . Лейпциг: Veit. п. 214 . ISBN 978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.
- ^ Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre . Лейпциг: Veit. п. 281 . ISBN 978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.
- ^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 86. ISBN 0-486-66352-3.
Следствие 4.15. Для каждого подмножества A Brdy ( A ) замкнуто.
дальнейшее чтение
- Мункрес, младший (2000). Топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
- Уиллард, С. (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-08707-3.
- ван ден Дрис, Л. (1998). Ручная топология . ISBN 978-0521598385.