Статистика Ферми – Дирака

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика плетения
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермический-изобарный
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Возможности Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

В квантовой статистике , разделе физики , статистика Ферми – Дирака описывает распределение частиц по энергетическим состояниям в системах, состоящих из множества идентичных частиц, которые подчиняются принципу исключения Паули . Он назван в честь Энрико Ферми и Поля Дирака , каждый из которых независимо открыл метод (хотя Ферми определил статистику раньше, чем Дирак). ^{[1] [2]}

Статистика Ферми – Дирака (F – D) применима к идентичным частицам с полуцелым спином в системе с термодинамическим равновесием . Кроме того, предполагается, что частицы в этой системе имеют незначительное взаимное взаимодействие. Это позволяет описывать многочастичную систему в терминах одночастичных энергетических состояний . Результатом является F – D-распределение частиц по этим состояниям, которое включает условие, что никакие две частицы не могут находиться в одном и том же состоянии; это существенно влияет на свойства системы. Поскольку статистика F – D применима к частицам с полуцелым спином, эти частицы стали называть фермионами . Чаще всего он применяется к электронам , типу фермионов сотжим 1/2 . Статистика Ферми – Дирака является частью более общей области статистической механики и использует принципы квантовой механики .

Аналогом статистики F – D является статистика Бозе – Эйнштейна , которая применяется к бозонам (полный целочисленный спин, такой как фотоны, или без спина, как бозон Хиггса ), частицам, которые не следуют принципу исключения Паули, что означает, что больше чем один бозон может одновременно принимать одну и ту же квантовую конфигурацию.

История [ править ]

До введения статистики Ферми – Дирака в 1926 году понимание некоторых аспектов поведения электронов было затруднено из-за, казалось бы, противоречивых явлений. Например, электронная теплоемкость металла при комнатной температуре, по- видимому, обусловлена ​​в 100 раз меньшим количеством электронов, чем в электрическом токе . ^[3] Также было трудно понять, почему токи эмиссии, возникающие при приложении сильных электрических полей к металлам при комнатной температуре, почти не зависят от температуры.

Трудность, с которой столкнулась модель Друде , электронная теория металлов того времени, заключалась в том, что считалось, что электроны (согласно классической статистической теории) все эквивалентны. Другими словами, считалось , что каждый электрон вклад в теплоемкость на величину порядка постоянная Больцмана  K _B . Эта статистическая проблема оставалась нерешенной до открытия статистики F – D.

Статистика F – D была впервые опубликована в 1926 году Энрико Ферми ^[1] и Полем Дираком . ^[2] Согласно Максу Борну , Паскуаль Джордан разработал в 1925 году ту же статистику, которую он назвал статистикой Паули , но она не была своевременно опубликована. ^{[4] [5] [6]} Согласно Дираку, он был впервые изучен Ферми, и Дирак назвал его «статистикой Ферми», а соответствующие частицы - «фермионами». ^[7]

Статистика F – D была применена в 1926 году Ральфом Фаулером для описания коллапса звезды в белый карлик . ^[8] В 1927 году Арнольд Зоммерфельд применил его к электронам в металлах и разработал модель свободных электронов , ^[9] и в 1928 году Фаулер и Лотар Нордгейм применил его к полевой эмиссии электронов из металлов. ^[10] Статистика Ферми – Дирака продолжает оставаться важной частью физики.

Распределение Ферми – Дирака [ править ]

Для системы одинаковых фермионов в термодинамическом равновесии, среднее число фермионов в состоянии одночастичном я задается логистической функции или сигмовидной функции : в распределении Ферми-Дирака (Ф-Д) , ^[11] , которая является частный случай полного интеграла Ферми – Дирака ,

где k _B - постоянная Больцмана , T - абсолютная температура , ε _i - энергия одночастичного состояния i , а μ - полный химический потенциал .

Дисперсия этого распределения рассчитывается непосредственно из приведенного выше выражения для среднего числа. ^[12]${\ Displaystyle V (п)}$

${\ Displaystyle V (N) = kT {\ frac {\ partial} {\ partial \ mu}} {\ bar {n}} _ {i}}$ ${\ displaystyle = \ langle n \ rangle (1- \ langle n \ rangle) = {\ bar {n}} - {\ bar {n}} ^ {2}}$

При нулевой абсолютной температуре μ равна энергии Ферми плюс потенциальная энергия на фермион, при условии, что она находится в окрестности положительной спектральной плотности. В случае спектрального зазора, например для электронов в полупроводнике , точка симметрии μ обычно называется уровнем Ферми или - для электронов - электрохимическим потенциалом , и будет расположена в середине зазора. ^{[13] [14]}

Распределение F – D справедливо только в том случае, если количество фермионов в системе достаточно велико, так что добавление еще одного фермиона в систему не оказывает незначительного влияния на μ . ^[15] Так как распределение F – D было получено с использованием принципа исключения Паули , который позволяет максимум одному фермиону занимать каждое возможное состояние, результат таков . ^{[nb 1]}${\ displaystyle 0 <{\ bar {n}} _ {i} <1}$

• Распределение Ферми – Дирака
• Энергетическая зависимость. Более постепенный при более высоком Т . = 0,5, когда = . Не показано в том , что уменьшается для более высокого Т . ^[16]${\ displaystyle {\ bar {n}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon \;}$${\ Displaystyle \ му \;}$${\ displaystyle \ mu \}$

• Температурная зависимость для .${\displaystyle \varepsilon >\mu \ }$

(Нажмите на фигуру, чтобы увеличить.)

Распределение частиц по энергии [ править ]

Функция Ферми с μ = 0,55 эВ для различных температур в диапазоне 50 K ≤ T ≤ 375 K${\displaystyle F(\varepsilon )}$

Приведенное выше распределение Ферми – Дирака дает распределение одинаковых фермионов по одночастичным энергетическим состояниям, в которых не более одного фермиона может занимать состояние. Используя распределение F – D, можно найти распределение одинаковых фермионов по энергиям, при котором более одного фермиона могут иметь одинаковую энергию. ^{[nb 2]}

Среднее количество фермионов с энергией можно найти, умножив распределение F – D на вырождение (то есть количество состояний с энергией ), ^{[17] [nb 3]}${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$

Когда , это возможно , поскольку существует более одного состояния, которое может быть занято фермионами с одинаковой энергией .${\displaystyle g_{i}\geq 2}$${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Когда квазиконтинуум энергий имеет связанную плотность состояний (то есть количество состояний на единицу диапазона энергий на единицу объема ^[18] ), среднее количество фермионов на единицу диапазона энергий на единицу объема равно${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle g(\varepsilon )}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$

где называется функцией Ферми и является той же функцией, которая используется для распределения F – D , ^[19]${\displaystyle F(\varepsilon )}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}},}$

чтобы

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

Квантовые и классические режимы [ править ]

Распределение Ферми – Дирака приближается к распределению Максвелла – Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц без необходимости каких-либо специальных предположений:

• В пределе низкой плотности частиц , следовательно, или что-то подобное . В этом случае, что является результатом статистики Максвелла-Больцмана.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1}$${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}}$
• В пределе высокой температуры частицы распределены в большом диапазоне значений энергии, поэтому заполнение каждого состояния (особенно высокоэнергетического ) снова очень мало ,. Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$

Классический режим, в котором статистику Максвелла – Больцмана можно использовать в качестве приближения к статистике Ферми – Дирака, находится при рассмотрении ситуации, которая далека от предела, налагаемого принципом неопределенности Гейзенберга для положения и импульса частицы . Например, в физике полупроводников, когда плотность состояний зоны проводимости намного выше, чем концентрация легирования, энергетическая щель между зоной проводимости и уровнем Ферми может быть рассчитана с использованием статистики Максвелла-Больцмана. В противном случае, если концентрацией легирования нельзя пренебречь по сравнению с плотностью состояний зоны проводимости, вместо этого для точного расчета следует использовать распределение FD. Тогда можно показать, что классическая ситуация преобладает, когдаконцентрация частиц соответствует среднему расстоянию между частицами , которое намного превышает среднюю длину волны де Бройля частиц: ^[20]${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},}$

где h - постоянная Планка , а m - масса частицы .

Для случая электронов проводимости в типичном металле при Т = 300  К (т.е. примерно комнатной температуре) система далека от классического режима, потому что . Это связано с небольшой массой электрона и высокой концентрацией (т.е. небольшой ) электронов проводимости в металле. Таким образом, статистика Ферми – Дирака необходима для электронов проводимости в типичном металле. ^[20]${\displaystyle {\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25}$${\displaystyle {\bar {R}}}$

Другой пример системы, не относящейся к классическому режиму, - это система, состоящая из электронов звезды, которая коллапсировала в белый карлик. Хотя температура белого карлика высока (обычно T =10 000  K на его поверхности ^[21] ), его высокая концентрация электронов и малая масса каждого электрона не позволяют использовать классическое приближение, и снова требуется статистика Ферми – Дирака. ^[8]

Производные [ править ]

Большой канонический ансамбль [ править ]

Распределение Ферми – Дирака, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих фермионов, легко выводится из большого канонического ансамбля . ^[22] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура T и химический потенциал μ, фиксируемые резервуаром).

Из-за качества невзаимодействия каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. Другими словами, каждый одночастичный уровень представляет собой отдельный крошечный большой канонический ансамбль. Согласно принципу исключения Паули, существует только два возможных микросостояния для одночастичного уровня: отсутствие частицы (энергия E = 0) или одна частица (энергия E = ε ). Таким образом, результирующая статистическая сумма для этого одночастичного уровня состоит всего из двух членов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$

и среднее число частиц для этого подсостояния одночастичного уровня дается выражением

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$

Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, дает распределение Ферми – Дирака для всего состояния системы. ^[22]

Также можно вычислить дисперсию числа частиц (из-за тепловых флуктуаций ) (число частиц имеет простое распределение Бернулли ):

${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$

Эта величина важна в явлениях переноса, таких как соотношения Мотта для электропроводности и термоэлектрического коэффициента для электронного газа ^[23], где способность уровня энергии вносить вклад в явления переноса пропорциональна .${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$

Канонический ансамбль [ править ]

Также возможно получить статистику Ферми – Дирака в каноническом ансамбле . Рассмотрим систему многих частиц, состоящую из N идентичных фермионов, которые имеют незначительное взаимное взаимодействие и находятся в тепловом равновесии. ^[15] Поскольку взаимодействие между фермионами незначительно, энергия состояния многочастичной системы может быть выражена как сумма одночастичных энергий,${\displaystyle E_{R}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r}\;}$

где называется числом заселенности, а - число частиц в одночастичном состоянии с энергией . Суммирование ведется по всем возможным одночастичным состояниям .${\displaystyle n_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \varepsilon _{r}\;}$${\displaystyle r}$

Вероятность того, что система многих частиц находится в состоянии , дается нормированным каноническим распределением , ^[24]${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}}}$

где , е называется фактором Больцмана , а суммирование ведется по всем возможным состояниям системы многих частиц. Среднее значение количества заполняемости составляет ^[24].${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$^{${\displaystyle \scriptstyle -\beta E_{R}}$}${\displaystyle R'}$${\displaystyle n_{i}\;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\ =\ \sum _{R}n_{i}\ P_{R}}$

Обратите внимание, что состояние многочастичной системы может быть задано заселенностью частицами одночастичных состояний, т. Е. Указав так, что${\displaystyle R}$${\displaystyle n_{1},\,n_{2},\,\ldots \;,}$

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta ({n_{1}}'\varepsilon _{1}+{n_{2}}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

и уравнение для принимает вид${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ P_{n_{1},n_{2},\dots }\\\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}\ e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}}\\\end{alignedat}}}$

где суммирование ведется по всем комбинациям значений,   которые подчиняются принципу исключения Паули, и = 0 или 1 для каждого . Кроме того, каждая комбинация значений удовлетворяет ограничению , что общее число частиц ,${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots \;}$${\displaystyle n_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots \;}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.\;}$

Переставляя суммирования,

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\quad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}}}$

где   значок на знаке суммирования указывает, что сумма не окончена и на нее действует ограничение, заключающееся в том, что общее количество частиц, связанных с суммированием, равно  . Следует отметить , что все еще зависит от через ограничение, так как в одном случае , и оценивается с в то время как в другом случае , и вычисляется с  Для упрощения обозначений и четко показывают , что все еще зависит от через  , определить${\displaystyle ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle n_{i}=0}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle N_{i}=N,}$${\displaystyle n_{i}=1}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle N_{i}=N-1.}$${\displaystyle \Sigma ^{(i)}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle N-n_{i}}$

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \ \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}\;}$

так что предыдущее выражение для можно переписать и оценить в терминах ,${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\bar {n}}_{i}\ &={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}\ e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\ \ Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\qquad Z_{i}(N-n_{i})}}\\[8pt]&=\ {\frac {\quad 0\quad \;+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\;Z_{i}(N-1)}}\\[6pt]&=\ {\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\;e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}\quad .\end{alignedat}}}$

Следующее приближение ^[25] будет использоваться, чтобы найти выражение для замены .${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i}\;\end{alignedat}}}$

где      ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\ .}$

Если количество частиц достаточно велико, так что изменение химического потенциала очень мало, когда частица добавляется в систему, тогда ^[26]   Взяв базовый e- антилогарифм ^[27] с обеих сторон, заменив и переставив,${\displaystyle N}$${\displaystyle \mu \;}$${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\rm {B}}T\ .}$${\displaystyle \alpha _{i}\,}$

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\rm {B}}T}.\,}$

Подставляя выше в уравнение для , и используя предыдущее определение , чтобы заменить на , приводит к распределению Ферми-Дирака.${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$${\displaystyle \beta \;}$${\displaystyle 1/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle \beta \;}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\ {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}}$

Подобно распределению Максвелла-Больцмана и распределение Бозе-Эйнштейна распределение Ферми-Дирака также может быть получена с помощью метода Дарвина-Фаулера средних значений (см Мюллер-Кирстен ^[28] ).

Микроканонический ансамбль [ править ]

Результат может быть достигнут путем прямого анализа кратностей системы и использования множителей Лагранжа . ^[29]

Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, обозначенных индексом i , каждый из которых имеет энергию ε _i   и содержит в общей сложности n _i   частиц. Предположим, что каждый уровень содержит g _i   различных подуровней, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы (т.е. их импульсы могут быть в разных направлениях), и в этом случае они отличаются друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение g _i,   связанное с уровнем i , называется «вырождением» этого уровня энергии. Принцип исключения Паули утверждает, что на любом таком подуровне может находиться только один фермион.

Количество способов распределения n _i неотличимых частиц по подуровням g _i уровня энергии, с максимумом одной частицы на подуровень, задается биномиальным коэффициентом с использованием его комбинаторной интерпретации

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}\ .}$

Например, распределение двух частиц по трем подуровням даст численность населения 110, 101 или 011, что в сумме составит три способа, что равно 3! / (2! 1!).

Количество способов, которыми может быть реализован набор чисел занятости n _i , является продуктом способов, которыми может быть заполнен каждый индивидуальный энергетический уровень:

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

Следуя той же процедуре, которая использовалась при выводе статистики Максвелла – Больцмана , мы хотим найти набор n _i, для которого W является максимальным, при условии, что существует фиксированное количество частиц и фиксированная энергия. Мы ограничиваем наше решение с помощью множителей Лагранжа, образующих функцию:

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$

Используя приближение Стирлинга для факториалов, взяв производную по n _i , установив результат равным нулю и решив для n _i, получаем числа Ферми-Дирака:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$

Посредством процесса, аналогичного описанному в статистической статье Максвелла – Больцмана , можно термодинамически показать, что и , наконец, вероятность того, что состояние будет занято, равна:${\textstyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$${\textstyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}.}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с распространением Ферми-Дирака .

• Большой канонический ансамбль
• Принцип исключения Паули
• Полный интеграл Ферми-Дирака
• Уровень Ферми
• Ферми газ
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Статистика Бозе – Эйнштейна
• Парастатистика
• Логистическая функция

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и теплофизики . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-051800-1.
• Блейкмор, Дж.С. (2002). Полупроводниковая статистика . Дувр. ISBN 978-0-486-49502-6.
• Киттель, Чарльз (1971). Введение в физику твердого тела (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-14286-7. OCLC  300039591 .