В математике выражение в закрытой форме — это математическое выражение , в котором используется конечное число стандартных операций. Он может содержать константы , переменные , некоторые хорошо известные операции (например, + − × ÷) и функции (например, корень n -й степени , показатель степени , логарифм , тригонометрические функции и обратные гиперболические функции ), но обычно без предела , дифференцирования , или интеграция. Набор операций и функций может варьироваться в зависимости от автора и контекста.
Решения любого квадратного уравнения с комплексными коэффициентами могут быть выражены в замкнутой форме через сложение , вычитание , умножение , деление и извлечение квадратного корня , каждое из которых является элементарной функцией . Например, квадратное уравнение
поддается обработке, поскольку ее решения могут быть выражены в виде выражения в закрытой форме, т. е. в терминах элементарных функций:
Точно так же решения уравнений кубической и четвертой степени (третьей и четвертой степени) могут быть выражены с помощью арифметики, квадратных корней и корней n -й степени . Однако существуют уравнения пятой степени без таких решений в замкнутой форме, например x 5 - x + 1 = 0 ; это теорема Абеля-Руффини .
Изучение существования замкнутых форм у корней полиномов является исходной мотивацией и одним из главных достижений области математики, получившей название теории Галуа .
Изменение определения «хорошо известного» для включения дополнительных функций может изменить набор уравнений с решениями в замкнутой форме. Многие кумулятивные функции распределения не могут быть выражены в закрытой форме, если только не считать хорошо известными специальные функции , такие как функция ошибки или гамма-функция . Уравнение пятой степени можно решить, если включить общие гипергеометрические функции , хотя решение слишком сложно алгебраически, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.