В геометрии , A hemipolyhedron является однородной звездой полиэдр некоторые из которых лицо проходит через его центр. Эти «полукруглые» грани лежат параллельно граням некоторого другого симметричного многогранника, и их количество равно половине числа граней этого другого многогранника - отсюда и префикс «геми». [1]
Приставка «геми» также используется для обозначения некоторых проективных многогранников , таких как полукуб , которые являются изображением карты 2 к 1 сферического многогранника с центральной симметрией .
Символ Wythoff и фигура вершины
Их символы Уайтхоффа имеют вид p / ( p - q ) p / q | r ; их вершинные фигуры - это скрещенные четырехугольники . Таким образом, они связаны со скошенными многогранниками, которые имеют аналогичные символы Wythoff. Конфигурации вершина является р / д 0,2 г . p / ( p - q ) .2 р . 2 грани r -угольника проходят через центр модели: если они представлены в виде граней сферических многогранников , они покрывают всю полусферу, а их края и вершины лежат вдоль большого круга . Р / ( р - д) обозначение подразумевает { р / Q } лицо поворот в обратном направлении вокруг фигуры вершин.
Ниже перечислены девять форм, перечисленных с их символами Wythoff и конфигурациями вершин:
Тетрагемигексаэдр 3 / 2 3 | 2 (3.4. 3 / 2 0,4) ( р / д = 3, г = 2) | Octahemioctahedron 3 / 2 3 | 3 (3.6. 3 / 2 0,6) ( р / д = 3, г = 3) | Малый icosihemidodecahedron 3 / +2 3 | 5 (3.10. 3 / 2 0,10) ( р / д = 3, г = 5) | Great icosihemidodecahedron 3 / +2 3 | 5 / 3 (3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 ) ( р / д = 3, г = 5 / 3 ) | Малый dodecahemicosahedron 5 / 3 5 / 2 | 3 ( 5 / 2 0,6. 5 / 3 +0,6) ( р / д = 5 / 2 , г = 3) |
Cubohemioctahedron 4 / 3 4 | 3 (4.6. 4 / 3 +0,6) ( р / д = 4, г = 3) | Малый dodecahemidodecahedron 5 / 4 5 | 5 (5.10. 5 / 4 0,10) ( р / д = 5, г = 5) | Большой dodecahemidodecahedron 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3 ( 5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 ) ( р / д = 5 / 2 , г = 5 / 3 ) | Большой dodecahemicosahedron 5 / 4 5 | 3 (5.6. 5 / 4 +0,6) ( р / д = 5, г = 3) |
Обратите внимание, что калейдоскопическая конструкция Витхоффа генерирует неориентируемые гемиполиэдры (все, кроме октагемиоктаэдра) как двойные покрытия (два совпадающих гемиполиэдра).
В евклидовой плоскости, последовательность hemipolyhedra продолжается со следующими четырехзвездочный паркетами, где apeirogons появляются как вышеупомянутые экваториальные полигоны: [ править ]
Оригинальная ректифицированная плитка | Диаграмма края | Твердый | Конфигурация вершин | Wythoff | Симметрия |
---|---|---|---|---|---|
Квадратная черепица | 4.∞.4 / 3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | ||
Треугольная черепица | (3.∞.3.∞.3.∞) / 2 | 3/2 | 3 ∞ | p6m | ||
Трехгранная черепица | 6.∞.6 / 5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | |||
∞.3.∞.3 / 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ |
Из этих четырех плиток только 6/5 6 | ∞ порождается как двойное покрытие конструкцией Витхоффа.
Ориентируемость
Только октагемиоктаэдр представляет собой ориентируемую поверхность; остальные гемиполиэдры имеют неориентируемые или односторонние поверхности.
Двойники гемиполиэдров
Поскольку у гемиполиэдров есть грани, проходящие через центр, двойственные фигуры имеют соответствующие вершины на бесконечности; собственно, на реальной проективной плоскости на бесконечности. [2] В Магнуса Веннингер «ы Двойные модели , они представлены с пересекающимися призм , каждая из которых проходит в обоих направлениях с одной и той же вершины на бесконечности, с тем чтобы сохранить симметрию. На практике призмы модели обрезаются в удобном для производителя месте. Веннингер предположил, что эти фигуры являются членами нового класса звездчатых фигур, называемого звездчатостью до бесконечности . Однако он также предположил, что, строго говоря, они не являются многогранниками, потому что их конструкция не соответствует обычным определениям.
Всего существует 9 таких двойников, имеющих только 5 различных внешних форм, четыре из которых существуют в идентичных парах. Члены данной визуально идентичной пары различаются расположением истинных и ложных вершин (ложная вершина - это место, где два ребра пересекаются, но не соединяются). Внешние формы:
Тетрагемигексакрон | Октахемиоктакрон и гексагемиоктакрон | Малый икосигемидодекакрон и малый додекагемидодекакрон | Большой додекагемидодекакрон и великий икосихемидодекакрон | Большой додекагемикосакрон и малый додекагемикосакрон |
3 пересекающиеся бесконечные квадратные призмы | 4 пересекающиеся бесконечные шестиугольные призмы | 6 пересекающихся бесконечных десятиугольных призм | 6 пересекающихся бесконечных декаграммических призм | 10 пересекающихся бесконечных шестиугольных призм |
Связь с квазирегулярными многогранниками
Hemipolyhedra происходят в парах , как facetings в квазирегулярного многогранников с четырьмя лицами в вершине. Эти квазирегулярные многогранники имеют конфигурацию вершин m . п . м . п и их края, в дополнении к формированию м - и п -gonal лицо, также образует гей-граней hemipolyhedra. Таким образом, гемиполиэдры могут быть получены из квазирегулярных многогранников, отбрасывая либо m -угольники, либо n -угольники (для сохранения двух граней на ребре), а затем вставляя полуграни. Поскольку можно отбросить либо m -угольники, либо n -угольники, любой из двух гемиполиэдров может быть получен из каждого квазирегулярного многогранника, за исключением октаэдра как тетраэдра , где m = n = 3 и две грани конгруэнтны. (Эта конструкция не работает для квазирегулярных многогранников с шестью гранями в вершине, также известных как дитригональные многогранники , поскольку их ребра не образуют правильных полуграней.) [1]
Поскольку гемиполиэдры, как и квазирегулярные многогранники, также имеют два типа граней, чередующихся вокруг каждой вершины, их иногда также считают квазирегулярными. [1]
Квазирегулярный многогранник m . п . м . п | Полуголие ( h- угольники) | Гемиполиэдр с отброшенными m -угольниками n . ч . п / п - 1 . час | Гемиполиэдр с отброшенными n -угольниками m . ч . м / м - 1 . час |
---|---|---|---|
Тетратетраэдр 3.3.3.3 m = 3, n = 3 | квадраты {4} | Тетрагемигексаэдр 3.4.3 / 2.4 | Тетрагемигексаэдр 3.4.3 / 2.4 |
Кубооктаэдр 3.4.3.4 m = 3, n = 4 | шестиугольники {6} | Кубогемиоктаэдр 4.6.4 / 3.6 | Октагемиоктаэдр 3.6.3 / 2.6 |
Икосододекаэдр 3.5.3.5 м = 3, п = 5 | декагоны {10} | Малый додекагемидодекаэдр 5.10.5 / 4.10 | Малый икосигемидодекаэдр 3.10.3 / 2.10 |
Додекадодекаэдр 5.5 / 2.5.5 / 2 m = 5, n = 5/2 | шестиугольники {6} | Малый додекагемикосаэдр 5 / 2.6.5 / 3.6 | Большой додекагемикосаэдр 5.6.5 / 4.6 |
Большой икосододекаэдр 3.5 / 2.3.5 / 2 m = 3, n = 5/2 | декаграммы {10/3} | Большой додекагемидодекаэдр 5 / 2.10 / 3.5 / 3.10 / 3 | Большой икосигемидодекаэдр 3.10 / 3.3 / 2.10 / 3 |
Здесь m и n соответствуют p / q выше, а h соответствует 2 r выше.
Рекомендации
- ^ a b c Харт, Джордж (1996). «Квазирегулярные многогранники» . Виртуальные многогранники: Энциклопедия многогранников . Проверено 6 мая 2012 года .
- ^ ( Веннингер 2003 , стр.101 )
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки , Королевское общество, 246 (916): 401-450, DOI : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446
- Веннингер, Магнус (1974), Модели многогранников , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09859-5, Руководство по ремонту 0467493 (Модели Веннингера: 67, 68, 78, 89, 91, 100, 102, 106, 107)
- Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту 0730208
- Хар'Эль З. Однородное решение для однородных многогранников. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El (Стр. 10, 5.2. Полугранники p p '| r.)
Внешние ссылки
- Глоссарий многогранников Stella
- Версиправильные многогранники в наглядных многогранниках