Теорема Кутты – Жуковского - это фундаментальная теорема в аэродинамике, используемая для расчета подъемной силы профиля и любых двумерных тел, включая круглые цилиндры, перемещающихся в однородной жидкости с постоянной скоростью, достаточно большой, чтобы поток, наблюдаемый в неподвижном теле рама устойчивая и неразрывная. Теорема связывает подъемную силу, создаваемую аэродинамическим профилем, со скоростью аэродинамического профиля в текучей среде, плотностью текучей среды и циркуляцией вокруг аэродинамического профиля. Циркуляция определяется как интеграл линии вокруг замкнутого контура, охватывающего аэродинамический профиль составляющей скорости жидкости, касательной к контуру. [1] Он назван в честьМартин Кутта и Николай Жуковский (или Жуковский), которые первыми разработали его ключевые идеи в начале 20 века. Теорема Кутта – Жуковского - это невязкая теория , но она является хорошим приближением для реального вязкого потока в типичных аэродинамических приложениях. [2]
Теорема Кутта-Жуковски связывает подъемную силу с циркуляцией во многом так же, как эффект Магнуса связывает боковую силу (называемую силой Магнуса) с вращением. [3] Однако циркуляция здесь не вызвана вращением профиля. Течение жидкости при наличии аэродинамического профиля можно рассматривать как суперпозицию поступательного и вращающегося потоков. Этот вращающийся поток вызывается эффектами изгиба , угла атаки и острой задней кромки аэродинамического профиля. Его не следует путать с вихрем, подобным торнадо, окружающим аэродинамический профиль. На большом расстоянии от профиля вращающийся поток можно рассматривать как индуцированный линейным вихрем (при этом вращающаяся линия перпендикулярна двумерной плоскости). При выводе теоремы Кутта – Жуковского крыловой профиль обычно отображается на круговой цилиндр. Во многих учебниках теорема доказывается для кругового цилиндра и профиля Жуковского , но она верна для общих профилей.
Формула подъемной силы
Теорема применима к двумерному обтеканию фиксированного профиля (или любой формы бесконечного пролета ). Подъем на единицу пролетакрылового профиля определяется выражением [4]
( 1 )
где а также - плотность жидкости и скорость жидкости далеко перед аэродинамическим профилем, и циркуляция определяется как линейный интеграл
по замкнутому контуру охватывающая аэродинамический профиль и двигалась в отрицательном (по часовой стрелке) направлении. Как поясняется ниже, этот путь должен проходить в области потенциального потока, а не в пограничном слое цилиндра. Подынтегральное выражение - составляющая локальной скорости жидкости в направлении, касательном к кривой а также бесконечно малая длина кривой, . Уравнение (1) является формой теоремы Кутты – Жуковского.
Кюте и Шетцер формулируют теорему Кутты – Жуковского следующим образом: [5]
- Сила на единицу длины, действующая на правый цилиндр любого поперечного сечения, равна и перпендикулярна направлению
Циркуляция и условие Кутты
Аэродинамический профиль, создающий подъемную силу, либо имеет изгиб, либо действует под положительным углом атаки , т.е. углом между линией хорды и потоком жидкости далеко перед аэродинамическим профилем. Кроме того, профиль должен иметь острую заднюю кромку.
Любая реальная жидкость вязкая, что означает, что скорость жидкости на профиле равна нулю. Прандтль показал, что для большого числа Рейнольдса , определяемого как, и малый угол атаки, обтекание тонкой аэродинамической поверхности состоит из узкой вязкой области, называемой пограничным слоем вблизи тела, и области невязкого течения снаружи. При применении теоремы Кутта-Жуковского петля должна выбираться вне этого пограничного слоя. (Например, циркуляция, рассчитанная с использованием контура, соответствующего поверхности аэродинамического профиля, будет равна нулю для вязкой жидкости.)
Требование острой задней кромки физически соответствует потоку, в котором текучая среда, движущаяся вдоль нижней и верхней поверхностей аэродинамического профиля, плавно пересекается, при этом жидкость не движется вокруг задней кромки аэродинамического профиля. Это известно как состояние Кутты .
Кутта и Жуковски показали, что для расчета давления и подъемной силы тонкого профиля для потока при большом числе Рейнольдса и малом угле атаки поток можно считать невязким во всей области за пределами профиля при условии выполнения условия Кутта. Это известно как теория потенциального потока и замечательно работает на практике.
Вывод
Ниже представлены два вывода. Первый - это эвристический аргумент, основанный на физическом понимании. Второй - формальный и технический, требующий базового векторного анализа и комплексного анализа .
Эвристический аргумент
В качестве эвристического аргумента рассмотрим тонкий профиль хорды и бесконечный размах, движущийся в плотном воздухе . Пусть аэродинамический профиль будет наклонен к набегающему потоку для создания скорости воздуха. по одну сторону от профиля, а скорость воздуха с другой стороны. Тогда тираж
Разница в давлении между двумя сторонами профиля можно найти, применив уравнение Бернулли :
так что подъемная сила на единицу пролета равна
Дифференциальный вариант этой теоремы применяется к каждому элементу пластины и лежит в основе теории тонкого аэродинамического профиля .
Формальное происхождение
Формальный вывод теоремы Кутты – Жуковского. Прежде всего рассчитывается сила, действующая на каждую единицу длины цилиндра произвольного поперечного сечения. [6] Пусть эта сила на единицу длины (отныне называемая просто силой) равна. Итак, общая сила равна: где C обозначает границу цилиндра,это статическое давление текучей среды,- единичный вектор, нормальный к цилиндру, а ds - элемент дуги границы поперечного сечения. Теперь позвольте- угол между вектором нормали и вертикалью. Тогда составляющими вышеуказанной силы являются:
Теперь наступает решающий шаг: рассматривать используемое двумерное пространство как сложную плоскость . Таким образом, каждый вектор может быть представлен как комплексное число , первый компонент которого равен действительной части, а второй компонент - мнимой части комплексного числа. Тогда силу можно представить как:
Следующим шагом будет комплексное сопряжение силы и проделаем некоторые манипуляции:
Сегменты поверхности ds связаны с изменениями dz вдоль них следующим образом:
Подключив это обратно к интегралу, мы получим:
Теперь используется уравнение Бернулли , чтобы убрать давление из интеграла. На протяжении всего анализа предполагается, что внешнее силовое поле отсутствует. Массовая плотность потока составляет Тогда давление связано со скоростью от:
С этой силой становится:
Остается сделать только один шаг: представить комплексный потенциал течения. Это связано с компонентами скорости какгде апостроф означает дифференцирование по комплексной переменной z . Скорость касается границы C , поэтому это означает, что Следовательно, и получено искомое выражение для силы:
которая называется теоремой Блазиуса .
Чтобы прийти к формуле Жуковского, необходимо вычислить этот интеграл. Из комплексного анализа известно, что голоморфная функция может быть представлена в виде ряда Лорана . Из физики задачи следует, что производная комплексного потенциала будет выглядеть так:
Функция не содержит членов высшего порядка, поскольку скорость остается конечной на бесконечности. Так представляет собой производную комплексного потенциала на бесконечности: . Следующая задача - выяснить значение. Используя теорему о вычетах для вышеуказанного ряда:
Теперь выполните указанную выше интеграцию:
Первый интеграл признается тиражом, обозначенным как Второй интеграл можно вычислить после некоторых манипуляций:
Здесь - функция потока . Поскольку граница C цилиндра сама является линией тока, функция тока на ней не изменяется, и. Следовательно, указанный выше интеграл равен нулю. Как результат:
Возьмите квадрат ряда:
Вставляем это обратно в формулу Блазиуса – Чаплыгина и выполняем интегрирование с использованием теоремы о вычетах:
Итак, формула Кутта – Жуковски:
Подъемные силы для более сложных ситуаций
Подъемная сила, предсказываемая теоремой Кутта-Жуковского в рамках теории невязкого потенциального потока, является довольно точной даже для реального вязкого потока, при условии, что поток устойчивый и неразделенный. [7] При выводе теоремы Кутты – Жуковского использовалось предположение о безвихревом течении. Когда есть свободные вихри вне тела, как это может иметь место при большом количестве нестационарных течений, течение является вращательным. Когда поток вращательный, для получения подъемных сил следует использовать более сложные теории. Ниже приведены несколько важных примеров.
- Импульсно запущен поток при небольшом угле атаки . Для импульсного потока, например, полученного путем резкого ускорения аэродинамического профиля или установки угла атаки, существует вихревой слой, непрерывно сбрасываемый на задней кромке, а подъемная сила нестационарна или зависит от времени. Для начального потока с малым углом атаки вихревой слой следует по плоской траектории, а кривая коэффициента подъемной силы как функция времени задается функцией Вагнера. [8] В этом случае начальная подъемная сила составляет половину конечной подъемной силы, определяемой формулой Кутты – Жуковски. [9] Подъемная сила достигает 90% от значения в установившемся режиме, когда крыло преодолевает расстояние примерно в семь хордов.
- Импульсивно запущен поток при большом угле атаки . Когда угол атаки достаточно велик, вихревой лист задней кромки изначально имеет спиралевидную форму, а подъемная сила в начальный момент является сингулярной (бесконечно большой). [10] Подъемная сила падает в течение очень короткого периода времени, прежде чем будет достигнута обычно предполагаемая монотонно возрастающая кривая подъемной силы.
- Пусковой обтекание при большом угле атаки для крыльев с острыми передними кромками . Если, как у плоской пластины, передняя кромка также острая, то вихри также исчезают на передней кромке, и роль вихрей передней кромки двукратная : (1) подъемная сила увеличивается, когда они еще близки к передней кромке. кромка, так что они поднимают кривую подъемной силы Вагнера; (2) они препятствуют подъемной силе, когда они конвектируются к задней кромке, вызывая новую вихревую спираль задней кромки, движущуюся в направлении уменьшения подъемной силы. Для этого типа потока карта вихревой силовой линии (VFL) [11] может использоваться для понимания влияния различных вихрей в различных ситуациях (включая большее количество ситуаций, чем начальный поток) и может использоваться для улучшения управления вихрями для улучшения или уменьшите подъем. Карта линий вихревой силы - это двухмерная карта, на которой отображаются линии вихревой силы. Для вихря в любой точке потока его подъемная сила пропорциональна его скорости, его циркуляции и косинусу угла между линией тока и линией силы вихря. Следовательно, карта линии вихревой силы ясно показывает, создает ли данный вихрь подъемную силу или лифтовую силу вредную.
- Теорема Лагалли . Когда источник (массы) закреплен вне тела, поправка силы из-за этого источника может быть выражена как произведение силы внешнего источника и индуцированной скорости в этом источнике по всем причинам, кроме этого источника. Это известно как теорема Лагалли. [12] Для двумерного невязкого потока классическая теорема Кутта Жуковски предсказывает нулевое сопротивление. Когда, однако, есть вихрь вне тела, возникает индуцированное вихрем сопротивление, аналогичное форме индуцированной подъемной силы.
- Обобщенная теорема Лагалли . Для свободных вихрей и других тел вне одного тела без связанной завихренности и без образования вихрей справедлива обобщенная теорема Лагалли [13], с помощью которой силы выражаются как произведения силы внутренних сингулярностей (вихрей изображения, источников и дублетов внутри каждого тела). ) и индуцированная скорость в этих сингулярностях по всем причинам, кроме причин внутри этого тела. Вклад каждой внутренней особенности складывается в общую силу. Движение внешних сингулярностей также вносит вклад в силы, и составляющая силы из-за этого вклада пропорциональна скорости сингулярности.
- Индивидуальная сила каждого тела для многочастичного вращательного потока . Когда в дополнение к множеству свободных вихрей и множественных тел существуют связанные вихри и образование вихрей на поверхности тела, обобщенная теорема Лагалли все еще выполняется, но сила, обусловленная образованием вихрей, существует. Эта производящая сила вихря пропорциональна скорости образования вихрей и расстоянию между парой вихрей в процессе производства. При таком подходе явная и алгебраическая формула силы, учитывающая все причины (внутренние особенности, внешние вихри и тела, движение всех сингулярностей и тел, а также образование вихрей) выполняется индивидуально для каждого тела [14] с ролью других тела, представленные дополнительными особенностями. Следовательно, возможно силовое разложение по телам.
- Общее трехмерное вязкое течение . Для общих трехмерных вязких и нестационарных течений формулы сил выражаются в интегральных формах. Объемное интегрирование определенных величин потока, таких как моменты завихренности, связано с силами. Теперь доступны различные формы интегрального подхода для неограниченной области [9] [15] [16] и для искусственно усеченной области. [17] Теорема Кутта-Жуковски может быть восстановлена из этих подходов при применении к двумерному профилю и когда поток является стационарным и неразделимым.
- Теория подъемных линий для крыльев, вихрей на концах крыльев и индуцированного сопротивления . Крыло имеет конечный размах, и циркуляция в любой секции крыла изменяется в зависимости от направления по размаху. Это изменение компенсируется высвобождением продольных вихрей, называемых замыкающими вихрями , из-за сохранения завихренности или теоремы Кельвина о сохранении циркуляции. Эти продольные вихри сливаются в две противоположные вращающиеся сильные спирали, разделенные расстоянием, близким к размаху крыльев, и их ядра могут быть видны при высокой относительной влажности. Рассмотрение отстающих вихрей как серии полубесконечных прямых вихрей приводит к хорошо известной теории подъемных линий. Согласно этой теории, крыло имеет подъемную силу меньшую, чем предсказывается чисто двумерной теорией с использованием теоремы Кутты – Жуковского. Это происходит из-за влияния восходящих вихрей на угол атаки крыла. Это уменьшает эффективный угол атаки крыла, уменьшая подъемную силу, создаваемую при заданном угле атаки, и требует большего угла атаки для восстановления этой потерянной подъемной силы. При этом новом увеличенном угле атаки также увеличилось сопротивление. Индуцированное сопротивление эффективно уменьшает наклон кривой подъемной силы двумерного аэродинамического профиля и увеличивает угол атаки (при этом уменьшая значение ).
Смотрите также
- Подковообразный вихрь
Рекомендации
- Перейти ↑ Anderson, JD Jr. (1989). «Высота давления, температуры и плотности». Введение в полет (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 100–103. ISBN 0-07-001641-0.
- ^ Лю, LQ; Чжу, JY; Ву, JZ (2015). «Подъем и сопротивление в двумерном устойчивом вязком и сжимаемом потоке». Журнал гидромеханики . 784 : 304–341. DOI : 10,1017 / jfm.2015.584 .
- ^ «Подъем на вращающихся цилиндрах» . Исследовательский центр Гленна НАСА. 2010-11-09. Архивировано из оригинала на 2014-01-11 . Проверено 7 ноября 2013 .
- ^ Клэнси, LJ (1975). Аэродинамика . Лондон: Питман. Раздел 4.5. ISBN 0-273-01120-0.
- ^ Kuethe, AM; Schetzer, JD (1959). Основы аэродинамики . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. Раздел 4.9. ISBN 0-471-50952-3.
- ^ Бэтчелор, GK (1967). Введение в динамику жидкости . Издательство Кембриджского университета. п. 406.
- ^ Андерсон, Дж. (2010). Основы аэродинамики . Серия McGraw-Hill в авиационной и аэрокосмической технике. Нью-Йорк: McGraw-Hill Education.
- ^ Вагнер, Х. (1925). "Über die Entstehung des Dynamischen Auftriebes von Tragflügeln" . З. Энгью. Математика. Мех. 5 (1): 17–35. DOI : 10.1002 / zamm.19250050103 .
- ^ а б Саффман, П.Г. (1992). Вихревая динамика . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42058-X.
- ^ Грэм, JMR (1983). «Подъем на крыло в стартовом потоке». Журнал гидромеханики . 133 : 413–425. DOI : 10.1017 / S0022112083001986 .
- ^ Li, J .; Ву, ЗН (2015). «Неустойчивый подъем для задачи Вагнера при наличии дополнительных вихрей на передней задней кромке». Журнал гидромеханики . 769 : 182–217. DOI : 10,1017 / jfm.2015.118 .
- ^ Милн-Томсон, Л. М. (1968). Теоретическая гидродинамика . Гонконг: Macmillan Education. п. 226.
- ^ Ву, штат Коннектикут; Ян, Флорида; Янг, DL (2012). «Обобщенная двумерная теорема Лагалли со свободными вихрями и ее приложение к задачам взаимодействия жидкости и тела». Журнал гидромеханики . 698 : 73–92. DOI : 10,1017 / jfm.2012.45 .
- ^ Bai, CY; Li, J .; Ву, ЗН (2014). «Обобщенная теорема Кутта-Жуковского для многовихревого и многопрофильного течения с образованием вихрей - общая модель» . Китайский журнал воздухоплавания . 27 (5): 1037–1050. DOI : 10.1016 / j.cja.2014.03.014 .
- ^ Ву, JC (1981). «Теория аэродинамической силы и момента в вязких потоках». Журнал AIAA . 19 (4): 432–441. DOI : 10.2514 / 3.50966 .
- ^ Хау, М.С. (1995). «О силе и моменте, действующие на тело в несжимаемой жидкости, с приложением к твердым телам и пузырькам при высоких числах Рейнольдса». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 48 (3): 401–425. DOI : 10.1093 / qjmam / 48.3.401 .
- ^ Wu, JC; Лу, XY; Чжуан, LX (2007). «Интегральная сила, действующая на тело из-за местных структур потока». Журнал гидромеханики . 576 : 265–286. DOI : 10.1017 / S0022112006004551 .
Библиография
- Милн-Томсон, Л. М. (1973) Теоретическая аэродинамика , Dover Publications Inc, Нью-Йорк