Причинные множества

За пределами стандартной модели
Смоделированные данные детектора частиц CMS на большом адронном коллайдере, изображающие бозон Хиггса, образованный сталкивающимися протонами, распадающимися на адронные струи и электроны
Стандартная модель
Свидетельство Проблема иерархии Темная материя Темная энергия Квинтэссенция Фантомная энергия Темное излучение Темный фотон Проблема космологической постоянной Сильная проблема CP Колебания нейтрино
Теории Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Пятая сила F-теория Теория всего Гипотеза математической вселенной Единая теория поля Теория Великого Объединения Море Дирака Разноцветный Теория Калуцы – Клейна Теория объективного коллапса Квантовая теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Конформная теория поля Двумерная конформная теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля 6D (2,0) суперконформная теория поля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая механика Квантовая космология Космология браны Теория струн Теория суперструн М-теория Гипотеза математической вселенной Зеркальное дело Модель Рэндалла – Сундрама теория де Бройля – Бома Стохастическая электродинамика Гипотеза термализации собственного состояния Теория Янга – Миллса N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса Твисторная теория струн Темная жидкость Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Причинные фермионные системы Квантовая термодинамика Термодинамика черной дыры Цифровая физика Физика без частиц Гравифотон Гравискалар Гравитон Гравитино Массивная гравитация Теория Янга – Миллса Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория скрытых переменных Теория пилотных волн Симметрия CPT
Суперсимметрия MSSM NMSSM Теория суперструн М-теория Супергравитация Нарушение суперсимметрии Дополнительные размеры Большие дополнительные размеры
Квантовая гравитация Ложный вакуум Теория струн Отжим пена Квантовая пена Квантовая геометрия Петлевая квантовая гравитация Квантовая космология Петлевая квантовая космология Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Симметрия событий Каноническая квантовая гравитация Полуклассическая гравитация Теория сверхтекучего вакуума
Эксперименты ЭННИ Гран Сассо Я НЕ LHC SNO Супер-К Теватрон Новая звезда
v т е

Программа причинных множеств - это подход к квантовой гравитации . Его основополагающие принципы заключаются в том, что пространство-время по своей сути дискретно (набор дискретных пространственно-временных точек, называемых элементами причинного множества) и что пространственно-временные события связаны частичным порядком . Этот частичный порядок имеет физический смысл причинных отношений между пространственно-временными событиями.

Программа основана на теореме ^[1] по Дэвиду Маламент , что утверждает , что если существует взаимно однозначное отображение между двумя прошлыми и будущими различая космических времен, сохраняющих их причинную структуру , то отображение является конформным изоморфизмом . Неопределенный конформный фактор связан с объемом регионов в пространстве-времени. Этот коэффициент объема можно восстановить, указав элемент объема для каждой точки пространства-времени. Затем объем области пространства-времени может быть найден путем подсчета количества точек в этой области.

Причинно-следственные связи были инициированы Рафаэлем Соркиным, который по-прежнему является главным сторонником программы. Он придумал слоган «Порядок + Число = Геометрия», чтобы охарактеризовать приведенный выше аргумент. Программа предоставляет теорию, в которой пространство-время принципиально дискретно, сохраняя при этом локальную лоренц-инвариантность .

Определение [ править ]

Причинное множество (или causet ) представляет собой набор с частичным порядком связи , что является${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ prevq}$

• Рефлексивный : У всех есть .${\ displaystyle x \ in C}$${\ Displaystyle х \ prevq х}$
• Антисимметричный : для всех мы имеем и подразумеваем .${\ displaystyle x, y \ in C}$${\ Displaystyle х \ prevq y}$${\ Displaystyle у \ prevq х}$${\ displaystyle x = y}$
• Переходный : Для всех есть и подразумевает .${\ displaystyle x, y, z \ in C}$${\ Displaystyle х \ prevq y}$${\ Displaystyle у \ PreQ г}$${\ Displaystyle х \ prevq г}$
• Локально конечный : у всех есть .${\ displaystyle x, z \ in C}$${\ Displaystyle | \ {у \ в С | х \ prevq y \ prevq z \} | <\ aleph _ {0}}$

Напишем, если и .${\ Displaystyle х \ пре у}$${\ Displaystyle х \ prevq y}$${\ Displaystyle х \ neq y}$

Набор представляет собой набор пространственно-временных событий, а отношение порядка представляет причинную связь между событиями (см. Причинную структуру для аналогичной идеи в лоренцевом многообразии ).${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ prevq}$

Хотя это определение использует рефлексивное соглашение, мы могли бы выбрать иррефлексивное соглашение, в котором отношение порядка является иррефлексивным .

Причинная связь из лоренцевского многообразия (без замкнутых причинных кривых ) удовлетворяет первые три условий. Это условие локальной конечности, которое вводит дискретность пространства-времени.

Сравнение с континуумом [ править ]

Учитывая причинное множество, мы можем спросить, можно ли его вложить в лоренцево многообразие . Вложение было бы картой, переводящей элементы причинного множества в точки на многообразии, так что отношение порядка причинного множества совпадает с причинным порядком многообразия. Однако перед тем, как встраивание станет подходящим, необходим дополнительный критерий. Если в среднем количество элементов причинного множества, отображаемых в область многообразия, пропорционально объему области, то вложение называется точным . В этом случае мы можем рассматривать причинное множество как «многообразное».

Центральная гипотеза программы причинных множеств состоит в том, что один и тот же причинный набор не может быть точно встроен в два пространства-времени, которые не похожи в больших масштабах. Это называется Hauptvermutung , что означает «фундаментальная гипотеза». Трудно дать точное определение этой гипотезе, потому что трудно решить, когда два пространства-времени «подобны в больших масштабах».

Моделирование пространства-времени как причинного множества потребует от нас ограничить внимание теми причинными множествами, которые «подобны множеству». Учитывая причинно-следственный набор, это свойство трудно определить.

Осыпание [ править ]

К трудности определения того, можно ли включить причинную совокупность в многообразие, можно подойти с другой стороны. Мы можем создать причинное множество, разбрасывая точки на лоренцево многообразие. Распыляя точки пропорционально объему пространственно-временных областей и используя отношения причинного порядка в многообразии, чтобы вызвать отношения порядка между рассыпанными точками, мы можем создать причинное множество, которое (по построению) может быть точно встроено в многообразие.

Для сохранения лоренц-инвариантности это разбрызгивание точек должно производиться случайным образом с использованием процесса Пуассона . Таким образом, вероятность разбрызгивания точек в область объема равна${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle P (п) = {\ гидроразрыва {(\ rho V) ^ {n} e ^ {- \ rho V}} {n!}}}$

где - плотность орошения.${\displaystyle \rho }$

При разбрызгивании точек в виде обычной решетки количество точек не будет пропорционально объему области.

Геометрия [ править ]

Некоторые геометрические конструкции в многообразиях переносятся на причинные множества. При их определении мы должны помнить, что полагаемся только на сам причинный набор, а не на какое-либо фоновое пространство-время, в которое он мог бы быть встроен. Для обзора этих конструкций см. ^[2]

Геодезические [ править ]

Ссылка в причинной наборе является парой элементов , такими , что , но без какого - либо такого , что .${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle z\in C}$${\displaystyle x\prec z\prec y}$

Цепь представляет собой последовательность элементов , таких , что для . Длина цепочки составляет . Если все в цепочке образуют звено, то цепь называется путем .${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}}$${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i},x_{i+1}}$

Мы можем использовать это, чтобы определить понятие геодезической между двумя элементами причинного множества, при условии, что они сопоставимы по порядку, то есть причинно связаны (физически это означает, что они подобны времени). Геодезическая между двумя элементами - это цепь, состоящая только из таких звеньев, что${\displaystyle x\preceq y\in C}$

1. ${\displaystyle x_{0}=x}$ и ${\displaystyle x_{n}=y}$
2. Длина цепочки максимальна по всем цепочкам от до .${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Как правило, между двумя сопоставимыми элементами может быть более одной геодезической.

Мирхейм ^[3] первым предположил, что длина такой геодезической должна быть прямо пропорциональна собственному времени вдоль времениподобной геодезической, соединяющей две точки пространства-времени. Проверка этой гипотезы была проведена с использованием причинно-следственных связей, полученных в результате разбрызгивания в плоское пространство-время. Было показано, что пропорциональность сохраняется, и предполагается, что она сохраняется и для дождевания в искривленном пространстве-времени.

Оценщики размеров [ править ]

Была проделана большая работа по оценке многообразия размерности причинного множества. Это включает в себя алгоритмы, использующие причинное множество, стремящиеся дать измерение многообразия, в которое оно может быть точно встроено. Алгоритмы, разработанные до сих пор, основаны на нахождении размерности пространства-времени Минковского, в которое может быть точно встроено причинное множество.

• Измерение Мирхейма-Мейера

Этот подход основан на оценке количества цепочек длин волн, присутствующих в трехмерном пространстве-времени Минковского. Подсчет количества цепей длины в причинном наборе позволяет сделать оценку .${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$

• Размер с масштабированием до середины

Этот подход основан на соотношении между собственным временем между двумя точками в пространстве-времени Минковского и объемом пространственно-временного интервала между ними. Вычисляя максимальную длину цепи (для оценки собственного времени) между двумя точками и и подсчитывая количество элементов , так что (для оценки объема пространственно-временного интервала) можно вычислить размерность пространства-времени.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x\prec z\prec y}$

Эти оценки должны дать правильную размерность для причинных множеств, порожденных высокоплотным разбрызгиванием в -мерное пространство-время Минковского. Тесты в конформно-плоском пространстве-времени ^[4] показали, что эти два метода являются точными.${\displaystyle d}$

Динамика [ править ]

Текущая задача - разработать правильную динамику для причинных множеств. Это обеспечит набор правил, которые определяют, какие причинные множества соответствуют физически реалистичным пространствам-времени . Самый популярный подход к разработке динамики причинных множеств основан на версии квантовой механики с суммированием историй . Этот подход будет выполнять «суммирование над причинными множествами» путем наращивания причинного множества по одному элементу за раз. Элементы будут добавляться в соответствии с правилами квантовой механики и интерференцией.гарантировал бы, что большое многообразное пространство-время будет доминировать над вкладом. Лучшая модель динамики на данный момент - это классическая модель, в которой элементы добавляются в соответствии с вероятностями. Эта модель, созданная Дэвидом Ридоу и Рафаэлем Соркиным , известна как классическая динамика последовательного роста (CSG). ^[5] Классическая модель последовательного роста - это способ создания причинно-следственных связей путем добавления новых элементов один за другим. Определяются правила добавления новых элементов, и, в зависимости от параметров модели, возникают разные причинные множества.

По аналогии с формулировкой интегралов по путям в квантовой механике, один из подходов к разработке квантовой динамики для причинных множеств заключался в применении принципа действия в подходе суммирования причинных множеств. Соркин предложил дискретный аналог даламбертиана , который, в свою очередь, можно использовать для определения скаляра кривизны Риччи и, таким образом, действия Бенинкасы-Даукера на причинном множестве. ^{[6] [7]} Моделирование методом Монте-Карло предоставило доказательства наличия непрерывной фазы в 2D с помощью действия Бенинкасы-Даукера. ^[8]

См. Также [ править ]

• Причинно-динамическая триангуляция (CDT)
• Причинная структура
• Общая теория относительности
• Теория порядка

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Подход причинных множеств к квантовой гравитации обзорная статья Джо Хенсона о причинных множествах
• Пространство-время как причинное множество - одна из первых работ Луки Бомбелли, Джухана Ли, Дэвида Мейера и Рафаэля Д. Соркина
• Геометрия по порядку: причинные множества - нетехническая статья Рафаэля Д. Соркина на Einstein Online