Статистика Ферми – Дирака

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика косы
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермический-изобарный
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Потенциал Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

В квантовой статистике , разделе физики , статистика Ферми – Дирака описывает распределение частиц по энергетическим состояниям в системах, состоящих из многих идентичных частиц, которые подчиняются принципу исключения Паули . Он назван в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , каждый из которых независимо открыл этот метод (хотя Ферми определил статистику раньше, чем Дирак). ^{[1] [2]}

Статистика Ферми – Дирака (F – D) применима к идентичным частицам с полуцелым спином в системе с термодинамическим равновесием . Кроме того, предполагается, что частицы в этой системе имеют незначительное взаимное взаимодействие. Это позволяет описывать многочастичную систему в терминах одночастичных энергетических состояний . Результатом является F – D-распределение частиц по этим состояниям, которое включает условие, что никакие две частицы не могут находиться в одном и том же состоянии; это существенно влияет на свойства системы. Поскольку статистика F – D применима к частицам с полуцелым спином, эти частицы стали называть фермионами . Чаще всего он применяется к электронам , типу фермионов сотжим 1/2 . Статистика Ферми – Дирака является частью более общей области статистической механики и использует принципы квантовой механики .

Аналогом статистики F – D является статистика Бозе – Эйнштейна , которая применяется к бозонам (полный целочисленный спин, такой как фотоны, или без спина, как бозон Хиггса ), частицам, которые не следуют принципу исключения Паули, что означает, чем один бозон может одновременно принимать одну и ту же квантовую конфигурацию.

История [ править ]

До введения статистики Ферми – Дирака в 1926 году понимание некоторых аспектов поведения электронов было затруднено из-за, казалось бы, противоречивых явлений. Например, электронная теплоемкость металла при комнатной температуре, по- видимому, обусловлена ​​в 100 раз меньшим количеством электронов, чем в электрическом токе . ^[3] Также было трудно понять, почему токи эмиссии, возникающие при приложении сильных электрических полей к металлам при комнатной температуре, почти не зависят от температуры.

Трудность, с которой столкнулась модель Друде , электронная теория металлов того времени, была связана с учетом того, что электроны (согласно классической статистической теории) все эквивалентны. Другими словами, считалось , что каждый электрон вклад в теплоемкость на величину порядка постоянная Больцмана  K _B . Эта статистическая проблема оставалась нерешенной до открытия статистики F – D.

Статистика F – D была впервые опубликована в 1926 году Энрико Ферми ^[1] и Полем Дираком . ^[2] По словам Макса Борна , Паскуаль Джордан разработал в 1925 году ту же статистику, которую он назвал статистикой Паули , но она не была своевременно опубликована. ^{[4] [5] [6]} Согласно Дираку, его первым изучил Ферми, и Дирак назвал его «статистикой Ферми», а соответствующие частицы - «фермионами». ^[7]

Статистика F – D была применена в 1926 году Ральфом Фаулером для описания коллапса звезды в белый карлик . ^[8] В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил его к электронам в металлах и разработал модель свободных электронов , ^[9] и в 1928 году Фаулер и Лотар Нордгейм применил его к полевой эмиссии электронов из металлов. ^[10] Статистика Ферми – Дирака продолжает оставаться важной частью физики.

Распределение Ферми – Дирака [ править ]

Для системы одинаковых фермионов в термодинамическом равновесии, среднее число фермионов в состоянии одночастичном я задается логистической функции или сигмовидной функции : в распределении Ферми-Дирака (Ф-Д) , ^[11] , которая является частный случай полного интеграла Ферми – Дирака ,

где k _B - постоянная Больцмана , T - абсолютная температура , ε _i - энергия одночастичного состояния i , а μ - полный химический потенциал .

При нулевой абсолютной температуре μ равно энергии Ферми плюс потенциальная энергия на фермион, при условии, что она находится в окрестности положительной спектральной плотности. В случае спектрального зазора, например для электронов в полупроводнике , точка симметрии μ обычно называется уровнем Ферми или - для электронов - электрохимическим потенциалом , и будет расположена в середине зазора. ^{[12] [13]}

Распределение F – D справедливо только в том случае, если количество фермионов в системе достаточно велико, так что добавление еще одного фермиона в систему не оказывает незначительного влияния на μ . ^[14] Так как распределение F – D было получено с использованием принципа исключения Паули , который позволяет максимум одному фермиону занимать каждое возможное состояние, результат таков . ^{[nb 1]}${\ displaystyle 0 <{\ bar {n}} _ {i} <1}$

• Распределение Ферми – Дирака
• Энергетическая зависимость. Более постепенный при более высоком Т . = 0,5 при = . Не показано в том , что уменьшается для более высокого Т . ^[15]${\ displaystyle {\ bar {n}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon \;}$${\ Displaystyle \ му \;}$${\ displaystyle \ mu \}$

• Температурная зависимость для .${\ Displaystyle \ varepsilon> \ mu \}$

(Нажмите на фигуру, чтобы увеличить.)

Распределение частиц по энергии [ править ]

Функция Ферми с μ = 0,55 эВ для различных температур в диапазоне 50 K ≤ T ≤ 375 K${\ Displaystyle F (\ varepsilon)}$

Приведенное выше распределение Ферми – Дирака дает распределение идентичных фермионов по одночастичным энергетическим состояниям, в которых не более одного фермиона может занимать состояние. Используя распределение F – D, можно найти распределение одинаковых фермионов по энергиям, при котором более одного фермиона могут иметь одинаковую энергию. ^{[nb 2]}

Среднее количество фермионов с энергией можно найти, умножив распределение F – D на вырождение (то есть на количество состояний с энергией ), ^{[16] [nb 3]}${\ Displaystyle \ varepsilon _ {я}}$${\ displaystyle {\ bar {n}} _ {i}}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {я}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$

Когда , это возможно , поскольку существует более одного состояния, которое может быть занято фермионами с одинаковой энергией .${\displaystyle g_{i}\geq 2}$${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Когда квазиконтинуум энергий имеет связанную плотность состояний (то есть количество состояний на единицу диапазона энергий на единицу объема ^[17] ), среднее количество фермионов на единицу диапазона энергий на единицу объема равно${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle g(\varepsilon )}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$

где называется функцией Ферми и является той же функцией, которая используется для распределения F – D , ^[18]${\displaystyle F(\varepsilon )}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

так что

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Квантовые и классические режимы [ править ]

Распределение Ферми – Дирака приближается к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:

• В пределе низкой плотности частиц , следовательно, или что-то подобное . В этом случае, что является результатом статистики Максвелла-Больцмана.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1}$${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}}$
• В пределе высокой температуры частицы распределяются в большом диапазоне значений энергии, поэтому заполнение каждого состояния (особенно высокоэнергетического ) снова очень мало ,. Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$

Классический режим, в котором статистику Максвелла – Больцмана можно использовать как приближение к статистике Ферми – Дирака, находится при рассмотрении ситуации, которая далека от предела, налагаемого принципом неопределенности Гейзенберга для положения и импульса частицы . Например, в физике полупроводников, когда плотность состояний зоны проводимости намного выше, чем концентрация легирования, энергетическая щель между зоной проводимости и уровнем Ферми может быть рассчитана с использованием статистики Максвелла-Больцмана. В противном случае, если концентрацией легирования нельзя пренебречь по сравнению с плотностью состояний зоны проводимости, вместо этого для точного расчета следует использовать распределение FD. Тогда можно показать, что классическая ситуация преобладает, когдаконцентрация частиц соответствует среднему расстоянию между частицами , которое намного больше, чем средняя длина волны де Бройля частиц: ^[19]${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},}$

где h - постоянная Планка , а m - масса частицы .

Для случая электронов проводимости в типичном металле при Т = 300  К (т.е. примерно комнатной температуре) система далека от классического режима, потому что . Это связано с небольшой массой электрона и высокой концентрацией (т.е. небольшой ) электронов проводимости в металле. Таким образом, статистика Ферми – Дирака необходима для электронов проводимости в типичном металле. ^[19]${\displaystyle {\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25}$${\displaystyle {\bar {R}}}$

Другой пример системы, не относящейся к классическому режиму, - система, состоящая из электронов звезды, которая коллапсировала в белый карлик. Хотя температура белого карлика высока (обычно T =10 000  K на его поверхности ^[20] ), его высокая концентрация электронов и малая масса каждого электрона не позволяют использовать классическое приближение, и снова требуется статистика Ферми – Дирака. ^[8]

Производные [ править ]

Большой канонический ансамбль [ править ]

Распределение Ферми – Дирака, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих фермионов, легко выводится из большого канонического ансамбля . ^[21] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал μ, фиксируемые резервуаром).

Из - за невзаимодействующее качество, каждый доступный уровень одночастичного (с уровнем энергии е ) образует отдельную термодинамическую систему в контакте с резервуаром. Другими словами, каждый одночастичный уровень представляет собой отдельный крошечный большой канонический ансамбль. Согласно принципу исключения Паули, существует только два возможных микросостояния для одночастичного уровня: отсутствие частицы (энергия E = 0) или одна частица (энергия E = ε ). Таким образом, полученная статистическая сумма для этого одночастичного уровня состоит всего из двух членов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$

и среднее число частиц для этого подсостояния одночастичного уровня дается выражением

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$

Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, дает распределение Ферми – Дирака для всего состояния системы. ^[21]

Также можно вычислить дисперсию числа частиц (из-за тепловых флуктуаций ) (число частиц имеет простое распределение Бернулли ):

${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$

Эта величина важна в явлениях переноса, таких как соотношения Мотта для электропроводности и коэффициента термоэлектрической проницаемости электронного газа ^[22], где способность уровня энергии вносить вклад в явления переноса пропорциональна .${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$

Канонический ансамбль [ править ]

Также возможно получить статистику Ферми – Дирака в каноническом ансамбле . Рассмотрим систему многих частиц, состоящую из N идентичных фермионов, которые имеют незначительное взаимное взаимодействие и находятся в тепловом равновесии. ^[14] Поскольку взаимодействие между фермионами незначительно, энергия состояния многочастичной системы может быть выражена как сумма одночастичных энергий,${\displaystyle E_{R}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r}\;}$

где называется числом заселенности, а - число частиц в одночастичном состоянии с энергией . Суммирование ведется по всем возможным одночастичным состояниям .${\displaystyle n_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varepsilon _{r}\;}$${\displaystyle r}$

Вероятность того, что система многих частиц находится в состоянии , задаются нормированным каноническим распределением , ^[23]${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}}}$

где , е называется фактором Больцмана , а суммирование ведется по всем возможным состояниям системы многих частиц. Среднее значение количества заполняемости составляет ^[23].${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$^{${\displaystyle \scriptstyle -\beta E_{R}}$}${\displaystyle R'}$${\displaystyle n_{i}\;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\ =\ \sum _{R}n_{i}\ P_{R}}$

Обратите внимание, что состояние многочастичной системы может быть задано заселенностью частицами одночастичных состояний, т. Е. Заданием так, чтобы${\displaystyle R}$${\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,\ldots \;,}$

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta ({n_{1}}'\varepsilon _{1}+{n_{2}}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

и уравнение для принимает вид${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ P_{n_{1},n_{2},\dots }\\\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}}\\\end{alignedat}}}$

где суммирование ведется по всем комбинациям значений,   которые подчиняются принципу исключения Паули, и = 0 или 1 для каждого . Кроме того, каждая комбинация значений удовлетворяет ограничению , что общее число частиц ,${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots \;}$${\displaystyle n_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots \;}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.\;}$

Переставляя суммирования,

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\quad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

где   значок на знаке суммирования указывает, что сумма не закончена и на нее действует ограничение, равное общему количеству частиц, связанных с суммированием  . Следует отметить , что все еще зависит от через ограничение, так как в одном случае , и оценивается с в то время как в другом случае , и вычисляется с  Для упрощения обозначений и четко показывают , что все еще зависит от через  , определить${\displaystyle ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle n_{i}=0}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle N_{i}=N,}$${\displaystyle n_{i}=1}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle N_{i}=N-1.}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N-n_{i}}$

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \ \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}\;}$

так что предыдущее выражение для можно переписать и оценить в терминах ,${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\bar {n}}_{i}\ &={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\ \ Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\\[8pt]&=\ {\frac {\quad 0\quad \;+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}}\\[6pt]&=\ {\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\;e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}\quad .\end{alignedat}}}$

Следующее приближение ^[24] будет использоваться, чтобы найти выражение для замены .${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i}\;\end{alignedat}}}$

куда      ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\ .}$

Если количество частиц достаточно велико, так что изменение химического потенциала очень мало, когда частица добавляется в систему, тогда ^[25]   Взяв базовый e- антилогарифм ^[26] с обеих сторон, заменив и переставив,${\displaystyle N}$${\displaystyle \mu \;}$${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\rm {B}}T\ .}$${\displaystyle \alpha _{i}\,}$

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\rm {B}}T}.\,}$

Подставляя выше в уравнение для , и используя предыдущее определение , чтобы заменить на , приводит к распределению Ферми-Дирака.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle \beta \;}$${\displaystyle 1/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \beta \;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\ {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}}$

Подобно распределению Максвелла-Больцмана и распределение Бозе-Эйнштейна распределение Ферми-Дирака также может быть получена с помощью метода Дарвина-Фаулера средних значений (см Мюллер-Кирстен ^[27] ).

Микроканонический ансамбль [ править ]

Результат может быть достигнут путем прямого анализа кратностей системы и использования множителей Лагранжа . ^[28]

Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, обозначенных индексом i , каждый из которых имеет энергию ε _i   и содержит в общей сложности n _i   частиц. Предположим, что каждый уровень содержит g _i   различных подуровней, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы (т.е. их импульсы могут быть в разных направлениях), и в этом случае они отличаются друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение g _i,   связанное с уровнем i , называется «вырождением» этого уровня энергии. Принцип исключения Паули утверждает, что на любом таком подуровне может находиться только один фермион.

Количество способов распределения n _i неотличимых частиц по подуровням g _i уровня энергии, с максимумом одной частицы на подуровень, задается биномиальным коэффициентом с использованием его комбинаторной интерпретации

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}\ .}$

Например, распределение двух частиц по трем подуровням даст численность населения 110, 101 или 011, что в сумме составит три способа, что равно 3! / (2! 1!).

Количество способов, которыми может быть реализован набор чисел занятости n _i , является продуктом способов, которыми может быть заполнен каждый отдельный энергетический уровень:

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла – Больцмана , мы хотим найти набор n _i, для которого W является максимальным, при условии, что существует фиксированное количество частиц и фиксированная энергия. Мы ограничиваем наше решение с помощью множителей Лагранжа, образующих функцию:

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$

Используя приближение Стирлинга для факториалов, взяв производную по n _i , установив результат равным нулю и решив для n _{i, мы} получим числа населенности Ферми-Дирака:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$

Посредством процесса, аналогичного описанному в статистической статье Максвелла – Больцмана , можно термодинамически показать, что и , наконец, вероятность того, что состояние будет занято, равна:${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$${\textstyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с распространением Ферми-Дирака .

• Большой канонический ансамбль
• Принцип исключения Паули
• Полный интеграл Ферми-Дирака
• Уровень Ферми
• Ферми газ
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Статистика Бозе – Эйнштейна
• Парастатистика
• Логистическая функция

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Рейф Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики . Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-051800-1.
• Блейкмор, Дж.С. (2002). Статистика полупроводников . Дувр. ISBN 978-0-486-49502-6.
• Киттель, Чарльз (1971). Введение в физику твердого тела (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-14286-7. OCLC  300039591 .