Натуральный логарифм ряда является его логарифмом к основанию в математических постоянная е , где е является иррациональным и трансцендентным числом , приблизительно равным2,718 281 828 459 . Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log e x или иногда, если основание e неявно, просто log x . [1] [2] [3] Для ясности иногда добавляются круглые скобки , что дает ln ( x ) , log e ( x ) или log ( x ) . Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является отдельным символом, чтобы предотвратить двусмысленность.
Натуральный логарифм x - это степень, в которой e должно быть возведено в x . Например, ln 7,5 равно 2,0149 ... , потому что e 2,0149 ... = 7,5 . Натуральный логарифм самого e , ln e , равен 1 , потому что e 1 = e , а натуральный логарифм 1 равен 0 , поскольку e 0 = 1 .
Натуральный логарифм может быть определен для любого положительного действительного числа a как площадь под кривой y = 1 / x от 1 до a [4] (с отрицательной площадью, когда 0 < a <1 ). Простота этого определения, которое соответствует многим другим формулам, включающим натуральный логарифм, приводит к термину «естественный». Затем определение натурального логарифма может быть расширено, чтобы дать значения логарифма для отрицательных чисел и для всех ненулевых комплексных чисел , хотя это приводит к многозначной функции : подробнее см. Комплексный логарифм .
Природная функция логарифма, если рассматривать в качестве действительной функции действительного переменного, является обратной функцией от экспоненциальной функции , что приводит к тождествам:
Как и все логарифмы, натуральный логарифм преобразует умножение положительных чисел в сложение:
Логарифмы могут быть определены для любого положительного основания, кроме 1, а не только для e . Однако логарифмы в других основаниях отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и могут быть определены в терминах последнего. Например, логарифм по основанию 2 (также называемый двоичным логарифмом ) равен натуральному логарифму, деленному на ln 2 , натуральный логарифм 2 .
Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестное появляется как показатель некоторой другой величины. Например, логарифмы используются для определения периода полураспада , постоянной распада или неизвестного времени в задачах экспоненциального распада . Они важны во многих областях математики и научных дисциплин и используются в финансах для решения задач, связанных со сложными процентами .
История
Понятие натурального логарифма было разработано Gregoire де Сент-Винсент и Альфонс Антонио де Sarasa , прежде чем 1649. [6] Их работа участвует квадратурную из гиперболы с уравнением х = 1 , путем определением области гиперболических секторов . Их решение сгенерировало необходимую функцию «гиперболического логарифма» , свойства которой теперь связаны с натуральным логарифмом.
Раннее упоминание натурального логарифма был от Николая Меркатора в своей работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году, [7] , хотя учитель математики Джон Speidell уже составил таблицу , что на самом деле были эффективно натуральные логарифмы в 1619. [8] Он имеет Было сказано, что логарифмы Спейделла были с основанием e , но это не совсем верно из-за сложностей с выражением значений как целых чисел. [8] : 152
Условные обозначения
Обозначения ln x и log e x однозначно относятся к натуральному логарифму x , а log x без явного основания может также относиться к натуральному логарифму. [1] Это использование распространено в математике, а также в некоторых научных контекстах, а также во многих языках программирования . [nb 1] В некоторых других контекстах, таких как химия , однако, log x может использоваться для обозначения общего (с основанием 10) логарифма . Это может также относиться к двоичному логарифму (основание 2) в контексте информатики , особенно в контексте временной сложности .
Определения
Натуральный логарифм можно определить несколькими эквивалентными способами. Натуральный логарифм положительного действительного числа a может быть определен как площадь под графиком гиперболы с уравнением y = 1 / x между x = 1 и x = a . Это интеграл [4]
Если a меньше 1 , то эта область считается отрицательной.
Эта функция является логарифмом, потому что она удовлетворяет фундаментальному мультипликативному свойству логарифма: [5]
Это можно продемонстрировать, разделив интеграл, определяющий ln ab, на две части, а затем сделав замену переменной x = at (поэтому dx = a dt ) во второй части следующим образом:
Проще говоря, это просто масштабирование на 1 / a в горизонтальном направлении и на a в вертикальном направлении. Площадь не изменяется при этом преобразовании, но изменяется конфигурация области между a и ab . Поскольку функция a / ( ax ) равна функции 1 / x , результирующая площадь в точности равна ln b .
Тогда число e может быть определено как уникальное действительное число a такое, что ln a = 1 . В качестве альтернативы, если экспоненциальная функция , обозначенная e x или exp x , была определена первой, скажем, с использованием бесконечного ряда , тогда натуральный логарифм может быть определен как обратная ей функция . Другими словами, ln - это такая функция, что ln (exp x ) = x . Поскольку диапазон экспоненциальной функции - это все положительные действительные числа, и поскольку экспоненциальная функция строго возрастает, это хорошо определено для всех положительных x .
Характеристики
Доказательство |
---|
Утверждение верно для , а теперь покажем, что для всех , что завершает доказательство по основной теореме исчисления . Следовательно, мы хотим показать, что (Обратите внимание, что мы еще не доказали, что это утверждение верно.) Если это правда, то, умножив среднее утверждение на положительную величину и вычитая мы получили бы Это утверждение тривиально верно для так как левая часть отрицательна или равна нулю. Для это все еще верно, поскольку оба коэффициента слева меньше 1 (напомним, что ). Таким образом, последнее утверждение верно, и, повторяя наши шаги в обратном порядке, мы обнаруживаем, что для всех . Это завершает доказательство. Альтернативное доказательство состоит в том, чтобы заметить, что в данных условиях. Это можно доказать, например, с помощью нормальных неравенств. Логарифмирование и использование завершает доказательство. |
Производная
Производная натурального логарифма в качестве вещественной функции на положительных чисел задается [4]
Как установить эту производную натурального логарифма, зависит от того, как она определяется из первых рук. Если натуральный логарифм определяется как интеграл
тогда производная немедленно следует из первой части основной теоремы исчисления .
С другой стороны, если натуральный логарифм определяется как обратная (натуральная) экспоненциальная функция, то производная (для x > 0) может быть найдена с использованием свойств логарифма и определения экспоненциальной функции. Из определения числа экспоненциальная функция может быть определена как , где Затем производную можно найти из первых принципов.
Также у нас есть:
так что, в отличие от его обратной функции , константа в функции не изменяет дифференциал.
Ряд
Если затем [9]
Это ряд Тейлора для ln x около 1. Замена переменных дает ряд Меркатора :
действительно для | х | ≤ 1 и x ≠ −1.
Леонард Эйлер , [10] не принимая во внимание, тем не менее применил этот ряд к x = −1, чтобы показать, что гармонический ряд равен (натуральному) логарифму 1 / (1 - 1), то есть логарифму бесконечности. В настоящее время, более формально, можно доказать, что гармонический ряд, усеченный в N , близок к логарифму N , когда N велико, а разность сходится к постоянной Эйлера – Маскерони .
Справа - изображение ln (1 + x ) и некоторых его многочленов Тейлора около 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1; вне этой области полиномы Тейлора более высокой степени эволюционируют в худшие приближения для функции.
Полезный частный случай для натуральных чисел n , взяв, является:
Если тогда
Теперь, принимая для натуральных чисел n получаем:
Если тогда
С
мы приходим к
Используя замену снова для положительных целых n , мы получаем:
Это, безусловно, самая быстрая сходимость из описанного здесь ряда.
Натуральный логарифм при интегрировании
Натуральный логарифм обеспечивает простую интеграцию функций вида г ( х ) = ф «( х ) / е ( х ): в первообразном из г ( х ) задается Ln (| F ( х ) |). Это происходит из-за цепного правила и следующего факта:
Другими словами,
а также
Вот пример в случае g ( x ) = tan ( x ):
Положив f ( x ) = cos ( x ):
где C - произвольная постоянная интегрирования .
Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям :
Позволять:
тогда:
Численная величина
Для ln ( x ), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Идентичности, связанные с логарифмом, могут быть использованы для использования этого:
Такие методы использовались до калькуляторов, обращаясь к числовым таблицам и выполняя манипуляции, подобные описанным выше.
Натуральный логарифм 10
Натуральный логарифм 10, который имеет десятичное разложение 2.30258509 ..., [11], играет роль, например, при вычислении натуральных логарифмов чисел, представленных в научной записи , в виде мантиссы, умноженной на степень 10:
Это означает, что можно эффективно вычислять логарифмы чисел с очень большой или очень малой величиной, используя логарифмы относительно небольшого набора десятичных знаков в диапазоне [1, 10) .
Высокая точность
Для вычисления натурального логарифма с точностью до многих цифр подход рядов Тейлора неэффективен, поскольку сходимость медленная. Особенно, если x близко к 1, хорошей альтернативой является использование метода Галлея или метода Ньютона для инвертирования экспоненциальной функции, потому что ряд экспоненциальной функции сходится быстрее. Для нахождения значения y для получения exp ( y ) - x = 0 с использованием метода Галлея или, что эквивалентно, для получения exp ( y / 2) - x exp (- y / 2) = 0 с использованием метода Ньютона, итерация упрощается до
который имеет кубическую сходимость к ln ( x ) .
Другой альтернативой для расчета с очень высокой точностью является формула [12] [13]
где M обозначает среднее арифметико-геометрическое значение 1 и 4 / с , а
с m, выбранным таким образом, чтобы было достигнуто p бит точности. (Для большинства целей достаточно 8 для m.) На самом деле, если используется этот метод, для эффективного вычисления экспоненциальной функции можно использовать инверсию натурального логарифма Ньютона. (Константы ln 2 и π могут быть предварительно вычислены с желаемой точностью, используя любой из нескольких известных быстро сходящихся рядов.)
Основано на предложении Уильяма Кахана и впервые реализовано в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C в 1979 году (упоминается только под «LN1» на дисплее), некоторых калькуляторах, операционных системах (например, Berkeley UNIX 4.3BSD [14] ), системы компьютерной алгебры и языки программирования (например, C99 [15] ) предоставляют специальную функцию натурального логарифма плюс 1 , альтернативно называемую LNP1 , [16] [17] или log1p [15], чтобы дать более точные результаты для логарифмов, близких к нулю. путем передачи аргументов x , также близких к нулю, функции log1p ( x ), которая возвращает значение ln (1+ x ), вместо передачи значения y, близкого к 1, функции, возвращающей ln ( y ). [15] [16] [17] Функция log1p позволяет избежать в арифметике с плавающей запятой почти отмены абсолютного члена 1 вторым членом из разложения Тейлора ln, тем самым обеспечивая высокую точность как для аргумента, так и для результат близок к нулю. [16] [17]
В дополнении к базовым е в IEEE 754-2008 стандарта определяет аналогичные логарифмические функции около 1 для двоичных и десятичных логарифмов : войти 2 (1 + х ) и войти 10 (1 + х ) .
Аналогичные обратные функции с именами « expm1 », [15] «expm» [16] [17] или «exp1m» также существуют, все со значением expm1 ( x ) = exp ( x ) - 1 . [nb 2]
Тождество в терминах обратного гиперболического тангенса ,
дает значение высокой точности для малых значений x в системах, которые не реализуют log1p ( x ) .
Вычислительная сложность
Вычислительная сложность вычисления натурального логарифма ( с помощью арифметико-геометрическое среднее) представляет собой О ( М ( п ) пер п ). Здесь n - количество цифр точности, при котором должен быть вычислен натуральный логарифм, а M ( n ) - вычислительная сложность умножения двух n- значных чисел.
Непрерывные дроби
Хотя простых непрерывных дробей нет, есть несколько обобщенных непрерывных дробей , в том числе:
Эти непрерывные дроби - особенно последние - быстро сходятся для значений, близких к 1. Однако натуральные логарифмы гораздо больших чисел могут быть легко вычислены путем многократного сложения логарифмов меньших чисел с такой же быстрой сходимостью.
Например, поскольку 2 = 1,25 3 × 1,024, натуральный логарифм 2 может быть вычислен как:
Кроме того, поскольку 10 = 1,25 10 × 1,024 3 , даже натуральный логарифм 10 может быть вычислен аналогично:
Комплексные логарифмы
Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая дает комплексное число как e x для любого произвольного комплексного числа x ; просто используйте бесконечный ряд с комплексом x . Эту экспоненциальную функцию можно инвертировать, чтобы сформировать комплексный логарифм, который демонстрирует большинство свойств обычного логарифма. Здесь возникают две трудности: ни у одного x нет e x = 0 ; и оказывается, что e 2 iπ = 1 = e 0 . Поскольку мультипликативное свойство по-прежнему работает для комплексной экспоненциальной функции, e z = e z +2 kiπ для всех комплексных z и целых чисел k .
Таким образом, логарифм не может быть определен для всей комплексной плоскости , и даже в этом случае он является многозначным - любой комплексный логарифм можно заменить на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2 iπ . Комплексный логарифм может быть однозначным только на разрезанной плоскости . Например, ln i =я/2 или же 5 я/2или - 3 iπ/2, так далее.; и хотя i 4 = 1, 4 ln i может быть определено как 2 iπ , или 10 iπ, или -6 iπ , и так далее.
г = Re (ln ( x + yi ))
z = | (Im (ln ( x + yi ))) |
z = | (ln ( x + yi )) |
Суперпозиция трех предыдущих графиков
Смотрите также
- Аппроксимация натуральных показателей (логарифм е)
- Итерированный логарифм
- Логарифм Напьера
- Список логарифмических тождеств
- Логарифм матрицы
- Логарифмическое дифференцирование
- Логарифмическая интегральная функция
- Николас Меркатор - первый, кто использовал термин натуральный логарифм
- Полилогарифм
- Функция фон Мангольдта
Заметки
- ^ Включая C , C ++ , SAS , MATLAB , Mathematica , Fortran и некоторые BASIC диалекты
- ^ Для подобного подхода к сокращению ошибок округление расчетов для некоторых входных значений см тригонометрических функций , таких как синус-верзус , vercosine , coversine , covercosine , гаверсинус , havercosine , hacoversine , hacovercosine , exsecant и excosecant .
Рекомендации
- ^ a b «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ GH Харди и Э.М. Райт, Введение в теорию чисел, 4-е изд., Оксфорд, 1975, сноска к параграфу 1.7: « log x - это, конечно,« наперианский »логарифм x по основанию е.« Общее ». логарифмы не представляют математического интереса ".
- ^ Мортимер, Роберт Г. (2005). Математика для физической химии (3-е изд.). Академическая пресса . п. 9. ISBN 0-12-508347-5. Отрывок страницы 9
- ^ а б в Вайсштейн, Эрик В. «Натуральный логарифм» . mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ а б «Логарифм | Правила, примеры и формулы» . Британская энциклопедия . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ Берн, РП (2001). Альфонс Антонио де Сараса и логарифмы . Historia Mathematica . С. 28: 1–17.
- ^ О'Коннор, Джей Джей; Робертсон, EF (сентябрь 2001 г.). «Число е» . Архив истории математики MacTutor . Проверено 2 февраля 2009 .
- ^ а б Кахори, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Книжный магазин AMS. п. 152. ISBN. 0-8218-2102-4.
- ^ "Логарифмические разложения" на Math2.org
- ^ Леонард Эйлер , Введение в Analysin Infinitorum. Томус Примус. Bousquet, Lausanne 1748. Exemplum 1, p. 228; цитата из: Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Octavum, Teubner 1922
- ^ OEIS : A002392
- ^ Сасаки, Т .; Канада, Ю. (1982). «Практически быстрая оценка log (x) с множественной точностью» . Журнал обработки информации . 5 (4): 247–250 . Проверено 30 марта 2011 .
- ^ Арендт, Тимм (1999). «Быстрые вычисления экспоненциальной функции». Стакс 99 . Конспект лекций по информатике. 1564 : 302–312. DOI : 10.1007 / 3-540-49116-3_28 . ISBN 978-3-540-65691-3.
- ^ Биби, Нельсон Х.Ф. (22.08.2017). «Глава 10.4. Логарифм рядом с единицей». Справочник по математическим вычислениям функций - Программирование с использованием переносимой программной библиотеки MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . С. 290–292. DOI : 10.1007 / 978-3-319-64110-2 . ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446 .
В 1987 году Berkeley UNIX 4.3BSD представила функцию log1p ().
- ^ а б в г Биби, Нельсон Х.Ф. (9 июля 2002 г.). «Вычисление expm1 = exp (x) −1» (PDF) . 1.00. Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Департамент математики, Центр научных вычислений, Университет Юты . Проверено 2 ноября 2015 .
- ^ а б в г Серия HP 48G - Справочное руководство для опытных пользователей (AUR) (4-е изд.). Hewlett-Packard . Декабрь 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . Проверено 6 сентября 2015 .
- ^ а б в г Расширенное руководство пользователя графического калькулятора HP 50g / 49g + / 48gII (AUR) (2-е изд.). Hewlett-Packard . 2009-07-14 [2005]. HP F2228-90010 . Проверено 10 октября 2015 . PDF с возможностью поиска