В геометрии , поверхность Мальчика является погружением в вещественной проективной плоскости в 3-мерном пространстве найдено Вернер Мальчик в 1901. Он открыл его по заданию Давида Гильберта , чтобы доказать , что проективная плоскость не может быть погружена в 3-пространстве .
Поверхность Боя была впервые явно параметризована Бернардом Морином в 1978 году. [1] Другая параметризация была открыта Робом Куснером и Робертом Брайантом . [2] Поверхность Мальчика - одно из двух возможных погружений реальной проективной плоскости, которые имеют только одну тройную точку. [3]
В отличие от римской поверхности и крестовины , она не имеет других особенностей, кроме самопересечений (то есть не имеет точек защемления ).
Строительство
Чтобы сделать поверхность Мальчика:
- Начнем со сферы. Снимите колпачок.
- Прикрепите один конец каждой из трех полосок к шестым частям левого края, сняв колпачок.
- Согните каждую полоску и прикрепите другой конец каждой полоски к шестому, противоположному первому концу, так, чтобы внутренняя часть сферы на одном конце была соединена с внешней стороной на другом. Сделайте так, чтобы полосы не проходили сквозь середину, а огибали ее.
- Соедините свободные края полосок. Стыки пересекают полосы.
Симметрия поверхности Мальчика
Поверхность мальчика имеет 3-х кратную симметрию . Это означает, что у него есть ось дискретной симметрии вращения: любой поворот на 120 ° вокруг этой оси оставит поверхность в точности такой же. Поверхность Мальчика можно разрезать на три совпадающих друг с другом части.
Модель в Обервольфахе
В Институте математических исследований Обервольфаха есть большая модель поверхности Мальчика за пределами входа, построенная и подаренная Mercedes-Benz в январе 1991 года. Эта модель имеет 3-кратную симметрию вращения и минимизирует энергию Уиллмора поверхности. Он состоит из стальных полос, которые представляют изображение сетки полярных координат при параметризации, данной Робертом Брайантом и Робом Куснером. Меридианы (лучи) становятся обычными лентами Мёбиуса , то есть закрученными на 180 градусов. Все полосы, кроме одной, соответствующие кругам широты (радиальные круги вокруг начала координат), раскручены, а полоса, соответствующая границе единичного круга, представляет собой полосу Мёбиуса, закрученную на три раза на 180 градусов - как и эмблема института. ( Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ).
Приложения
Поверхность мальчика можно использовать в вывороте сферы , как модель на полпути . Модель на полпути - это погружение сферы с тем свойством, что вращение меняет местами внутри и снаружи, и поэтому может использоваться для выворачивания (выворачивания наизнанку) сферы. Поверхности Боя (случай p = 3) и Морена (случай p = 2) начинают последовательность промежуточных моделей с более высокой симметрией, впервые предложенных Джорджем Фрэнсисом, индексированных четными целыми числами 2p (для нечетных p эти погружения могут быть факторизованный через проективную плоскость) Все это дает параметризация Куснера.
Параметризация поверхности Мальчика
Поверхность мальчика можно параметризовать несколькими способами. Один параметризация, обнаруженный Rob Куснер и Робертом Bryant , [4] состоит в следующем: дано комплексное число ш которого величина меньше или равна единице (), позволять
чтобы
где x , y и z - желаемые декартовы координаты точки на поверхности Мальчика.
Если выполнить инверсию этой параметризации с центром в тройной точке, получится полная минимальная поверхность с тремя концами (именно так эта параметризация была обнаружена естественным образом). Отсюда следует, что параметризация Брайанта – Куснера поверхностей Боя «оптимальна» в том смысле, что это «наименее изогнутое» погружение проективной плоскости в трехмерное пространство .
Свойство параметризации Брайанта – Куснера.
Если w заменяется отрицательной обратной величиной его комплексного конъюгата ,то функции g 1 , g 2 и g 3 функции w не меняются.
Заменяя w на его действительную и мнимую части w = s + it и расширяя результирующую параметризацию, можно получить параметризацию поверхности Боя в терминах рациональных функций от s и t . Это показывает, что поверхность Боя - это не только алгебраическая поверхность , но даже рациональная поверхность . Замечание к предыдущему абзацу показывает, что общий слой этой параметризации состоит из двух точек (то есть почти каждая точка поверхности Боя может быть получена двумя значениями параметров).
Связь поверхности Мальчика с реальной проективной плоскостью
Позволять - параметризация Брайанта – Куснера поверхности Боя. потом
Это объясняет состояние по параметру: если тогда Однако для В этом случае Это означает, что если точка поверхности Мальчика получается из двух значений параметра: Другими словами, поверхность Мальчика параметризована диском таким образом, что пары диаметрально противоположных точек на периметре диска эквивалентны. Это показывает, что поверхность Мальчика является изображением реальной проективной плоскости RP 2 с помощью гладкого отображения . То есть параметризация поверхности Мальчика - это погружение реальной проективной плоскости в евклидово пространство .
Рекомендации
Цитаты
- Перейти ↑ Morin, Bernard (13 ноября 1978 г.). "Équations du retournement de la sphère" [Уравнения выворота сферы] (PDF) . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . Série A (на французском языке). 287 : 879–882.
- ^ Куснер, Роб (1987). «Конформная геометрия и полные минимальные поверхности» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 17 (2): 291–295. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1987-15564-9 ..
- ^ Гудман, Сью; Марек Коссовски (2009). «Погружения проективной плоскости с одной тройной точкой». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 27 (4): 527–542. DOI : 10.1016 / j.difgeo.2009.01.011 . ISSN 0926-2245 .
- ^ Раймонд О'Нил Уэллс (1988). «Поверхности в конформной геометрии (Роберт Брайант)». Математическое наследие Германа Вейля (12–16 мая 1987 г., Университет Дьюка, Дарем, Северная Каролина) . Proc. Симпозиумы. Чистая математика. 48 . American Mathematical Soc. С. 227–240. DOI : 10.1090 / pspum / 048/974338 . ISBN 978-0-8218-1482-6.
Источники
- Кирби, Роб (ноябрь 2007 г.), "Что такое поверхность Мальчика?" (PDF) , Уведомления AMS , 54 (10): 1306–1307 Это описывает кусочно-линейную модель поверхности Мальчика.
- Кассельман, Билл (ноябрь 2007 г.), «Зонтики падающего мальчика» (PDF) , Уведомления AMS , 54 (10): 1356 Статья об иллюстрации на обложке, которая сопровождает статью Роба Кирби.
- Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), Поверхность мальчика в Обервольфахе (PDF).
- Сандерсон, B. Boy's будет Boy's , (без даты, 2006 г. или ранее).
- Вайсштейн, Эрик В. «Поверхность мальчика» . MathWorld .
Внешние ссылки
- Поверхность мальчика в MathCurve; содержит различные визуализации, различные уравнения, полезные ссылки и справочные материалы
- Плоское развертывание поверхности Мальчика - апплет от Plus Magazine .
- Ресурсы поверхности Боя , включая оригинальную статью и вложение тополога в поверхность Бойца Обервольфах .
- Поверхность LEGO Boy
- Бумажная модель поверхности Мальчика - выкройка и инструкция
- Модель на основе Java, которую можно свободно вращать
- Модель поверхности мальчика в Constructive Solid Geometry вместе с инструкциями по сборке
- Видео с визуализацией поверхности мальчика от Математического института Сербской академии искусств и наук.